Mathematik – Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform macht es dir leicht, den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion direkt anhand der Gleichung abzulesen. Aber wie kannst du die Scheitelpunktform aufstellen, wenn die Funktionsgleichung in anderer Form vorliegt? Wir zeigen es dir – Schritt für Schritt und mit vielen Beispielen. 

Die Scheitelpunktform ist für quadratische Funktionen nützlich. Quadratische Funktionen haben in der grafischen Darstellung die Form einer Parabel. 

So sieht zum Beispiel die Funktion f(x)=12 x2+2x−3$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2x-3$

Eine solche Parabel hat immer einen Scheitelpunkt. Das ist der höchste Punkt des Graphen, wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, oder – wie in unserem Beispiel – der tiefste Punkt, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist. 

Am Graphen der quadratischen Funktion kannst du den Scheitelpunkt ablesen: Hier liegt er bei S(–2|–5)$S(–2|–5)$. Was aber, wenn du keinen Graphen gegeben hast? Dann kannst du mithilfe der ersten Ableitung den Extrempunkt (Hochpunkt oder Tiefpunkt) – also den Scheitelpunkt – berechnen. Denn die erste Ableitung gibt die Steigung der Kurve an – wenn sie gleich Null ist, gibt es keine Steigung, sondern einen Hoch- oder Tiefpunkt. Wie du diese Berechnung durchführst, lernst du im Rahmen der Kurvendiskussion. 

Vielleicht hast du das Ableiten noch gar nicht gelernt – oder du sollst aus anderen Gründen die Scheitelpunktform aufstellen. Sie ist nützlich, weil du ganz ohne Graphen aus der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt ablesen kannst. Wir zeigen dir, wie du die Scheitelpunktfunktion berechnen kannst.

Am häufigsten triffst du quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form an, die du vielleicht bereits kennengelernt hast: 

f(x)=ax2+bx+c$f(x)=a{x}^2+bx+c$

In der allgemeinen Form ist a$a$ ein Faktor (eine Zahl), mit dem die Variable x²$x²$ multipliziert wird. Genauso ist es mit b$b$, mit dem der Term x$x$ multipliziert wird. Und c$c$ ist eine Konstante, also ebenfalls eine Zahl. Sie wird addiert oder (bei negativem Vorzeichen) subtrahiert. So könnte eine Gleichung in der allgemeinen Form zum Beispiel aussehen:

f(x)=3x2+5x−2$f(x)=3x^2+5x-2$

Allerdings ist es sehr aufwendig, aus dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen. Deshalb gibt es die Scheitelpunktform: 

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

Das ist einfach eine andere Schreibweise für quadratische Gleichungen. Da die Buchstaben a$a$, b$b$ und c$c$ schon durch die allgemeine Form „besetzt“ sind, tauchen hier die Buchstaben d$d$ und e$e$ auf. Lass dich dadurch aber nicht verwirren. Auch sie sind einfach Zahlen. Das a$a$ kennst du schon – es ist ein Faktor.

Nun der große Vorteil: Du kannst aus der Scheitelpunktform einer Parabel einfach den Scheitelpunkt ablesen. Für den Schnittpunkt S(xS|yS)$S(x_S|y_S)$ gilt: 

xs=d$x_s=d$

xy=e$x_y=e$

Beispiel:

Deine quadratische Funktion in Scheitelpunktform lautet:

f(x)=2⋅(x−5)2+3$f(x)=2\cdot (x-5{)}^2+3$

Wir müssen nun d$d$ und e$e$ finden und schreiben dazu beides noch einmal untereinander:

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

f(x)=2⋅(x−5)2+3$f(x)=2\cdot (x-5{)}^2+3$

Jetzt sehen wir sehr deutlich: d=5$d=5$ und e=3$e=3$.

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt also bei S(5|3)$S(5|3)$.

Und was machst du nun, wenn deine quadratische Gleichung nicht in Scheitelpunktform vorliegt? Du kannst die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umformen. Wie das geht, zeigen wir dir gleich ganz ausführlich. 

