Mathematik – Teilbarkeitsregeln

In Mathe ist es oft nützlich zu wissen, ob eine Zahl teilbar ist. „Teilbar“ bedeutet dabei, dass du sie ohne Rest durch eine andere Zahl teilen kannst. Die Zahl 10 kannst du zum Beispiel ohne Rest durch 1, durch 2, durch 5 und durch 10 teilen. Möchtest du sie aber durch 4 teilen, bleibt ein Rest: 10÷4=2,Rest2$10÷4=2,Rest2$. Du lernst die Teilbarkeitsregeln in der Grundschule kennen. 

Um die Teilbarkeitsregeln 1–10 zu verstehen, solltest du ein paar wichtige Begriffe kennen:

• Teiler: Alle Zahlen, durch die du eine andere Zahl teilen kannst, sind Teiler dieser Zahl. Die Zahl 10 hat die Teiler 1, 2, 5 und 10.
• Quersumme: Für manche Teilbarkeitsregeln ist die Quersumme wichtig. Du bildest die Quersumme einer Zahl, indem du alle ihre Ziffern addierst. Die Zahl 10 hat die Quersumme 1+0=1$1+0=1$.
• Zahlen und Ziffern: Zahlen bestehen aus einzelnen Ziffern. Die Zahl 10 hat zwei Ziffern, nämlich 1 und 0.

Jetzt können wir uns Beispiele für die Teilbarkeitsregeln in Mathe anschauen.

Alle geraden Zahlen sind durch 2 teilbar. Du erkennst gerade Zahlen daran, dass sie als letzte (oder einzige) Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 haben.

Deshalb sind zum Beispiel diese Zahlen durch 2 teilbar:

10

24

158

300

Die folgenden Zahlen sind ungerade und deshalb nicht durch 2 teilbar:

25

133

1.001

Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, musst du die Quersumme dieser Zahl bilden. Wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist, dann ist es auch die Zahl selbst.

Tipp: Auf dieser Seite erfährst du alles über die Quersumme.

Beispiel:

Die Zahl 795 ist ziemlich groß – du kannst nicht sofort erkennen, ob sie durch 3 teilbar ist. Wir zerlegen sie deshalb in ihre Ziffern (7, 9 und 5) und rechnen diese zusammen:

7+9+5=21$7+9+5=21$

Du weißt bestimmt aus dem kleinen Einmaleins, dass 21 durch 3 teilbar ist: 21÷3=7$21÷3=7$. Deshalb kannst du sicher sein, dass du auch 795 ohne Rest durch 3 teilen kannst.

Die Teilbarkeitsregeln für die 4 sind wieder ganz anders: Hier musst du von deiner Zahl die letzten beiden Ziffern abschneiden und herausfinden, ob die Zahl aus diesen beiden Ziffern durch 4 teilbar ist.

Beispiel:

Wir nehmen die Zahl 7.632. Die letzten beiden Ziffern sind 3 und 2. Daraus ergibt sich die Zahl 32. Und aus dem kleinen Einmaleins weißt du: 32 kannst du ohne Rest durch 4 teilen – deshalb klappt das auch mit 7.632!

Jetzt wird es wieder einfach: Wenn eine Zahl auf 0 oder 5 endet, ist sie automatisch durch 5 teilbar.

Die Zahlen 100, 225, 6.775 und 10.000 kannst du also alle ohne Rest durch 5 teilen.

Bei den Zahlen 32, 184 und 1.843 geht das nicht.

Gute Nachrichten: Für die Teilbarkeitsregeln für 6 brauchst du keine neuen Regeln zu lernen. Denn: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn du sie durch 2 und durch 3 teilen kannst.

Und die Regeln dafür kennst du ja schon:

• Die Zahl muss gerade sein.
• Die Quersumme muss durch 3 teilbar sein.

Beispiel 1:

Bei der Zahl 127 erkennst du sofort, dass sie nicht durch 6 teilbar ist. Warum? Weil sie keine gerade Zahl ist. Du brauchst also gar nicht weiterzurechnen.

Beispiel 2:

Die Zahl 336 ist gerade und damit durch 2 teilbar. Daher überprüfen wir als Nächstes die Quersumme:

3+3+6=12$3+3+6=12$

12 ist durch 3 teilbar, also ist es auch die Zahl 336. 

Jetzt sind beide Bedingungen erfüllt und wir wissen: 336 können wir ohne Rest durch 6 teilen!

Die Teilbarkeitsregeln für die 7 sind etwas abenteuerlich. So gehst du vor:

1. Zerlege deine Zahl zuerst in die allerletzte Ziffer und alle anderen Ziffern.
2. Die letzte Ziffer nimmst du mal 2.
3. Bilde aus den restlichen Ziffern eine neue Zahl.
4. Zieh dein Ergebnis aus Schritt 2 von dieser Zahl ab.
5. Wenn nötig, wiederhole diesen Prozess.
6. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, ist es auch die gesamte Zahl.

