Mathematik – Haus der Vierecke

Stell dir vor, alle Vierecke sind in ein großes Haus eingezogen. Das Haus hat einen Keller, verschiedene Stockwerke und ganz oben ein Dach. Ganz unten im Keller wohnt das allgemeine Viereck. Unterm Dach ist das Quadrat eingezogen. Und dazwischen wohnen alle anderen Vierecke.

So sieht das Haus der Vierecke aus:

Natürlich kannst du dieses Haus der Vierecke zum Ausdrucken benutzen – vielleicht möchtest du es an deinem Schreibtisch befestigen.

Das Haus der Vierecke ist in Mathematik eine große Hilfe, weil es dir verrät, welche besonderen Eigenschaften die unterschiedlichen Vierecke haben. Diese Eigenschaften kannst du am Haus der Vierecke ablesen:

• Besonderheiten der Seiten
• Besonderheiten der Winkel
• Besonderheiten der Diagonalen
• Informationen zur Symmetrie

Und diese Vierecke sind ins Haus der Vierecke eingezogen:

• allgemeines Viereck (Keller)
• allgemeines Trapez
• Drachenviereck
• Parallelogramm
• symmetrisches Trapez
• Raute
• Rechteck
• Quadrat

Schauen wir uns an, wie du das Haus der Vierecke in Geometrie nutzen kannst.

So funktioniert das Haus der Vierecke:

•  Je weiter oben im Haus der Vierecke ein Viereck wohnt, desto mehr besondere Eigenschaften hat es.
• Ganz unten im Haus der Vierecke wohnt das allgemeine Viereck. Das allgemeine Viereck hat nur wenige besondere Eigenschaften, zum Beispiel dass es vier Ecken und vier Seiten hat.
• Ganz oben findest du das Quadrat. Das Quadrat hat mehr besondere Eigenschaften als alle anderen Vierecke. Zum Beispiel sind alle seine Seiten gleich lang, es hat vier rechte Winkel und so weiter.
• Ein Viereck hat immer alle besonderen Eigenschaften des Vierecks unter ihm – und außerdem noch weitere neue, die der untere Nachbar nicht hat.
• So kannst du am Haus der Vierecke wichtige Eigenschaften von Vierecken ablesen.

Dazu sehen wir uns jetzt die Eigenschaften im Haus der Vierecke in Tabellen an.

Das allgemeine Viereck, das du ganz unten im Haus der Viereck findest, hat vier unterschiedlich lange Seiten. Parallel sind die Seiten auch nicht. Hier gibt es also keine besonderen Eigenschaften zu entdecken.

Ein Stockwerk darüber findest du das allgemeine Trapez. Das Trapez hat die besondere Eigenschaft, dass zwei Seiten parallel verlaufen.

Noch ein Stockwerk weiter oben findest du das Parallelogramm. Weil es im Haus der Vierecke über dem Trapez wohnt, weißt du: Das Parallelogramm hat dieselben Eigenschaften wie das Trapez, also zwei parallele Seiten. Außerdem hat es noch mehr Besonderheiten. Was ist das beim Parallelogramm? Die anderen beiden Seiten sind ebenfalls parallel – und außerdem sind die gegenüberliegenden Seiten sogar gleich lang!

Schauen wir uns jetzt das Rechteck an, das noch weiter oben wohnt. Du weißt: Es muss alle Eigenschaften des Parallelogramms (und des symmetrischen Trapezes) haben, also zwei Seitenpaare, die parallel und gleich lang sind. Das stimmt!

Ganz oben findest du das Quadrat. Es hat alle Eigenschaften des Rechtecks – zwei Paar parallele Seiten, die gleich lang sind – und außerdem sind noch alle seine Seiten gleich lang.

Hier findest du die Seiten-Eigenschaften aus dem Haus der Vierecke in einer Tabelle:

Das Haus der Vierecke hilft dir bei Übungen zu den Winkeln, die Eigenschaften der Vierecke besser zu verstehen. Schauen wir uns auch dazu wieder ein Beispiel an.

