Mathematik – Spurpunkte berechnen

Spurpunkte kommen in der analytischen Geometrie vor – wenn du im dreidimensionalen Vektorraum rechnest. 

Zum besseren Verständnis kannst du dir das Ganze aber auch erst einmal mit zwei Dimensionen verdeutlichen: In einem Koordinatensystem mit einer x- und einer y-Achse berechnest du häufig die Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit den Achsen. Das sieht zum Beispiel so aus:

Hier siehst du, dass die Gerade die x-Achse bei (-0,5|0) schneidet. Sie schneidet auch die y-Achse, nämlich bei (0|1). Das sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. 

Stellen wir uns das jetzt dreidimensional vor. Du hast jetzt nicht mehr zwei, sondern drei Koordinatenachsen: die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse. Diese Achsen spannen drei Ebenen auf:

• die xy-Ebene, aufgespannt von der x-Achse und der y-Achse
• die yz-Ebene, aufgespannt von der y-Achse und der z-Achse
• die xz-Ebene, aufgespannt von der x-Achse und der z-Achse

Diese Ebenen, die von den Koordinatenachsen aufgespannt werden, heißen Koordinatenebenen.

Wenn du jetzt eine Gerade in diesem dreidimensionalen Raum platzierst, kann diese eine, zwei oder sogar alle drei dieser Ebenen schneiden. Die Punkte, an denen die Gerade durch diese Ebenen hindurchtritt, heißen Spurpunkte. Weil Geraden hier die Koordinatenebenen „durchstoßen“, werden die Spurpunkte manchmal auch „Durchstoßpunkte“ genannt.

Ein Spurpunkt (oder Durchstoßpunkt) ist ein Schnittpunkt und wird daher mit S bezeichnet. Er bekommt dann außerdem einen Index, damit eindeutig ist, zu welcher Ebene er gehört. So heißen also die Spurpunkte zu den drei Koordinatenebenen:

• xy-Ebene 🡪 Spurpunkt S_xy
• yz-Ebene 🡪 Spurpunkt S_yz
• xz-Ebene 🡪 Spurpunkt S_xz

Vielleicht heißen bei dir in der Schule die Achsen im dreidimensionalen Koordinatensystem aber auch x₁, x₂ und x₃. Je nachdem, welche Spurpunkte du berechnen sollst, heißen diese dann

Hier musst du genau aufpassen, um welche Koordinatenebene es gerade geht.

Wenn du die Spurpunkte einer Geraden berechnest, dann gibt es pro Koordinatenebene nur höchstens einen solchen Schnittpunkt – maximal also drei (Ausnahme: Sonderfälle, die wir dir weiter unten erklären). Wir zeigen dir gleich, wie du die Spurpunkte einer Geraden berechnen kannst. 

Im Vektorraum kannst du aber nicht nur Geraden, sondern auch ganze Ebenen betrachten. Wenn eine Ebene eine Koordinatenachse schneidet, entsteht auch hier ein Spurpunkt, den du berechnen kannst. Eine Ebene kann jede Koordinatenachse nur einmal schneiden, es sei denn, sie liegt exakt auf dieser Achse – dann gäbe es unendlich viele Spurpunkte.

Außerdem kannst du dir ansehen, wo eine Ebene eine der drei Koordinatenebenen schneidet. Hier geht also eine Ebene durch eine andere Ebene. Dabei entstehen nicht mehr nur Schnittpunkte, sondern es entsteht eine ganze Gerade – unendlich viele Schnittpunkte. Hier spricht man also nicht mehr von Spurpunkten, sondern von Spurgeraden. Wenn eine Ebene genau auf einer Koordinatenebene liegt, dann sind die Ebenen gleich und es gibt hier sogar unendlich viele Spurgeraden.

Schauen wir uns nun die Berechnung von Spurpunkten einer Geraden an. Um Spurpunkte zu berechnen, brauchst du die Geradengleichung der Geraden, die du auf Spurpunkte untersuchen möchtest. 

