Mathematik – Quadratische Funktionen

Du erkennst quadratische Funktionen an zwei Dingen:

• Es gibt in der Funktionsgleichung ein x2$x^2$ (aber keine höhere Potenz wie zum Beispiel x3$x^3$ oder x5$x^5$).
• Der Graph der Funktion hat die Form einer Parabel.

Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung f(x)=x2$f(x)=x^2$. Und so sieht der Funktionsgraph dazu aus:

Diese Parabel wurde nicht verändert. Sie heißt deshalb Normalparabel. Sie berührt das Koordinatensystem im Ursprung, also bei (0|0)$(0|0)$. Dort hat sie außerdem einen Tiefpunkt, auch Minimum genannt. Brauchst du dazu eine Auffrischung? Dann schau unsere Seite zum Thema Hochpunkt und Tiefpunkt an. 

Der tiefste oder höchste Punkt einer quadratischen Funktion heißt auch Scheitelpunkt. Die Normalparabel hat, wie du siehst, einen positiven Wertebereich. 

Die Graphen von quadratischen Funktionen können aber auch ein wenig anders aussehen. Die Parabel kann zum Beispiel breiter oder schmaler werden. Sie kann auch gespiegelt werden, sodass die Parabel nicht nach oben, sondern nach unten geöffnet ist. Außerdem kannst du die Parabel entlang der x$x$-Achse oder der y$y$-Achse verschieben. Dadurch kann der Wertebereich auch negativ werden.

Wir zeigen dir jetzt in einer Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie das geht – und wie du Informationen aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Das spart dir nämlich viel Zeit, wenn du quadratische Funktionen berechnen oder zeichnen sollst!

Eine quadratische Funktion kannst du allgemein so schreiben:

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

So viele Buchstaben? Keine Sorge, wir erklären dir gleich jeden einzelnen davon. Die Variable x$x$ kennst du schon – sie hat sich nicht verändert. Hinzugekommen sind die Buchstaben a$a$, d$d$ und e$e$. Wir nennen sie Parameter, aber sie stehen einfach für Zahlen, die du einsetzen kannst. 

Und wo sind die Buchstaben b$b$ und c$c$ geblieben? Die brauchen wir für eine andere Schreibweise, die wir dir später noch genau zeigen. Erst einmal schauen wir uns nur diese Form an – sie heißt Scheitelpunktform für quadratische Funktionen. 

Die Scheitelpunktform ist sehr nützlich, weil du ihr sehr viel Wissen über deine quadratische Funktion entnehmen kannst. Du kannst zum Beispiel direkt die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen. Der Scheitelpunkt liegt nämlich bei (d|e)$(d|e)$.

Beispiel

Deine Gleichung lautet: 

f(x)=3⋅(x−2)2+4$f(x)=3\cdot (x-2{)}^2+4$ 

Dann ist dein Scheitelpunkt:

(2|4)$(2|4)$

Einfach, oder? Schau mal, so sieht der Graph dazu aus:

Hier musstest du also gar nichts berechnen, sondern konntest die Koordinaten des Scheitelpunktes aus der Gleichung ablesen.

Schauen wir uns an, was wir mit den Parametern noch alles machen können!

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

Sieh dir an, wie die Graphen von quadratischen Funktionen sich verändern, wenn wir den Parameter a$a$ verändern. Damit es übersichtlich bleibt, lassen wir die Parameter d$d$ und e$e$ erst einmal weg. 

Hier kannst du erkennen: 

• Wenn a>1$a>1$ ist, wird die Parabel schmaler.
• Wenn a<1$a<1$ ist, wird die Parabel breiter. 

Dann passiert noch etwas Besonderes, wenn a$a$ kleiner als 0$0$ wird:

Du siehst: Hier wird die Kurve an der x$x$-Achse gespiegelt. 

Außerdem musst du noch wissen, dass a$a$ nicht gleich null werden darf. Denn dann verschwindet dein x2$x^2$ und du hast keine quadratische Gleichung mehr. 

