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Mathematik – Eulersche Zahl

Du möchtest alles über die Eulersche Zahl erfahren? Keine Sorge, das ist gar nicht so kompliziert! Bei uns bist du genau richtig. Steig direkt ins Thema ein!

Die Eulersche Zahl e einfach erklärt

Die Eulersche Zahl e ist in Mathe und Physik eine der wichtigsten Konstanten. Hier erklären wir dir, was die Eulersche Zahl ist und wie du damit rechnest – einfach und verständlich.

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Was ist die Eulersche Zahl e?

Die Eulersche Zahl ist zunächst einmal nur das: eine Zahl. Du brauchst also erstmal keine Angst vor komplizierten Zeichen zu haben. Warum wird dann die Eulersche Zahl nicht einfach ausgeschrieben, sondern mit einem kleinen e bezeichnet? Das liegt daran, dass sie unendlich viele Stellen hat – wir können sie also gar nicht aufschreiben. 

Der Anfang der Eulerschen Zahl sieht so aus:

e=2,718281828459045...


Wie du siehst, ist das e wirklich praktischer! Zum Rechnen kannst du die Eulersche Zahl runden:

e2,72


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Merke

Die Eulersche Zahl e ist eine Konstante (eine Zahl). 

Es gibt unendlich viele Nachkommastellen in der Eulerschen Zahl. Deshalb schreibst du in Aufgaben einfach e oder du rundest die Zahl.

Große Bedeutung hat die Eulersche Zahl vor allem in Wachstums- und Zerfallsprozessen. In Mathe triffst du die Eulersche Zahl in Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen an – mehr dazu unten!

Tipp: Auf deinem Taschenrechner ist die Eulersche Zahl als e gekennzeichnet. 

Wichtige Eigenschaften der Eulerschen Zahl

Die Eulersche Zahl hat einige wichtige Eigenschaften, die du kennen solltest.

  • Sie ist eine nicht periodische Dezimalzahl. Das bedeutet, dass ihre Ziffernfolge kein Muster enthält, das sich wiederholt.
  • Sie ist außerdem nicht abbrechend – hat also unendlich viele Nachkommastellen.
  • Deshalb ist die Eulersche Zahl irrational. Du kannst sie nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellen – ebenso wie die Konstante π.
  • Außerdem ist es nicht möglich, die Eulersche Zahl als Polynom darzustellen. Mit der irrationalen Zahl 2 geht das zum Beispiel. Du könntest schreiben: x22=0. Stellst du die Gleichung um, erhältst du als ein mögliches Ergebnis für x=2. Mit e geht das nicht. Deshalb ist die Eulersche Zahl eine transzendente irrationale Zahl2 hingegen eine algebraische irrationale Zahl. 

Übrigens: Die Eulersche Zahl ist nach Leonhard Euler benannt. Er war ein Schweizer Mathematiker, der im 18. Jahrhundert lebte.

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Fun Fact

Es gibt einen internationalen Tag der Eulerschen Zahl. Wann? Natürlich am 27. 1. (2,71). Allerdings schreibt man in manchen Ländern (zum Beispiel in den USA) den Monat vor dem Tag – deshalb ist der internationale Tag der Eulerschen Zahl in diesen Ländern am 7. 2.

Definition der Eulerschen Zahl e

Es gibt verschiedene Wege zur Herleitung der Eulerschen Zahl. Die bekannteste stammt von Leonhard Euler. Er hat als Definition der Eulerschen Zahl diese mathematische Reihe festgelegt:

e=n=01n!=10!+11!+12!+13!+=2,71828

Was bedeuten die Ausrufezeichen?

Das Ausrufezeichen bedeutet „Fakultät“. Um eine Fakultät zu berechnen, multiplizierst du alle positiven ganzen Zahlen bis zur gewünschten Zahl.

5 ist also zum Beispiel: 54321=120

Schauen wir uns an, wie die Reihe der Eulerschen Zahl aussieht, wenn wir sie teilweise ausschreiben:

e=n=01n!=1+11+112+1123+11234+

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Merke

0!=1

Deshalb ist die erste Zahl der ausgeschriebenen Reihe eine 1.

