Mathematik – Hessesche Normalform

In der analytischen Geometrie beschäftigst du dich mit Geraden und Ebenen im zwei- und dreidimensionalen Raum. Geraden und Ebenen kannst du mit unterschiedlichen Formen beschreiben, zum Beispiel mit der Koordinatenform, der Parameterform oder der Normalform (auch Normalenform genannt).

Die Hessesche Normalform ist ein Sonderfall der Normalenform. Die Normalenform stellst du so auf:

E:n⃗ ⋅(x⃗ −p⃗ )=0$E:\overrightarrow{n}\cdot (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})=0$

Dabei gilt: 

• n⃗ $\overrightarrow{n}$ ist der sogenannte Normalenvektor. Er steht senkrecht zu der Gerade oder Ebene, die du beschreiben willst.
• p⃗ $\overrightarrow{p}$ ist ein Vektor zu einem beliebigen Punkt, der auf deiner Geraden oder Ebene liegt. Man nennt diesen Punkt den Aufpunkt.   

Die Formel für die Hessesche Normalform sieht fast genauso aus:

E:n⃗ 0⋅(x⃗ −a⃗ )=0$E:{\overrightarrow{n}}_0\cdot (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})=0$

Der Unterschied besteht nur darin, dass du hier mit einem sogenannten „normierten Normalenvektor“ rechnest. Er heißt deshalb n⃗ 0${\overrightarrow{n}}_0$ Dass er normiert ist, bedeutet, dass er genau die Länge 1 hat. 

Der Vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ heißt hier zwar anders, entspricht aber dem p⃗ $\overrightarrow{p}$ in der Normalenform. Er ist der Vektor des sogenannten „Aufpunkts“ – einem beliebigen Punkt auf der Geraden oder Ebene – und heißt deshalb a⃗ $\overrightarrow{a}$

Wie oben schon angedeutet, kannst du mit der Hesseschen Normalform den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnen. Dazu musst du nur den Punkt in die Hessesche Normalform einsetzen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. 

Wenn du für eine Ebene die Hessesche Normalform vor dir hast, kannst du sehr leicht den Abstand zwischen einem Punkt und der Ebene berechnen (natürlich auf dem kürzesten Weg). 

Beispiel:

Gegeben ist diese Ebene in Hessescher Normalform:

E:⎛⎝⎜010⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜205⎞⎠⎟⎞⎠⎟=0$E:\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)\right)=0$

Welchen Abstand d hat der Punkt (7|2|3) zu dieser Ebene?

Lösung:

Solche Aufgaben zur Hesseschen Normalform sind einfach zu lösen. Du musst nur den Vektor des gegebenen Punkts für x⃗ $\overrightarrow{x}$ in der Ebenengleichung einsetzen und den Abstand d ausrechnen. 

Zuerst setzen wir den Vektor x⃗ $\overrightarrow{x}$ein:

d=∣∣∣∣⎛⎝⎜010⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜⎛⎝⎜723⎞⎠⎟−⎛⎝⎜205⎞⎠⎟⎞⎠⎟∣∣∣∣$d=\left|\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)\right)\right|$

Achtung: Wir haben hier Betragsstriche gesetzt. Warum? Weil ein Abstand natürlich niemals negativ sein kann, auch wenn du bei der Rechnung vielleicht ein negatives Ergebnis erhältst. 

Als Nächstes rechnen wir die Klammer aus:

d=∣∣∣∣(0110)∘⎛⎝⎜723205⎞⎠⎟∣∣∣∣=∣∣∣(0110)∘(7−23−52−05)∣∣∣=∣∣∣(0110)∘(5−225)∣∣∣$d=\left|\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 2& 0\\ 3& 5\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}7-2& 2-0\\ 3-5& 5\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}5& 2\\ -2& 5\end{array}\right)\right|$

Jetzt bilden wir das Skalarprodukt aus den verbleibenden zwei Vektoren:

d=|0⋅5+1⋅2+0⋅(−2)|=|0+2+0|=|2|$d=|0\cdot 5+1\cdot 2+0\cdot (-2)|=|0+2+0|=|2|$

An dieser Stelle bilden wir jetzt den Betrag – unser Ergebnis ist aber schon positiv – und erhalten einen Abstand von 2 LE (Längeneinheiten). 

Das war’s schon! 

Ergebnis interpretieren

Du kannst noch mehr Informationen aus deinem Ergebnis ablesen, und zwar:

• Wenn dein Ergebnis positiv ist, liegt dein Punkt auf der anderen Seite deiner Ebene als der Ursprung.
• Wenn dein Ergebnis negativ ist, liegt dein Punkt auf derselben Seite deiner Ebene wie der Ursprung.
• Wenn dein Ergebnis gleich null ist, liegt dein Punkt sogar direkt in deiner Ebene.

Tipp: Theoretisch kannst du ebenfalls mit der Hesseschen Normalform den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden berechnen. Das ist aber aufwendig und daher meist nicht sinnvoll. Es gibt einfachere Verfahren, mit denen du den Abstand zwischen Punkt und Gerade herausfinden kannst.

Schauen wir uns jetzt an, wie du die Hessesche Normalform bestimmen kannst.

Nicht immer das du das Glück, dass in einer Aufgabe die Hessesche Normalform einer Ebene vorliegt. Dann musst du zuerst die Hessesche Normalform bilden. Wir schauen uns Beispiele für die Hessesche Normalform für Geraden und Ebenen an.

Zuerst schauen wir uns an, wie du aus der Normalenform die Hessesche Normalform berechnen kannst.

