Lineare Gleichungssysteme lösen - Grundlagen - online lernen

Biquadratische Gleichungen und Substitution 

Unter biquadratischen Gleichungen versteht man in der Mathematik Gleichungen, bei denen die Variable nur mit den Hochzahlen 0, 2 und 4 vorliegt, z.B. x4−3x2+2=0

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Diese kann man mit Hilfe der sogenannten Substitution lösen: Man ersetzt x2

durch eine andere Variable (z.B. u) und berechnet dann die Lösungen dieser Gleichung mit Hilfe der Mitternachts- bzw. pq-Formel. Nun ersetzt man wieder u durch x2 und löst die betreffenden Gleichungen nach x auf. So erhält man dann die Lösungen der eigentlichen Gleichung.

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Beispielaufgabe:

Löse x4+4x2−5=0.

• Mit der Substitution x2=u folgt u2+4u−5=0
• Mit der Mitternachtsformel erhält man als Lösungen u1=1 und u2=−5.
• Die Resubstitution u=x2 liefert die Gleichungen x2=1 und x2=−5
• Die erste Gleichung hat die Lösungen x1=1 und x2=−1.
  Die zweite Gleichung hat keine (reelle) Lösung, da man aus −5 keine Wurzel ziehen kann.