Zusammengefasst:

• Mit dem Parameter a$a$ kannst du den Graphen einer quadratischen Funktion strecken, stauchen oder spiegeln. 
• Streckung: Wenn a>1$a>1$ ist, wird die Parabel schmaler (gestreckt).
• Stauchung: Wenn a<1$a<1$ ist, wird die Parabel breiter (gestaucht). 
• Spiegelung: Wenn a<0$a<0$ ist, wird die Parabel gespiegelt (Spiegelung an der x$x$-Achse). Der Scheitelpunkt ist jetzt kein Tiefpunkt mehr, sondern ein Hochpunkt. Dabei gilt trotzdem: Wenn der Betrag von a$a$ größer als 1$1$ ist, wird die Parabel schmaler, ansonsten breiter. 
• a≠0$a\ne 0$

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

Der Parameter d$d$ bewirkt eine Verschiebung, und zwar entlang der x$x$-Achse. Der Parameter d$d$ steht in der Klammer und wird entweder zu x$x$ addiert (x+2$x+2$) oder von x$x$ subtrahiert (x−2$x-2$). So sieht das aus: 

Du siehst: 

• Der Parameter d$d$ bewirkt eine Verschiebung in x$x$-Richtung. 
• Wenn in der Klammer ein Plus steht, dann wird die Parabel nach links verschoben.
• Wenn in der Klammer ein Minus steht, dann wird die Parabel nach rechts verschoben.

Das ist schon alles! 

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

Genauso kannst du mit dem Parameter e$e$ eine Verschiebung in y$y$-Richtung erreichen. Auch dazu schauen wir uns wieder einen Graphen an: 

Hier kannst du erkennen:

• Der Parameter e$e$ bewirkt eine Verschiebung in y$y$-Richtung. 
• Wenn e$e$ positiv ist, also größer als null, dann wird die Parabel nach oben verschoben.
• Wenn e$e$ negativ ist, also kleiner als null, dann wird die Parabel nach unten verschoben.

Gar nicht so schwer, oder?

Diese Parameter können natürlich alle auch in Kombination auftreten. Das soll dich aber nicht erschrecken, denn: Mithilfe dieser Parameter kannst du zu Aufgaben mit quadratischen Funktionen Lösungen finden, ohne viel rechnen zu müssen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

f(x)=−2⋅(x−4)2+3$f(x)=-2\cdot (x-4{)}^2+3$

So sehen die Parameter aus:

a=−2$a=-2$

d=4$d=4$ (Aufgepasst! Wenn in der Klammer (x+4)2$(x+4{)}^2$ gestanden hätte, wäre d=−4$d=-4$.)

e=3$e=3$

Du kannst jetzt die quadratische Funktion zeichnen, indem du dir Folgendes bewusst machst:

• Weil d=4$d=4$ ist, gibt es eine Verschiebung entlang der x$x$-Achse, und zwar vier Einheiten nach rechts (in der Klammer steht ein Plus). 
• Weil e=3$e=3$ ist, also positiv, gibt es eine Verschiebung entlang der y$y$-Achse, und zwar drei Einheiten nach oben. 
• Weil a<0$a<0$ ist, wissen wir, dass der Graph an der x$x$-Achse gespiegelt ist.
• Weil der Betrag von a$a$ außerdem größer als 1$1$ ist, wissen wir, dass der Graph gestreckt (also schmaler) wird.
• Wir wissen außerdem, dass der Scheitelpunkt bei (4|3)$(4|3)$ liegt. 

Mit diesen Informationen kannst du nun eine Annäherung der quadratischen Funktion zeichnen – ganz ohne Wertetabelle. Und so sieht sie tatsächlich aus:

Bisher haben wir mit der sogenannten Scheitelpunktform gearbeitet. Es gibt aber auch noch eine weitere sehr geläufige Form: die allgemeine Form für die quadratische Funktion. 

Formel für die allgemeine quadratische Funktion

Die Formel für die allgemeine quadratische Funktion sieht so aus:

f(x)=a⋅x2+b⋅x+c$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Hier kommen die Parameter a$a$, b$b$ und c$c$ vor. Den Parameter a$a$ kennst du bereits. Wie in der Scheitelpunktform kannst du auch in der allgemeinen Form für quadratische Funktionen mit dem Parameter a$a$ den Graphen strecken, stauchen oder spiegeln. 

Beispiel

Damit es übersichtlich bleibt, haben wir auf den Parameter c$c$ erst einmal ganz verzichtet und den Parameter b$b$ auf 1$1$ gesetzt. Statt x2+x$x^2+x$ steht hier also eigentlich x2+1⋅x$x^2+1\cdot x$. An dem Graphen kannst du sehen, wie die Kurve breiter, schmaler oder gespiegelt wird, je nachdem, welchen Wert a$a$ annimmt. Auch hier gilt übrigens: a$a$ darf nicht null werden, denn sonst hast du keine quadratische Gleichung mehr, sondern eine lineare Gleichung. 

Mit dem Parameter b$b$ wird die Kurve verschoben, allerdings nicht nach einem so einfach erklärbaren Muster wie bei der Scheitelpunktform. Daher hilft dir dieser Parameter nicht so viel weiter.

