Mathematik – Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz hat einen komplizierten Namen. Dahinter versteckt sich aber eine einfache Regel, die dir beim Rechnen hilft. Wir zeigen dir mit Beispielen, wie das Assoziativgesetz funktioniert und wie du damit geschickt rechnen kannst.

Du lernst das Assoziativgesetz in der Grundschule kennen.

Das Assoziativgesetz ist eins der wichtigsten Gesetze in Mathe.

Was bedeutet das? Lass uns zuerst schauen, was „reine Addition“ und „reine Multiplikation“ bedeutet.

• In einer reinen Addition kommen nur Summanden vor – deine Rechnung enthält also als Rechenoperatoren nur Pluszeichen.
• In einer reinen Multiplikation gibt es nur Faktoren, die einzigen Rechenzeichen sind also Malpunkte.

Das Assoziativgesetz kannst du nur anwenden, wenn du solche „reinen“ Rechnungen hast. Selbst wenn Pluszeichen und Malpunkte in derselben Rechnung vorkommen, darfst du es schon nicht mehr benutzen.

Was hat es jetzt aber mit den Klammern auf sich? Die darfst du in reinen Additionen und reinen Multiplikationen so setzen, wie du sie am liebsten haben möchtest.

Wenn deine Aufgabe also lautet:

… dann darfst du auch schreiben:

Oder auch:

Man kann das Assoziativgesetz auch allgemein schreiben. Da wir dann nicht wissen, welche Zahlen vorkommen, schreiben wir für die Zahlen a, b und c.

Tipp: Drei wichtige Rechengesetze sind das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz. Du solltest sie alle kennen, denn sie erleichtern dir das Rechnen.

Warum solltest du Klammern überhaupt anders setzen? Sehen wir uns dazu ein paar Beispiele für das Assoziativgesetz an.

Beispiel 1: Assoziativgesetz bei der Addition

Schau dir folgende Aufgabe an:

Die Klammern geben hier vor, dass du zuerst 16 + 7 ausrechnen und dann 3 hinzuaddieren sollst. Und das kannst du natürlich auch tun:

Für viele Menschen wäre es aber leichter, die Klammern anders zu setzen und so zu rechnen:

Das bietet sich vor allem dann an, wenn durch anders gesetzte Klammern „verliebte Zahlen“ zusammenkommen – also Zahlen, die zusammen glatte Zehner ergeben, wie die 7 und die 3 in unserem Beispiel.

Beispiel 2: Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Addition

Erinnerst du dich an das Kommutativgesetz? Es besagt, dass du in reinen Additionen und reinen Multiplikationen die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren vertauschen darfst. Du darfst sie dir also so sortieren, dass das Rechnen leichter wird.

Schauen wir uns auch dazu ein Beispiel an:

Das kannst du genauso ausrechnen, wie es dort steht:

Oder du bringst auch hier Zahlen zusammen, die sich leichter addieren lassen. Dazu darfst du nach dem Kommutativgesetz Summanden vertauschen und dann nach dem Assoziativgesetz die Klammern anders setzen. Wie wäre es zum Beispiel so?

Für viele ist diese Rechnung einfacher. Du darfst nach dem Assoziativgesetz die Klammern auch ganz weglassen:

Beispiel 3: Assoziativgesetz bei der Multiplikation

Auch bei der Multiplikation darfst du nach dem Assoziativgesetz die Klammern so setzen, wie es dir weiterhilft:

Vielleicht fällt dir aber diese Rechnung leichter:

Entscheiden darfst du selbst!

Beispiel 4: Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Multiplikation

Auch bei der Multiplikation ist es oft sinnvoll, Faktoren zu vertauschen, damit du leichter rechnen kannst. Das ist besonders dann der Fall, wenn zwei Faktoren ein Produkt wie 10, 100 etc. ergeben.

Vorteilhafter könnte hier sein:

Mit Klammern nach dem Assoziativgesetz können wir die Rechnung noch einfacher machen:

Tipp: Bei der Multiplikation ist das Assoziativgesetz besonders von Bedeutung, wenn du folgende Faktoren kombinieren kannst:

Das Assoziativgesetz kann Aufgaben mit Brüchen so viel leichter machen! Schau dir dieses Beispiel an:

Um Brüche zu addieren, musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Das könnten wir hier tun, indem wir alle Brüche auf 24 im Nenner erweitern. Es geht aber einfacher. Dazu vertauschen wir zuerst nach dem Kommutativgesetz die Reihenfolge der Summanden. Nach dem Assoziativgesetz dürfen wir die Klammern weglassen:

Für die Übersichtlichkeit können wir jetzt noch Klammern setzen:

Und das ist schon einfacher, oder?

Wichtig: Das Assoziativgesetz gilt nur in der Addition und in der Multiplikation. In der Subtraktion und Division liefert das Assoziativgesetz falsche Ergebnisse:

Und hier noch ein Beispiel aus der Division:

• Das Assoziativgesetz in Mathe ist eins von drei wichtigen Rechengesetzen: Kommutativgesetz, Distributivgesetz und Assoziativgesetz.
• Es besagt, dass du in reinen Additionen und in reinen Multiplikationen Klammern beliebig setzen oder auch ganz weglassen darfst.
• Du entscheidest also selbst, welche Summanden (in einer Summe) und welche Faktoren (in einem Produkt) du zuerst miteinander summieren bzw. multiplizieren möchtest.
• Das Assoziativgesetz hilft dir, vorteilhaft zu rechnen.
• Vorsicht: In der Subtraktion und in der Division gilt das Assoziativgesetz nicht.