Nehmen wir diese Geradengleichung als Beispiel:

Diese Gleichung enthält einen Parameter (r). Er kann eine beliebige Zahl sein. Bei dir in der Schule heißt er vielleicht nicht r, sondern s, t oder

Gemeint ist aber immer dasselbe – wir kennen diese Zahl einfach nicht und brauchen daher einen Platzhalter. 

Nun wollen wir als Erstes herausfinden, ob es einen Schnittpunkt dieser Geraden mit der xy-Ebene gibt. 

Spurpunkte berechnen: Anleitung für xy-Ebene

Wir suchen also den Punkt, an dem unsere Gerade die xy-Ebene durchstößt. Da dieser Punkt also auf der xy-Ebene liegen müsste, muss die z-Koordinate gleich null sein. Die x-Koordinate steht in der ersten Zeile, die y-Koordinate in der zweiten Zeile und die z-Koordinate in der dritten Zeile der Gleichung.

Wir können daher die dritte Zeile unserer Geradengleichung nehmen und schreiben:

Für z setzen wir jetzt 0 ein und erhalten:

Jetzt können wir die Gleichung auflösen, um r zu berechnen:

Diesen Wert setzen wir jetzt in unsere ursprüngliche Gleichung ein. So berechnen wir den Spurpunkt der Geraden auf der xy-Ebene:

Jetzt haben wir unseren Spurpunkt gefunden: Er heißt S_xy(5|4|0).

Spurpunkte berechnen: Anleitung für die yz-Ebene

Genauso können wir jetzt den Schnittpunkt mit der yz-Ebene berechnen. Wir müssen uns nur überlegen, welche Koordinate dann null ist (Spoiler: die x-Koordinate), und die Zeile, in der diese Koordinate steht, gleich null setzen. 

Für die yz-Ebene rechnen wir also mit der ersten Zeile unserer Geradengleichung und schreiben: 

Wieder setzen wir jetzt r in die ursprüngliche Gleichung ein, um so den Spurpunkt zu berechnen:

Wir haben den zweiten Spurpunkt gefunden: S_yz (0|-6| 5)

Spurpunkte berechnen: Anleitung für xz-Ebene

Machen dir das Gleiche jetzt noch für die dritte Ebene. Du ahnst vielleicht schon, dass diesmal die y-Koordinate gleich null sein muss und wir mit der zweiten Zeile der Gleichung rechnen:

Wir lösen wieder nach r auf:

Und wir setzen wieder in die Geradengleichung ein:

Jetzt sind wir fertig mit dem Bestimmen der Spurpunkte!

Hier siehst du noch einmal alle Schritte auf einen Blick. So kannst du Aufgaben zu Spurpunkten einfach lösen:

1. Wähle aus, welchen Spurpunkt du berechnen willst, und überlege dir, welche der Koordinaten dann null sein muss.
2. Setze die entsprechende Zeile der Geradengleichung gleich null: für x die erste Zeile, für y die zweite Zeile und für z die dritte Zeile der Gleichung.
3. Löse die Gleichung nach dem Parameter (zum Beispiel r) auf.
4. Setze dein Ergebnis für den Parameter in die ursprüngliche Geradengleichung ein.
5. Berechne deinen Spurpunkt. 

Warum überhaupt Spurpunkte konstruieren, fragst du dich vielleicht? Du kannst mit Spurpunkten die Gerade im Raum besser verstehen – dir vorstellen, wo und wie sie im Raum liegen muss. Es gibt nämlich nicht immer alle drei Spurpunkte. Du kannst dir zum Beispiel vorstellen, dass eine Gerade eben nur die xy-Ebene schneidet und die anderen nicht. 

