Mathematik – Winkel berechnen

Ob in Geometrie oder in Trigonometrie: Früher oder später musst du in Mathe Winkel berechnen. Wir zeigen dir hier Beispiele für die Winkelberechnung im Dreieck, Viereck oder Vieleck – immer ganz einfach erklärt, damit du gut mitkommst. Lass uns loslegen! 

Winkel werden in Mathematik mit kleinen griechischen Buchstaben gekennzeichnet. Am häufigsten kommen die Buchstaben α (Alpha), β (Beta) und γ (Gamma) vor – ein Dreieck hat schließlich nur drei Winkel. In Vielecken brauchst du aber noch weitere Bezeichnungen für Winkel, zum Beispiel δ (Delta) und ε (Epsilon). 

Winkel werden in Grad gemessen. Das Zeichen für Grad ist °. Du findest in Aufgaben zur Winkelberechnung zum Beispiel Angaben wie α=27 °. Das spricht man „Der Winkel Alpha hat 27 Grad.“ 

Im Dreieck gibt es drei Eckpunkte (im Viereck entsprechend vier und so weiter). Sie werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, also A, B, C und so weiter. Der Punkt A liegt am Winkel α, der Punkt B am Winkel β, der Punkt C am Winkel γ etc.

Die Seiten des Dreiecks (oder Vierecks etc.) bekommen kleine lateinische Buchstaben: a, b, c und so weiter. Im Dreieck liegen die Seiten den entsprechenden Eckpunkten gegenüber: Gegenüber von Punkt A liegt die Seite a und so weiter.

Zuletzt brauchst du für die Winkelberechnung in verschiedenen Figuren noch den Begriff "Innenwinkelsumme". Die Innenwinkelsumme ist die Summe aus allen Winkeln in dieser Figur. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist 180°, die eines Vierecks 360°. Dieses Wissen hilft dir, fehlende Winkel zu berechnen.

Jetzt bist du gut vorbereitet für einige Beispiele!

Mithilfe der Innenwinkelsumme kannst du immer den fehlenden Winkel berechnen, wenn du zwei Winkel gegeben hast. Das gilt für alle Dreiecke. 

Aufgabe:

Gegeben sind die Winkel α=37° und β=21°. Wie groß ist der Winkel γ ?

Lösung: 

Wir verwenden diese Formel, um den Winkel zu berechnen:

InnenwinkelsummeDreieck=α+β+γ

Da wir γ suchen, müssen wir die Formel umstellen:

γ=InnenwinkelsummeDreieck−α−β

Wir können jetzt für die Innenwinkelsumme 180° einsetzen. Außerdem kennen wir die Werte für die Winkel α und β.

γ=180°−37°−21°

Jetzt müssen wir nur noch ausrechnen:

γ=122°

Fertig!

Es gibt bei Dreiecken ein paar Besonderheiten, die dir das Berechnen der Winkel leichter machen:

Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleichlange Seiten:

Das führt dazu, dass auch die Winkel gleich groß sind, die diesen gleichlangen Seiten jeweils gegenüber liegen. In diesem Beispiel sind das die Seiten a und b sowie die Winkel α und β. Für die Berechnung der Winkel in diesem Dreieck heißt das: Wenn du den Winkel α oder β kennst, kennst du auch den jeweils anderen - und kannst dann ohne Probleme, wie oben gezeigt, γ ausrechnen.

Gleichseitiges Dreieck

Im gleichseitigen Dreieck sind nicht nur zwei, sondern sogar alle drei Seiten gleich lang:

Das bedeutet: In diesem Dreieck sind nicht nur alle Seitenlängen gleich, sondern auch alle Winkel gleich groß – nämlich genau 60 °. Wenn du eine Seite kennst, kennst du alle Seiten, und die Winkel musst du gar nicht berechnen. 

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat – wie der Name vermuten lässt – einen rechten Winkel. Das bedeutet für dich: Du brauchst den rechten Winkel nicht zu berechnen, und wenn dir zusätzlich einer der anderen beiden Winkel bekannt ist, kannst du den dritten mithilfe der Innenwinkelsumme finden. 

Für Fortgeschrittene: Wenn du bereits im Thema Trigonometrie angekommen bist, kannst du auch Berechnungen mit der Sinusfunktion, der Kosinusfunktion und der Tangensfunktion anstellen, um die Winkel in Dreiecken zu berechnen. Springe dafür nach unten zum Punkt Winkelberechnung für Fortgeschrittene: Sinus, Kosinus und Tangens.

Du erinnerst dich an die Regel für das Berechnen von Winkeln im Viereck? Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt immer 360 °. Wenn dir in einem beliebigen Viereck also drei Winkel bekannt sind, kannst du den fehlenden Winkel mit dieser Formel berechnen: 

InnenwinkelsummeViereck=α+β+γ+δ

Wir setzen die Werte ein, die wir kennen: 

δ=360°−75°−55°−125°

Und wir rechnen aus:

δ=105°

Fertig! So kannst du die Winkel in jedem beliebigen Viereck berechnen. 

Tipps für das Winkelberechnen für Fortgeschrittene: Wenn dir von den vier Winkeln nicht drei bekannt sind, funktioniert diese Methode nicht. Dann kannst du möglicherweise dein Viereck in Dreiecke zerlegen und über die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion die Winkel berechnen. 