Sehr nützlich ist aber der Parameter c$c$: Er zeigt dir nämlich, wo die Kurve die y$y$-Achse schneidet, ohne dass du diesen Punkt berechnen musst:

Hier kannst du Folgendes erkennen:

• Wenn c$c$ positiv ist, verschiebt sich die Parabel nach oben (entlang der y$y$-Achse).
• Wenn c$c$ negativ ist, verschiebt sich die Parabel nach unten. 

Wenn du Aufgaben zu quadratischen Funktionen lösen sollst, ist manchmal die Scheitelpunktform und manchmal die Form für die allgemeine quadratische Funktion sinnvoller. Du kannst die eine Form in die andere umwandeln, und zwar mithilfe der binomischen Formeln. Auch die quadratische Ergänzung ist dabei nützlich. 

Die Normalparabel berührt die x$x$-Achse nur im Ursprung. Wenn Parabeln aber verschoben sind, können quadratische Funktionen statt einer auch zwei oder gar keine Nullstellen haben. Wie findest du das heraus? Es kommt darauf an, wie deine quadratischen Funktionen und Gleichungen vorliegen:

• Hast du eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform (f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$)? Dann kannst du die Gleichung gleich Null setzen und nach x$x$ auflösen. Wenn es zwei Nullstellen gibt, rechnest du x1$x_1$ und x2$x_2$ aus.
• Du hast die Formel für die allgemeine quadratische Funktion (f(x)=a⋅x2+b⋅x+c$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$)? Dann kannst du, ohne die Gleichung nach x$x$ aufzulösen, mit der Mitternachtsformel die Nullstellen berechnen.
• Deine Gleichung liegt in Normalform vor (f(x)=x2+b⋅x+c$f(x)=x^2+b\cdot x+c$)? Dann hilft dir die p-q-Formel weiter. Deine Ergebnisse kannst du mit dem Satz von Vieta überprüfen.
  
• Wenn du großes Glück hast, hast du sogar die faktorisierte Form vor dir. Sie sieht so aus: f(x)=(x−x1)⋅(x−x2)$f(x)=(x-x_1)\cdot (x-x_2)$.

Hier kannst du die Nullstellen der quadratischen Funktion ablesen: Sie liegen bei x1$x_1$ und x2$x_2$ – du musst nur das Vorzeichen umdrehen.

Du weißt nun schon, wie du quadratische Funktionen zeichnen kannst, wenn du die Funktionsgleichung kennst. Aber wie ist es andersherum – wenn du den Graphen hast, aber die Funktionsgleichung von Parabeln bestimmen sollst?

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Erinnere dich an die allgemeine Form der Scheitelpunktform:

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

Du kannst am Graphen sehen, dass der Scheitelpunkt bei (2|3)$(2|3)$ liegt. Diese Koordinaten kannst du sofort in die Gleichung einsetzen:

f(x)=a⋅(x−2)2+3$f(x)=a\cdot (x-2{)}^2+3$

Jetzt brauchen wir noch den Streckfaktor a$a$. Um ihn berechnen zu können, brauchen wir einen weiteren Punkt. Wir nutzen dazu den Schnittpunkt mit der y$y$-Achse, den wir ebenfalls ablesen können: (0|−1)$(0|-1)$.

Der y$y$-Wert (−1$-1$) entspricht f(x)$f(x)$ und 0$0$ setzen wir für x$x$ ein:

−1=a⋅(0−2)2+3$-1=a\cdot (0-2{)}^2+3$

Das müssen wir jetzt nur noch ausrechnen:

−1=a⋅(−2)2+3$-1=a\cdot (-2{)}^2+3$

−1=4a+3$-1=4a+3$

−4=4a$-4=4a$

 a=−1$a=-1$

Jetzt ist unsere Funktionsgleichung fertig und sie lautet:

f(x)=−1⋅(x−2)2+3$f(x)=-1\cdot (x-2{)}^2+3$

• Quadratische Funktionen erkennst du daran, dass sie ein x2$x^2$ in der Gleichung haben. Eine höhere Potenz von x$x$ gibt es in der Gleichung nicht. 
• Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der Hoch- oder Tiefpunkt dieser Parabel heißt Scheitelpunkt. 
• Die einfachste quadratische Funktion ist x2$x^2$. Sie berührt das Koordinatensystem im Ursprung. 
• Quadratische Funktionen können gestreckt, gestaucht oder gespiegelt werden. Außerdem können sie entlang der x$x$-Achse oder der y$y$-Achse verschoben sein.
• Diese Veränderungen erreichst du mit verschiedenen Parametern.
• Du kannst die Nullstellen quadratischer Gleichungen zum Beispiel mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel ausrechnen.