Im allgemeinen Viereck sind alle Winkel unterschiedlich groß. Auch im allgemeinen Trapez kannst du über die Winkel noch nichts Nützliches sagen.

Spannend wird es aber mit dem symmetrischen Trapez, denn hier sind immer zwei benachbarte Winkel gleich groß. Auch das Parallelogramm hat gleich große Winkel, hier sind es aber die gegenüberliegenden – und zwar sogar beide Paare. Das Drachenviereck hat auch gleich große Winkel, die gegenüberliegen, hier ist es aber nur ein Paar.

Schau dir einmal genau die Raute an: Sie wohnt direkt über dem Parallelogramm und dem Drachenviereck. Das heißt, dass sie alle Winkeleigenschaften dieser Vierecke haben muss – also zwei Paare gleich großer Winkel, die gegenüberliegen. Sie hat aber nicht die Eigenschaften des Trapezes, denn sie wohnt nicht direkt darüber. Deshalb müssen die benachbarten Winkel nicht gleich groß sein.

Das Quadrat erfüllt aber wieder alle Eigenschaften: Benachbarte und gegenüberliegende Winkel sind alle gleich groß.

Hier die Tabelle, in der du die Definitionen im Haus der Vierecke ablesen kannst:

Du kannst am Haus der Vierecke sehen, was mit den Diagonalen der Vierecke passiert. Natürlich haben wir wieder ein Beispiel dazu.

Das allgemeine Viereck und das allgemeine Trapez sind im Hinblick auf Diagonalen wieder nicht sehr aufregend.

Beim Drachenviereck findest du zwei Diagonalen, die senkrecht aufeinander stehen. Eine davon wird von der anderen Diagonale halbiert. Beim Parallelogramm daneben halbieren sich sogar beide Diagonalen – dafür sind sie nicht senkrecht zueinander.

Weil die Raute aber über beiden wohnt, hat sie nun alle dieser Eigenschaften: zwei Diagonalen, die einander halbieren und außerdem noch senkrecht aufeinander stehen. So ist es auch beim Quadrat darüber. Dort sind die Diagonalen sogar gleich lang!

Und hier die Tabelle dazu:

Zuletzt kannst du im Haus der Vierecke noch Symmetrieachsen ablesen. Auch hier geben wir dir die Erklärung zum Haus der Vierecke wieder an einem Beispiel.

Das allgemeine Viereck und das allgemeine Trapez sind weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch.

Beim symmetrischen Trapez kannst du aber eine Symmetrieachse entdecken. Das Parallelogramm ist hingegen punktsymmetrisch. Über dem Parallelogramm und dem Trapez wohnt laut der Geschichte im Haus der Vierecke das Rechteck. Es muss also punkt- und achsensymmetrisch sein – und das stimmt auch!

Ähnlich ist es auch bei der Raute: Sie wohnt über dem achsensymmetrischen Drachenviereck und dem punktsymmetrischen Parallelogramm und hat daher beide Eigenschaften.

Und ganz oben findest du wieder das Quadrat, das nicht nur achsen- und punktsymmetrisch ist, sondern sogar ganze vier Symmetrieachsen hat!

Diese Tabelle zum Haus der Vierecke hilft dir bei den Aufgaben:

• Das Haus der Vierecke in Mathe hilft dir, die Eigenschaften verschiedener Vierecke besser zu verstehen.
• Je weiter oben im Haus der Vierecke sich ein Viereck befindet, desto mehr besondere Eigenschaften hat es.
• Besondere Eigenschaften können Seitenlängen, parallele Seiten, gleich große Winkel, Symmetrie oder Besonderheiten bei den Diagonalen sein.
• Ganz unten im Haus der Vierecke findest du das allgemeine Viereck, das keine besonderen Eigenschaften hat.
• Ganz oben befindet sich das Quadrat. Es hat sehr viele besondere Eigenschaften wie gleich lange, parallel verlaufende Seiten, vier rechte Winkel, mehrere Symmetrieachsen etc.

Tipp: Schau dir unser Arbeitsblatt zum Haus der Vierecke an!