InnenwinkelsummeVieleck=(n−2)⋅180°

n ist die Anzahl der Ecken, die deine Figur hat. Ein Sechseck hat also eine Innenwinkelsumme von:

InnenwinkelsummeSechseck=(6−2)⋅180°=4⋅180°=720°

In der Trigonometrie wird es dir oft nicht mehr so leicht gemacht, dass du zwei von drei Winkeln im Dreieck gegeben hast. Stattdessen hast du Werte für die Seitenlängen oder die Höhe des Dreiecks. Hier findest du eine einfache Erklärung zur Winkelberechnung in der Mathematik für Fortgeschrittene.

Achtung: Diese Berechnungen funktionieren nur bei rechtwinkligen Dreiecken. Dort gelten nämlich der Sinussatz und der Kosinussatz, die beschreiben, in welchen Verhältnissen Winkel und Seitenlängen zueinander stehen. 

Diese Fachbegriffe brauchst du

Diese wichtigen Bezeichnungen solltest du kennen, damit du Übungen zur Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck gut verstehen kannst: 

• Winkelfunktionen: Die Winkelfunktionen Sinus ( sin ), Kosinus ( cos ) und Tangens ( tan ) zeigen die Verhältnisse verschiedener Seiten im Dreieck zueinander an. Das Ergebnis der Funktion ist immer eine Zahl.
• Hypotenuse: Die Hypotenuse ist die Seite, die im rechtwinkligen Dreieck dem rechten Winkel gegenüberliegt. Wichtig: Sie ist immer die längste Seite. Vorsicht: In Dreiecken ohne rechten Winkel gibt es keine Hypotenuse:
• Ankathete: Die Ankathete ist die Seite, die an dem Winkel anliegt, der berechnet werden soll – und die zugleich nicht die Hypotenuse ist.
• Gegenkathete: Sie liegt dem Winkel gegenüber, den du berechnen möchtest. 

Dazu ein Beispiel:

In diesem Dreieck ist die Seite b (blau) die Hypotenuse, denn sie liegt dem rechten Winkel β gegenüber und ist die längste Seite. Ankathete und Gegenkathete hängen von den Winkeln ab: Möchtest du den Winkel α berechnen, dann ist die anliegende Seite c (grün) die Ankathete und a (rot) die Gegenkathete. Für den Winkel γ ist es umgekehrt.

Zuletzt musst du noch die Umkehrfunktion kennen (auch Umkehrabbildung genannt). Die Umkehrfunktion der Winkelfunktion heißen arcsin, arccos und arctan. Das Ergebnis dieser Funktionen ist - im Gegensatz zur Winkelfunktion - ein Winkel. Du kannst statt arcsin auch sin−1 schreiben (und analog auch für die Kosinus- und Tangensfunktion).

So sehen die Formeln der Winkelfunktionen aus: 

sin(α)=GegenkatheteHypotenuse

cos(α)=AnkatheteHypotenuse

tan(α)=GegenkatheteAnkathete

Du kannst mit ihnen die Seitenlängen im Dreieck mit den Winkeln berechnen – oder umgekehrt die Winkel berechnen, wenn du die Längen der Seiten gegeben hast. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Aufgabe: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a = 3cm, b = 4cm und c = 5cm. Berechne die fehlenden Winkel.

Wir wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel 90 ° hat. Wir wissen außerdem, dass ihm gegenüber die Hypotenuse liegt, die 5 cm lang sein muss, da sie immer die längste Seite ist. 

Berechnen wir zunächst den Winkel α mithilfe der oben genannten Formel:

sin(α)=GegenkatheteHypotenuse

Wir erinnern uns: Der Winkel α liegt am Punkt A und ihm gegenüber (Gegenkathete) liegt die Seite a.

Daher können wir einsetzen:

sin(α)=3cm5cm=0,6

Um daraus jetzt den Winkel zu ermitteln, brauchen wir die Umkehrfunktion. Diesen Schritt rechnest du mit einem Taschenrechner: 

α=sin−1(0,6)≈36,89°

Geschafft! Da wir alle drei Seiten des Dreiecks gegeben haben, hättest du übrigens auch rechnen können: 

cos(α)=AnkatheteHypotenuse

Für die Ankathete hättest du dann b=4cm eingesetzt.

Lass uns der Vollständigkeit halber noch den Winkel β berechnen. Das geht ganz einfach, denn wir kennen jetzt bereits zwei Winkel und können daher den Weg über die Innenwinkelsumme gehen:

InnenwinkelsummeDreieck=α+β+γ

Wir stellen nach β um:

β=InnenwinkelsummeDreieck−α−γ

Und wir setzen unsere bekannten Werte ein:

β=180°−36,89°−90°≈53,11°

Tipp: Wenn dir Seitenlängen im Dreieck fehlen, du aber die Höhe des Dreiecks gegeben hast, kann es manchmal funktionieren, ein großes Dreieck in zwei kleine zu zerlegen – die wird dann zu einer Seite, mit der du rechnen kannst.

Fertig! Nun kannst du mit Formeln Winkeln berechnen – im Dreieck, Viereck oder Vieleck.

• Oft musst du in Geometrie oder Trigonometrie Winkel berechnen. 
• Du kannst die Winkel verschiedenster Figuren berechnen: von Dreiecken, Vierecken und Vielecken.
• Am leichtesten berechnest du Winkel über die Summe der Innenwinkel. Die beträgt im Dreieck 180° und im Viereck 360°. 
• Wenn nicht genügend Winkel bekannt sind, kannst du Winkel im Dreieck über die Seitenlänge berechnen. Dazu brauchst du die Winkelfunktionen.
• Vier- und Vielecke kannst du in Dreiecke zerlegen, um so die Winkel zu berechnen.