Das klingt, als bräuchten wir ein Beispiel für diese Teilbarkeitsregel, oder?

Beispiel:

Wir nehmen die Zahl 1.645.

Als Erstes zerlegen wir sie in die letzte Ziffer (5) und die verbleibenden Ziffern 164.

Dann nehmen wir die letzte Ziffer mal 2:

5⋅2=10$5\cdot 2=10$.

Aus den verbleibenden Ziffern ergibt sich die Zahl 164.

Wir ziehen unser Ergebnis davon ab: 

164−10=154$164-10=154$.

Diese Zahl ist schon viel kleiner, aber wir können trotzdem noch nicht leicht im Kopf ausrechnen, ob sie durch 7 teilbar ist. Deshalb wiederholen wir den Prozess mit unserem Ergebnis 154.

Zuerst trennen wir die letzte Ziffer ab: 4. Wir nehmen sie mal zwei: 4⋅2=8$4\cdot 2=8$.

Aus den restlichen Ziffern ergibt sich die neue Zahl 15. Davon ziehen wir jetzt die 8 ab: 15−8=7$15-8=7$.

7 ist natürlich durch 7 teilbar – super! Jetzt wissen wir, dass 1.645 durch 7 teilbar ist. 

Die Teilbarkeitsregeln für 8 werden dir bekannt vorkommen, denn sie sind ähnlich wie die Teilbarkeitsregeln der 4. Allerdings müssen wir uns hier die drei letzten Ziffern anschauen: Wenn die Zahl aus den letzten drei Ziffern durch 8 teilbar ist, dann ist es auch die gesamte Zahl.

Beispiel:

Wir nehmen die Zahl 8.088. Die letzten beiden Ziffern ergeben die Zahl 088, also 88. Das können wir ohne Rest durch 8 teilen: 88÷8=11$88÷8=11$.

Tipp: Manchmal ist es auch bei den letzten drei Stellen nicht so einfach zu sehen, ob die Zahl durch 8 teilbar ist. Wenn du das nicht im Kopf ausrechnen kannst, musst du schriftlich dividieren – immerhin aber nur mit einer dreistelligen Zahl!

Die Teilbarkeitsregeln von 9 sind wieder ganz einfach – du kennst sie schon. Bilde die Quersumme deiner Zahl und überprüfe, ob du die Quersumme ohne Rest durch 9 teilen kannst.

Beispiel:

Wir nehmen die Zahl 2.384. Die Quersumme ist 2+3+8+4=17$2+3+8+4=17$. Das ist nicht durch 9 teilbar – schade für die 2.384!

Unsere letzte Teilbarkeitsregel ist wieder ganz einfach: Alle Zahlen, die mit einer 0 enden, sind durch 10 teilbar – zum Beispiel 20, 300 oder 10.010.

Diese Tipps helfen dir, mit den Teilbarkeitsregeln Primzahlen oder Teiler leichter zu finden.

1. Wenn eine Zahl auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet, weißt du sofort, dass sie keine Primzahl sein kann. Denn alle geraden Zahlen sind durch 2 teilbar.
2. Auch alle Zahlen, die auf 5 enden, können keine Primzahlen sein, denn sie sind durch 5 teilbar.
3. Die Teilbarkeitsregeln für 3 und 9 sind sehr ähnlich und daher leichter zu merken: Für beide musst du die Quersumme deiner Zahl bilden. Wenn du die Quersumme weißt, kannst du auch die Teilbarkeitsregel für die 6 leicht anwenden.
4. Eine spannende Besonderheit gibt es bei den Teilbarkeitsregeln der 11. Hier musst du die alternierende Quersumme bilden. Was das ist, erfährst du auf unserer Seite zur Quersumme.
5. Es gibt auch Teilbarkeitsregeln für 12 und größere Zahlen: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist. Für die 14 gilt: Die Zahl muss durch 7 und 2 teilbar sein. Und für 15? Durch 3 und durch 5!

Hier findest du noch einmal alle Teilbarkeitsregeln übersichtlich zusammengefasst.

• Mit den Teilbarkeitsregeln, die du in der Grundschule lernst, findest du heraus, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist.
• Du brauchst die Teilbarkeitsregeln in Mathematik unter anderem, um Primzahlen oder Teiler einer Zahl zu finden.
• Für manche Teilbarkeitsregeln (wie für 3, 6 und 9) musst du die Quersumme einer Zahl bilden.
• Andere Teilbarkeitsregeln (wie für 4 und 8) beziehen sich auf die letzten zwei oder drei Ziffern einer Zahl.
• Bei manchen Teilbarkeitsregeln (wie für 2, 5 und 10) musst du nur die letzte Ziffer betrachten.