Außerdem ist die Eulersche Zahl der Grenzwert einer mathematischen Folge. Diese Folge lautet:

(an)nN mit an:=(1+1n)n

Und so schreibst du den Grenzwert zur Eulerschen Zahl:

e=limn(1+1n)n

Du kannst also auch mit dieser Formel die Eulersche Zahl zeigen. 

Meist brauchst du diese recht komplizierte Herleitung der Eulerschen Zahl in der Schule aber nicht. Viel interessanter ist der Einsatz der Eulerschen Zahl in der e-Funktion.


Die natürliche Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl e

In der Schule hast du vielleicht schon Exponentialfunktionen kennengelernt. Eine besondere Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion. Sie hat als Basis die Eulersche Zahl:

f(x)=ex

Sie heißt abgekürzt e-Funktion

So sieht der Graph zur Eulerschen Zahl bzw. zur e-Funktion aus:

Eulersche Zahl

Wenn du in diese Funktion x=1 einsetzt, erhältst du als Funktionswert gerade die Eulersche Zahl e:

f(1)=ex=e1=e2,71


Das kannst du auch am Graphen sehen.

Eine wichtige Besonderheit ergibt sich, wenn du die natürliche Exponentialfunktion mit Basis der Eulerschen Zahl ableiten sollst. Die Ableitung der e-Funktion ergibt nämlich wieder die e-Funktion:

f(x)=ex


f(x)=ex

Das ist eine der wichtigsten Rechenregeln rund um die Eulersche Zahl. Da es sich bei e aber um eine Zahl handelt, gilt grundsätzlich: Du kannst mit e rechnen wie mit anderen Zahlen auch. 

Anwendung der Eulerschen Zahl im Alltag

Wenn du nicht gerade Mathe oder Physik studierst, wirst du die Eulersche Zahl in deinem Alltag wahrscheinlich nicht bewusst entdecken. Allerdings ist die Eulersche Zahl in der Natur ausgesprochen wichtig – sie gilt sogar als eine Naturkonstante.

In Wachstums- und Zerfallsprozessen spielt die Eulersche Zahl eine wichtige Rolle. Wenn du zum Beispiel das Wachstum einer Bakterienkultur beschreiben oder die Entwicklung beim Zinseszins betrachten willst, brauchst du die Eulersche Zahl. Einen typischen Zerfallsprozess kannst du beim Zerfall von radioaktiven Materialien beobachten.

Mathematisch betrachtet ist die Eulersche Zahl für den Logarithmus wichtig: Die Logarithmusfunktion mit der Zahl e als Basis heißt natürlicher Logarithmus, auch bekannt als ln-Funktion. Über das Gegenstück, die natürliche Exponentialfunktion, haben wir ja bereits gesprochen. 

Auch in der Statistik kommt die Eulersche Zahl vor – zum Beispiel bei der Berechnung der Normalverteilung

Zusammenfassung: die Eulersche Zahl leicht erklärt

  • Die Eulersche Zahl ist in Mathe und in anderen Naturwissenschaften eine wichtige Konstante.
  • Der Wert der Eulerschen Zahl lässt sich mit Ziffern nicht exakt ausdrücken, da die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat. Deshalb triffst du die Eulersche Zahl nicht ausgeschrieben, sondern als Zeichen an: Das Symbol für die Eulersche Zahl ist e.
  • Du kannst die Eulersche Zahl berechnen, indem du den Grenzwert der Folge (1+1n)n bildest.
    Einfacher ist es, wenn du die Eulersche Zahl auf deinem Taschenrechner findest: Halte Ausschau nach der Taste e.
  • In Mathe ist die Eulersche Zahl vor allem für die natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion) und die natürliche Logarithmusfunktion (ln-Funktion) relevant.
  • Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis der Eulerschen Zahl hat bei der Ableitung eine Besonderheit: Die abgeleitete e-Funktion f(x)=ex ist nämlich wieder die e-Funktion.
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