Mathematik – Gleichsetzungsverfahren

In Mathe musst du manchmal lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen. Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen. Idealerweise hast du mindestens so viele Gleichungen, wie es Variablen gibt. Meist löst du in der Schule 2x2-Gleichungssyteme (mit zwei Variablen) oder 3x3-Gleichungssysteme (mit drei Variablen). 

Es gibt unterschiedliche Verfahren, mit denen du LGS lösen kannst. Die wichtigsten sind:

• das Additionsverfahren
  
• das Einsetzungsverfahren
  
• das Gleichsetzungsverfahren
  
• der Gauß-Algorithmus

Hier zeigen wir dir, wie du lineare Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren löst. 

Einfach erklärt funktioniert das Gleichsetzungsverfahren in Mathe so:

1. Du stellst deine Gleichungen so um, dass in mehreren Gleichungen auf einer Seite die gleiche Variable allein steht. 
   
2. Du formst die Gleichungen weiter um, sodass du Teile davon im nächsten Schritt gleichsetzen kannst. 
   
3. Du setzt die rechte Seite deiner Gleichungen gleich. Dadurch fällt eine Variable weg. 
   
4. Du rechnest auf diese Weise eine andere Variable aus.
   
5. Du setzt dein Ergebnis für diese Variable in eine deiner ursprünglichen Gleichungen ein.
   
6. Dadurch kannst du jetzt die fehlende Variable berechnen.
   
7. Zum Schluss machst du die Probe.
   

Das klingt jetzt bestimmt etwas verwirrend. Schauen wir uns deshalb gleich ein paar Aufgaben zum Gleichsetzungsverfahren an.

Wir nehmen als Beispiel für das Gleichsetzungsverfahren dieses Gleichungssystem:

I.$I.$ 3x−4y=−6$3x-4y=-6$

II.$II.$ 2x+3y=13$2x+3y=13$

Gehen wir diese Übung zum Gleichsetzungsverfahren Schritt für Schritt durch.

1. Eine Variable allein auf eine Seite bringen

Wir müssen nun entscheiden, welche Variable wir allein auf eine Seite bringen wollen. Welche du wählst, ist egal. Wir nehmen die Variable x$x$. Dazu stellen wir die Gleichungen entsprechend um:

I.$I.$ 3x−4y=−6$3x-4y=-6$  |+4y$|+4y$

I.$I.$ 3x=4y−6$3x=4y-6$

Und die zweite:

II.$II.$ 2x+3y=13$2x+3y=13$  |−3y$|-3y$

II.$II.$ 2x=−3y+13$2x=-3y+13$

2. Gleichungen umformen, um gleichsetzen zu können

In unserer ersten Gleichung steht jetzt auf der linken Seite 3x$3x$ und in der zweiten Gleichung steht 2x$2x$. Das ist noch nicht das Gleiche, daher müssen wir die Gleichungen umformen. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Einfach ist es, die erste Gleichung mit 2 und die zweite Gleichung mit 3 zu multiplizieren:

I.$I.$ 3x=4y−6$3x=4y-6$  |⋅2$|\cdot 2$

I.$I.$ 6x=8y−12$6x=8y-12$

Und:

II.$II.$ 2x=−3y+13$2x=-3y+13$  |⋅3$|\cdot 3$

II.$II.$ 6x=−9y+39$6x=-9y+39$

3. Gleichungen gleichsetzen

Da jetzt auf der linken Seite beider Gleichungen 6x$6x$ steht, können wir die jeweils rechte Seite der Gleichung gleichsetzen – daher der Name Gleichsetzungsverfahren. Wir schreiben also:

I.$I.$ 6x=8y−12$6x=8y-12$

II.$II.$ 6x=−9y+39$6x=-9y+39$

🡪 8y−12=−9y+39$8y-12=-9y+39$

Dadurch haben wir die Variable x$x$ eliminiert.

4. Variable ausrechnen

Wir haben jetzt eine Gleichung mit nur einer Variablen, y$y$. Daher können wir jetzt nach dieser Variablen auflösen:

8y−12=−9y+39$8y-12=-9y+39$  |+9y$|+9y$

17y−12=39$17y-12=39$  |+12$|+12$

17y=51$17y=51$  |÷17$|÷17$

y=3$y=3$

Wir haben die erste Variable ausgerechnet.

5. Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen

Wir setzen jetzt y=3$y=3$ in eine unserer ursprünglichen Gleichungen ein. Welche du nimmst, ist egal. Wir entscheiden uns für die erste:

I.$I.$ 3x−4y=−6$3x-4y=-6$

Wir setzen ein:

I.$I.$ 3x−4⋅3=−6$3x-4\cdot 3=-6$

I. 3x−12=−6$3x-12=-6$

6. Fehlende Variable ausrechnen

Dadurch haben wir erneut eine Gleichung mit nur einer Variablen, diesmal x$x$. Also können wir nach x$x$ auflösen:

I.$I.$ 3x−12=−6$3x-12=-6$  |+12$|+12$

I.$I.$ 3x=6$3x=6$  |÷3$|÷3$

I.$I.$ x=2$x=2$

Jetzt haben wir die zweite Variable ermittelt. So kannst du lineare Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen.