Diese Informationen kannst du aus Spurpunkten in Mathe herauslesen:

• Deine Gleichung ist unlösbar? Dann bedeutet das, dass es für diese bestimmte Ebene keinen Spurpunkt gibt – deine Gerade schneidet sie nicht.
• Du findest insgesamt nur den Spurpunkt einer Ebene? Das bedeutet, dass deine Gerade parallel zu einer Koordinatenachse liegen muss – also zum Beispiel parallel zur x-Achse, wenn es nur auf der yz-Achse einen Spurpunkt gibt. 
• Du konntest zwei Spurpunkte bestimmen? Dann liegt deine Gerade parallel zu einer Koordinatenebene (aber nicht zu einer Koordinatenachse). Ist sie beispielsweise zur xy-Ebene parallel, dann muss sie zwingend irgendwann die anderen beiden Ebenen schneiden, sodass zwei Spurpunkte entstehen. 
• Du hast drei Spurpunkte gefunden? Das ist der häufigste Fall. Deine Gerade liegt dann zu keiner der drei Koordinatenebenen parallel. Somit muss sie alle drei früher oder später schneiden, sodass es drei Spurpunkte zu berechnen gibt.
• Deine Gleichung hat unendlich viele mögliche Lösungen? Auch das kommt manchmal vor. Dann gibt es auch unendlich viele Spurpunkte. Das bedeutet, dass deine Gerade entweder genau auf einer Koordinatenachse liegt (und damit unendlich viele Schnittpunkte mit dieser Achse und den angrenzenden Ebenen hat) oder sich genau in einer Koordinatenebene befindet (und damit auch hier unendlich viele Schnittpunkte entstehen).

Außerdem gibt es noch zwei spannende Sonderfälle:

1. Wenn deine Gerade eine Koordinatenachse schneidet, dann schneidet sie damit auch zeitgleich zwei Ebenen. Daher fallen hier zwei Spurpunkte zusammen. 
2. Wenn deine Gerade durch den Ursprung geht, schneidet sie hier sogar alle drei Ebenen. Du hast dann drei Spurpunkte, aber sie liegen alle im selben Punkt.

Super! Jetzt bist du gut darauf vorbereitet, Spurpunkte zu bestimmen.

• Spurpunkte sind in der analytischen Geometrie relevant, wenn du im dreidimensionalen Vektorraum rechnest.
• Spurpunkte heißen die Punkte, in denen Geraden im Raum die Koordinatenebenen schneiden.
• Eine Gerade kann einen, zwei, drei oder sogar unendlich viele Spurpunkte haben.
• Du kannst Spurpunkte einer Geraden berechnen, indem du in der Geradengleichung die entsprechende Koordinate gleich null setzt, den Parameter ausrechnest und dein Ergebnis dann in die Geradengleichung einsetzt. So ermittelst du den Schnittpunkt mit der Koordinatenebene.
• Wiederhole dieses Vorgehen für alle drei Koordinatenebenen, um alle Spurpunkte zu bestimmen (sofern vorhanden). 
  

Wie berechnet man Spurpunkte? 

Um Spurpunkte zu berechnen, setze die entsprechende Koordinate in der Geradengleichung gleich null und ermittle den Parameter der Gleichung. Setze dein Ergebnis dann in deine ursprüngliche Gleichung ein und du erhältst den Spurpunkt. Im Text oben ist das detailliert an Beispielen erklärt. 

Was sind die Spurpunkte einer Geraden?

Wo eine Gerade im Vektorraum eine Koordinatenebene schneidet, entsteht ein Spurpunkt. Eine Gerade hat oft drei, manchmal nur zwei oder nur einen Spurpunkt. Sie kann aber auch unendlich viele Spurpunkte haben, wenn sie auf einer Koordinatenachse oder in einer Koordinatenebene liegt.

Was sind die Spurpunkte einer Ebene?

Wenn eine Ebene eine Koordinatenachse schneidet, entsteht dort ein Spurpunkt. Diese Spurpunkte einer Ebene kannst du berechnen und sie nutzen, um gegebene Ebene zu beschreiben.