Um die Scheitelpunktform zu berechnen, musst du zuerst die unterschiedlichen Möglichkeiten kennen, eine Funktionsgleichung zu schreiben. Folgende schauen wir uns an:

• die allgemeine Form
  
• die Normalform
  
• die Scheitelpunktform
  
• die faktorisierte Form

Die allgemeine Form

Wir haben gerade schon darüber gesprochen. Die allgemeine Form hat das Format:

f(x)=ax2+bx+c$f(x)=a{x}^2+bx+c$

Um den Scheitelpunkt einer solchen quadratischen Gleichung zu berechnen, hast du mehrere Möglichkeiten:

1. Du kannst, wie oben erwähnt, die erste Ableitung bilden und von dieser die Nullstelle ermitteln.
   
2. Du kannst die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umwandeln und den Scheitelpunkt dann aus der Gleichung ablesen.
   
3. Du kannst diese Formel nutzen: S(−b2a|c−b24a)$S(-\frac{b}{2a}|c-\frac{b^2}{4a})$
   

1. Möglichkeit: Ableitung bilden

Wie du den Scheitelpunkt mit der ersten Ableitung berechnen kannst, zeigen wir dir auf unserer Seite zu den Extremstellen. 

2. Möglichkeit: Funktionsgleichung in Scheitelpunktform umwandeln

Wie das geht, zeigen wir dir gleich an einem Beispiel.

3. Möglichkeit: Formel nutzen

Das rechnen wir gleich einmal durch, und zwar mit dieser Funktion:

f(x)=2x2−20x+53$f(x)=2x^2-20x+53$

Wir müssen nun a$a$, b$b$ und c$c$ bestimmen:

f(x)=ax2+bx+c$f(x)=a{x}^2+bx+c$

f(x)=2x2+20x+53$f(x)=2x^2+20x+53$

Das setzen wir in die Formel für dein Scheitelpunkt ein:

S(−b2a|c−b24a)$S(-\frac{b}{2a}|c-\frac{b^2}{4a})$

S(−−202⋅2|53−(−20)24⋅2)$S(-\frac{-20}{2\cdot 2}|53-\frac{(-20{)}^2}{4\cdot 2})$

Wir vereinfachen:

S(−−202⋅2|53−4008)$S(-\frac{-20}{2\cdot 2}|53-\frac{400}{8})$

S(5|53−50)$S(5|53-50)$

S(5|3)$S(5|3)$

Der Schnittpunkt liegt bei S(5|3)$S(5|3)$.

Die Scheitelpunktform hast du auch bereits kennengelernt. Noch einmal zur Erinnerung: Die allgemeine Scheitelpunktform sieht so aus: 

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

Aufgaben zur Scheitelpunktform zielen meist darauf ab, dass du die Koordinaten des Scheitelpunkts aus der Scheitelpunktform ablesen sollst, wie wir es dir oben erklärt haben.

Die faktorisierte Form

Die faktorisierte Form sieht so aus: 

f(x)=a⋅(x−x1)⋅(x−x2)$f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)$

a$a$ ist hier wieder ein Faktor, wie in den anderen Formen auch. x1$x_1$ und x2$x_2$ sind die Nullstellen der Funktion: Hier schneidet der Funktionsgraph die x-Achse. 

Schauen wir uns jetzt an, wie du andere Formen in die Scheitelpunktform umwandeln kannst. 

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform / Normalform in Scheitelpunktform umwandeln:

Du kannst die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umwandeln. Erinnere dich auch an den Sonderfall der allgemeinen Form – die Normalform. Mit demselben Vorgehen kannst du auch von der Normalform zur Scheitelpunktform gelangen. 

Dazu müssen wir zunächst die Binomischen Formeln auffrischen, denn wir werden sie gleich brauchen.

Außerdem brauchen wir die quadratische Ergänzung, um die Scheitelpunktform aus der Normalform oder allgemeinen Form zu bilden. Das sehen wir uns aber Schritt für Schritt an.