Unsere Lösungsmenge L={(x;y)}$L=\{(x;y)\}$ lautet:

L={(2;3)}$L=\{(2;3)\}$

7. Probe machen

Du kannst die Probe zum Gleichsetzungsverfahren machen, indem du deine gefundenen Lösungen in die ursprünglichen beiden Gleichungen einsetzt. Wenn die Gleichungen aufgehen, sind deine Ergebnisse richtig.

Unsere Ergebnisse waren:

x=2$x=2$

y=3$y=3$

Wir setzen sie in die erste Gleichung ein:

I.$I.$ 3x−4y=−6$3x-4y=-6$

I.$I.$ 3⋅2−4⋅3=−6$3\cdot 2-4\cdot 3=-6$

I.$I.$ 6−12=−6$6-12=-6$

I.$I.$ −6=−6$-6=-6$

Das ist richtig! Überprüfen wir auch die zweite Gleichung:

II.$II.$ 2x+3y=13$2x+3y=13$

II.$II.$ 2⋅2+3⋅3=13$2\cdot 2+3\cdot 3=13$

II.$II.$ 4+9=13$4+9=13$

II.$II.$ 13=13$13=13$

Fertig! So kannst du Aufgaben mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen.

Beispiel 2

Hier ein weiteres Beispiel mit Lösung zum Gleichsetzungsverfahren mit 2 Variablen:

I.4x−6y=6$I.4x-6y=6$
II.3x−y=8$II.3x-y=8$

Wir bringen zuerst wieder eine Variable allein auf eine Seite:

I.4x−6y=6|+6y$I.4x-6y=6|+6y$
I.4x=6y+6$I.4x=6y+6$

Und:

II.3x−y=8|+y$II.3x-y=8|+y$
II.3x=y+8$II.3x=y+8$

Jetzt müssen wir die Gleichungen so umformen, dass auf der linken Seite das Gleiche steht. Dazu nehmen wir die erste Gleichung mal 3 und die zweite Gleichung mal 4:

I.4x=6y+6|⋅3$I.4x=6y+6|\cdot 3$
I.12x=18y+18$I.12x=18y+18$

Und:

II.3x=y+8|⋅4$II.3x=y+8|\cdot 4$
II.12x=4y+32$II.12x=4y+32$

Jetzt können wir die jeweils rechte Seite der Gleichungen gleichsetzen:

18y+18=4y+32$18y+18=4y+32$

Wir lösen nach y$y$ auf:

18y+18=4y+32|−4y$18y+18=4y+32|-4y$
14y+18=32|−18$14y+18=32|-18$
14y=14|÷14$14y=14|÷14$
y=1$y=1$

So haben wir erfolgreich die erste Variable ermittelt. Wir setzen sie in eine unserer ursprünglichen Gleichungen ein. Nehmen wir die erste:

I.4x−6y=6$I.4x-6y=6$

Wir setzen y=1$y=1$ ein:

I.4x−6⋅1=6$I.4x-6\cdot 1=6$
I.4x−6=6|+6$I.4x-6=6|+6$
4x=12|÷4$4x=12|÷4$
x=3$x=3$

Und das ist unsere zweite Variable. In Übungen zum Gleichsetzungsverfahren solltest du immer die Lösungsmenge aufschreiben:

L={(3;1)}$L=\{(3;1)\}$

Wir können auch wieder die Probe machen:

I.4⋅3−6⋅1=6$I.4\cdot 3-6\cdot 1=6$
I.12−6=6$I.12-6=6$
I.6=6$I.6=6$

Und:

II.3⋅3−1=8$II.3\cdot 3-1=8$
II.9−1=8$II.9-1=8$
II.8=8$II.8=8$

Prima! Jetzt kannst du lineare Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren bearbeiten.