Beispiel für die Hessesche Normalform einer Geraden

Als Beispiel nehmen wir diese Gerade in Normalenform:

g:(43)∘[(x1x2)−(21)]=0$g:{\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)}^{\circ }\left[\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\right]=0$

Jetzt müssen wir den Normalenvektor normieren. Dazu rechnen wir zuerst seine Länge (seinen Betrag) aus. Das geht so:

∥n⃗ ∥=∥∥∥(43)∥∥∥=42+32−−−−−−√=16+9−−−−−√=25−−√=5$\Vert \overrightarrow{n}\Vert =\Vert \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\Vert =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Durch diesen Betrag müssen wir jetzt den ursprünglichen Normalenvektor teilen. Dazu können wir auch mit dem Kehrwert malnehmen und erhalten so:

∥n⃗ 0∥=15⋅(43)$\Vert {\overrightarrow{n}}_0\Vert =\frac{1}{5}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$

Diesen normierten Normalenvektor setzen wir jetzt in die Gleichung ein. Schon haben wir die Hessesche Normalform der Geradengleichung berechnet:

g:15⋅(43)∘((x1x2)−(21))=0$g:\frac{1}{5}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\right)=0$

Beispiel für die Hessesche Normalform einer Ebene

Für Ebenen funktioniert das Vorgehen ganz ähnlich.

Als Beispiel nehmen wir diese Ebene in Normalenform:

E:⎛⎝⎜214⎞⎠⎟∘⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜503⎞⎠⎟⎞⎠⎟=0$E:\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)\right)=0$

Wieder müssen wir den Normalenvektor normieren. Wir bilden dazu zuerst den Betrag. 

n⃗ ∥=∥∥∥∥⎛⎝⎜214⎞⎠⎟∥∥∥∥=22+12+42−−−−−−−−−−√=4+1+16−−−−−−−−√=21−−√$\overrightarrow{n}\Vert =\Vert \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)\Vert =\sqrt{2^2+1^2+4^2}=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}$

Jetzt teilen wir wieder durch den Kehrwert und erhalten so die fertige Gleichung in Hessescher Normalform:

E:121√⋅⎛⎝⎜214⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜503⎞⎠⎟⎞⎠⎟=0$E:\frac{1}{\sqrt{21}}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)\right)=0$

Und wie lautet die Hessesche Normalform für eine Gleichung in Koordinatenform? Mit dem Wissen, dass du jetzt hast, ist das nicht weiter schwierig. Du musst nur zuerst den Normalenvektor aus der Gleichung ablesen und dann (fast) genauso vorgehen, wie du es eben gelernt hast.

Beispiel für die Hessesche Normalform einer Geraden

Wir nehmen als Beispiel diese Gerade in Koordinatenform:

g:2x1−3x2+5=0$g:2x_1-3x_2+5=0$

Den Normalenvektor können wir aus der Gleichung ablesen. Er besteht aus den Zahlen vor  x1$x^1$ und x2$x^2$:

n⃗ =(2−3)$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$

Jetzt gehen wir vor, wie du es bereits kennst. Wir berechnen zuerst die Länge des Normalenvektors: 

n⃗ ∥=∥∥∥(2−3)∥∥∥=22+(−3)2−−−−−−−−−√=4+9−−−−√=13−−√$\overrightarrow{n}\Vert =\Vert \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)\Vert =\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

Nun teilen wir durch den Kehrwert und stellen die Gleichung auf:

g:113√⋅[2x1−3x2+5]=0$g:\frac{1}{\sqrt{13}}\cdot \left[2x_1-3x_2+5\right]=0$

Beispiel für die Hessesche Normalform einer Ebene

Wieder ist das Vorgehen für die Hessesche Normalform aus der Koordinatenform ganz ähnlich.

Nehmen wir diese Ebene als Beispiel:

E:2x1−3x2+5x3−4=0$E:2x_1-3x_2+5x_3-4=0$

Wieder lesen wir zuerst den Normalenvektor aus den Zahlen vor den Variablen ab:

n⃗ =⎛⎝⎜2−35⎞⎠⎟$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 5\end{array}\right)$

Wir berechnen den Betrag:

∥n⃗ ∥=22+(−3)2+52−−−−−−−−−−−−−√=4+9+25−−−−−−−−√=38−−√$\Vert \overrightarrow{n}\Vert =\sqrt{2^2+(-3{)}^2+5^2}=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}$

Und wir nehmen mit dem Kehrwert mal und stellen die Gleichung auf: 

g:138√⋅[2x1−3x2+5x3−4]=0$g:\frac{1}{\sqrt{38}}\cdot \left[2x_1-3x_2+5x_3-4\right]=0$

Hessesche Normalform aus Parameterform ermitteln

Wie gehst du vor, wenn du die Parameterform in die Hessesche Normalform umwandeln sollst? Dazu gehst du den Umweg über die „normale“ Normalenform:

1.       Wandle zuerst die Parameterform in die Normalenform um.

2.       Bestimme dann aus der Normalenform die Hessesche Normalform, wie du es hier gelernt hast.

• Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Geraden und Ebenen in Gleichungsform darzustellen.
• Eine davon ist die Normalenform. Die Hessesche Normalform ist ein Sonderfall der Normalenform.
• Um die Hessische Normalenform aus der Normalenform zu bestimmen, musst du den gegebenen Normalenvektor normieren. Das bedeutet, du setzt seine Länge auf genau 1.
• Um die Hessische Normalform aus der Koordinatenform zu bilden, musst du zuerst den Betrag des Normalenvektors ausrechnen und dann mit seinem Kehrwert multiplizieren.
• Du nutzt die Hessesche Normalform, um den Abstand zwischen Punkten und Ebenen zu berechnen.