Beispiel: Scheitelpunktfunktion mit quadratischer Ergänzung
Unsere Funktion heißt f(x)=3x2−12x$f(x)=3x^2-12x$

So gehen wir Schritt für Schritt vor, um von dieser allgemeinen Form zur Scheitelpunktfunktion zu kommen:

1. Wir klammern den Faktor a$a$ vor dem x$x$ aus:

f(x)=3⋅(x2−4x)$f(x)=3\cdot (x^2-4x)$

Aufgepasst: Wenn du von der Normalform zur Scheitelpunktform willst, dann brauchst du diesen Schritt nicht. Denn in der Normalform ist der Faktor a=1. Eine 1 brauchst du nicht auszuklammern.

2. Herausfinden, welche Binomische Formel passt

Wir wollen jetzt eine Binomische Formel anwenden, und zwar auf den Ausdruck in der Klammer: (x2−4x)$(x^2-4x)$. Hier kommt nur die 2. Binomische Formel infrage. Denn: Für die erste bräuchtest du ein Plus innerhalb der Klammer und für die dritte bräuchtest du zwei Terme mit einer Potenz von 2${}^2$. Da wir hier aber ein Minuszeichen und nur einen Term mit 2(x2)${}^2(x^2)$ haben, muss es die 2. Binomische Formel sein. Sie lautet a2−2ab+b2=(a−b)2$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

3. a$a$ und b$b$ bestimmen

Unser x2$x^2$ ist der einzige Term mit einer Potenz 2${}^2$. Daher kommt für a$a$ nur x$x$ infrage. Der andere Term, 4x$4x$, ist dann unser Term 2ab$2ab$. Jetzt wollen wir noch b$b$ ausrechnen. Das ist einfach, denn:

2ab=4x$2ab=4x$

und

a=x$a=x$

Daher können wir schreiben:

2ab=4x=4a$2ab=4x=4a$

2ab=4a|÷a$2ab=4a|÷a$

2b=4|÷2$2b=4|÷2$

b=2$b=2$

4. Quadratische Ergänzung anwenden

Wir haben jetzt schon mehrere Teile, die wir für unsere Binomische Formel brauchen: 

a2−2ab+b2=(a−b)2$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

a2=x2$a^2=x^2$

2ab=−4x$2ab=-4x$

Wir wissen auch, dass b=2$b=2$ ist, daher wissen wir auch, dass b2=4$b2=4$. Allerdings dürfen wir das nicht einfach so hinzufügen, denn unsere Gleichung lautet ja nur \/ f(x) = 3 \cdot (x^2 - 4x) \).

Wir können aber einen Trick anwenden: Wir addieren die 4 (b²) hinzu und ziehen sie sofort wieder ab:

f(x)=3⋅(x2−4x+4−4)$f(x)=3\cdot (x^2-4x+4-4)$

Somit haben wir unterm Strich nur 0 hinzugefügt und unsere Gleichung nicht verändert. Trotzdem haben wir jetzt eine Form, auf die wir die 2. Binomische Formel anwenden können.

5. Binomische Formel anwenden

f(x)=3⋅(x2−4x+4−4)=3⋅[(x−2)2−4]$f(x)=3\cdot (x^2-4x+4-4)=3\cdot [(x-2{)}^2-4]$

Du siehst: die +4$+4$ ist Teil der Binomischen Formel geworden, die −4$-4$ bleibt einfach stehen. 

Jetzt können wir die Gleichung noch vereinfachen, indem wir die −4$-4$ mit dem Faktor 3$3$ malnehmen:

f(x)=3⋅[(x−2)2−4]=3⋅(x−2)2−12$f(x)=3\cdot [(x-2{)}^2-4]=3\cdot (x-2{)}^2-12$

Und somit ist die Umwandlung in die Scheitelpunktform fertig. Wir können jetzt den Scheitelpunkt ablesen. Denke daran, dass das Vorzeichen in der Klammer sich dabei ändert:

3⋅(x−2)2−12$3\cdot (x-2{)}^2-12$

S(+2|−12)$S(+2|-12)$

Analog kannst du von der Normalform in die Scheitelpunktform umrechnen. Das ist sogar etwas einfacher, da du im ersten Schritt keinen Faktor ausklammern musst. 