Bisher hast du Beispiele zum Gleichsetzungsverfahren gesehen, die genau aufgehen. Aber deine Lehrer:innen werden dir ganz sicher Übungen zum Gleichsetzungsverfahren vorsetzen, in dem du plötzlich vor dem Problem stehst, dass es keine Lösung gibt. Schauen wir uns das genauer an:

I.−6x+12y=6$I.-6x+12y=6$
II.x−2y=1,5$II.x-2y=1,5$

Zuerst versuchen wir, diese Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, wie wir es gelernt haben. Dazu bringen wir die Variable x$x$ allein auf eine Seite:

I.−6x+12y=6|−12y$I.-6x+12y=6|-12y$
I.−6x=−12y+6$I.-6x=-12y+6$

Und:

II.x−2y=1,5|+2y$II.x-2y=1,5|+2y$
II.x=2y+1,5$II.x=2y+1,5$

Damit in beiden Gleichungen links das Gleiche steht, teilen wir die erste Gleichung durch -6:

I.−6x=−12y+6|÷(−6)$I.-6x=-12y+6|÷(-6)$
I.x=2y−1$I.x=2y-1$

Jetzt können wir die beiden rechten Seiten der Gleichungen gleichsetzen:

2y−1=2y+1,5$2y-1=2y+1,5$

Vielleicht erkennst du jetzt schon das Problem. Lass uns noch einen Rechenschritt machen:

2y−1=2y+1,5|−2y$2y-1=2y+1,5|-2y$
−1≠1,5$-1\ne 1,5$

Hier entsteht ein Widerspruch, den wir nicht auflösen können. Sofern du richtig gerechnet hast, bedeutet das: Es gibt keine Lösung, für die beide Gleichungen richtig aufzulösen sind. Das Gleichungssystem ist unlösbar und deine Lösungsmenge sieht so aus:

L={}$L=\{\}$

Die Erklärung zum Gleichsetzungsverfahren ohne Lösungen liefern dir übrigens die Graphen der Funktionen. Wenn du nämlich beide in ein Koordinatensystem einträgst, siehst du das hier:

Die zwei Graphen der Funktionen laufen genau parallel. Daher schneiden sie sich nie – und so kann es auch keine gemeinsame Lösung geben. 

Auf der anderen Seite bekommst du sicher auch Übungsaufgaben zum Gleichsetzungsverfahren, die auf eine andere Art nicht eindeutig lösbar sind. Schau dir dazu dieses Beispiel an:

I.4x+12y=40$I.4x+12y=40$
II.3x+9y=30$II.3x+9y=30$

Wir bringen die Variable x$x$ allein auf eine Seite:

I.4x+12y=40|−12y$I.4x+12y=40|-12y$
I.4x=−12y+40$I.4x=-12y+40$

Und:

II.3x+9y=30|−9y$II.3x+9y=30|-9y$
II.3x=−9y+30$II.3x=-9y+30$

Damit in beiden Gleichungen links das Gleiche steht, teilen wir die erste Gleichung durch 4 und die zweite Gleichung durch 3:

I.4x=−12y+40|÷4$I.4x=-12y+40|÷4$
I.x=−3y+10$I.x=-3y+10$

Und:

II.3x=−9y+30|÷3$II.3x=-9y+30|÷3$
II.x=−3y+10$II.x=-3y+10$

Jetzt setzen wir die jeweils rechte Seite gleich:

−3y+10=−3y+10$-3y+10=-3y+10$

Wir vereinfachen etwas:

−3y+10=−3y+10|−10$-3y+10=-3y+10|-10$
−3y=−3y$-3y=-3y$

Du siehst: Welche Zahl du für y$y$ auch einsetzt, du wirst immer ein richtiges Ergebnis bekommen. Ebenso gut hättest du übrigens nach x$x$ auflösen können. Hier zeigt das Gleichsetzungsverfahren dir lineare Funktionen, deren Graphen übereinander liegen. Wenn du diese Funktionen im Koordinatensystem darstellst, sehen sie nämlich so aus:

Die beiden Graphen liegen genau übereinander. Deshalb gibt es auch unendlich viele Lösungen, die beide Gleichungen erfüllen. 

Wenn du Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen sollst, setzt du zuerst zwei Gleichungen gleich, wie du es gelernt hast, und eliminierst eine Variable. Du kannst anschließend diesen Schritt wiederholen – aber oft eignet sich ein anderes Verfahren besser.

Du solltest daher immer clever entscheiden, wann du das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren, das Additionsverfahren oder den Gauß-Algorithmus verwenden willst. Wann welches Verfahren am besten geeignet ist, erklären wir dir genau auf unserer Seite zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Dort zeigen wir dir auch ein Beispiel mit 3 Variablen. 

• Das Gleichsetzungsverfahren in Mathematik hilft dir, lineare Gleichungssysteme zu lösen.
  
• Um Aufgaben mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, bringst du zwei Gleichungen in eine solche Form, dass du durch Gleichsetzen eine Variable eliminieren kannst. 
  
• Auf diese Weise rechnest du nach und nach alle Variablen aus und findest so die Lösungen für das Gleichungssystem.
  
• Du kannst das Gleichsetzungsverfahren nutzen, um Systeme mit 2, 3 oder mehr Variablen zu lösen. Je nach Aufgabe ist aber ein anderes Verfahren eventuell sinnvoller. Du kannst mehrere Verfahren kombinieren.
  
• Andere mögliche Verfahren sind das Additionsverfahren, das Einsetzungsverfahren und der Gauß-Algorithmus.