Umgekehrt: von Scheitelpunktform in allgemeine Form umrechnen
Du kannst natürlich auch die Scheitelpunktform in die Normalform oder die allgemeine Form umwandeln. Keine Sorge, das geht viel einfacher. Du musst nämlich nur die Klammern ausmultiplizieren. Machen wir das Ganze also rückwärts:

f(x)=3⋅(x−2)2−12$f(x)=3\cdot (x-2{)}^2-12$ (Scheitelpunktform)

Wir multiplizieren aus:

f(x)=3⋅(x−2)⋅(x−2)−12$f(x)=3\cdot (x-2)\cdot (x-2)-12$

f(x)=3⋅(x2−2x−2x+4)−12$f(x)=3\cdot (x^2-2x-2x+4)-12$

f(x)=3⋅(x2−4x+4)−12$f(x)=3\cdot (x^2-4x+4)-12$

f(x)=3x2−12x+12−12$f(x)=3x^2-12x+12-12$

f(x)=3x2−12x$f(x)=3x^2-12x$

Und das ist genau die Gleichung, die wir uns oben in der allgemeinen Form angesehen hatten!

Faktorisierte Form in Scheitelpunktform umwandeln

So sieht die faktorisierte Form einer quadratischen Gleichung aus:

f(x)=a⋅(x−x1)⋅(x−x2)$f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)$

Diese Form wendest du an, wenn du die Nullstellen der quadratischen Funktion herausfinden möchtest. Erinnere dich: Diese Form funktioniert nur, wenn die Funktion auch Nullstellen hat, also tatsächlich die x-Achse schneidet.

Hier kannst du die Nullstellen sofort ablesen: Sie sind x1$x_1$ und x2$x_2$. Achtung: Beim Ablesen drehst du das Vorzeichen um!

Beispiel:

f(x)=3⋅(x−2)⋅(x+4)$f(x)=3\cdot (x-2)\cdot (x+4)$

Die Nullstellen sind +2 und -4.

Wie kommen wir nun von dieser „Nullstellenform“ zur Scheitelpunktform? Dazu brauchst du folgende Regel:

Wir können daher rechnen:

2+(−4)2=−42=−1$\frac{2+(-4)}{2}=\frac{-4}{2}=-1$

Allgemein kannst du das so schreiben, wobei d$d$ die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist:

=x1+x22$=\frac{x_1+x_2}{2}$

Wir kennen jetzt also schon d$d$, die x-Koordinate. Jetzt brauchen wir noch e$e$, die y-Koordinate. Diese finden wir, indem wir d=–1$d=–1$ in die Funktion einsetzen.

f(x)=3⋅(x−2)⋅(x+4)$f(x)=3\cdot (x-2)\cdot (x+4)$

f(−1)=3⋅(−1−2)⋅(−1+4)=3⋅(−3)⋅3=27$f(-1)=3\cdot (-1-2)\cdot (-1+4)=3\cdot (-3)\cdot 3=27$

Wir können jetzt d$d$ und e$e$ in die Scheitelpunktform einsetzen:

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot (x-d{)}^2+e$

f(x)=3⋅(x+1)2−27$f(x)=3\cdot (x+1{)}^2-27$

Wir haben erfolgreich umgewandelt!

• Eine Parabel hat einen Scheitelpunkt, der der höchste oder tiefste Punkt des Graphen ist, abhängig davon, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.
  
• Du kannst den Scheitelpunkt aus der quadratischen Funktionsgleichung ablesen, auch wenn kein Graph gegeben ist. Dafür verwendest du die Scheitelpunktform.
  
• Es gibt verschiedene Formen von Funktionsgleichungen, darunter die allgemeine Form, die Normalform, die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form.
  
• Um die verschiedenen Formen umzuwandeln – etwa von der Normalform in die Scheitelpunktform – brauchst du zum Teil die Binomischen Formeln.
  
• Unabhängig von der Form der Gleichung bleibt der Funktionsgraph immer gleich.