Mathematik – e-Funktion ableiten

Bei Aufgaben zum Ableiten der e-Funktion sieht man schnell nur noch Buchstaben und komische Zeichen. Keine Sorge, wir helfen wir! Wir erklären dir die Ableitung der e-Funktion verständlich und geben dir einfache und komplexe Beispiele, damit du alles Schritt für Schritt nachvollziehen kannst.

Aber zunächst einmal: Was ist eigentlich die e-Funktion?

Zu Exponentialfunktionen und Ableitungen solltest du Folgendes wissen: Eine Exponentialfunktion f(x)$f(x)$ wird abgeleitet (du erhältst dann  f(x)$f(x)$), indem du die Funktion mit dem Logarithmus der Basis multiplizierst. Das sieht mathematisch so aus:

Jetzt die Besonderheit bei der Ableitung der e-Funktion: Der Logarithmus von e ist gleich 1:

Für die Ableitung bedeutet das:

Es ist also grundsätzlich sehr einfach, die e-Funktion abzuleiten. Wichtig ist in diesem Zusammenhang noch die Faktorregel: Wenn vor der e-Funktion noch ein Faktor steht, bleibt dieser auch in der Ableitung erhalten. 

Beispiel:

Wie es in Mathe nun aber so ist: Du hast selten so eine einfache Aufgabe vor dir, wenn es um das Ableiten mit e-Funktionen geht. Fast immer steht im Exponenten nicht nur ein x$x$, sondern eine komplexere Funktion. Dann brauchst du weitere Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel. 

Du brauchst die Kettenregel in der Ableitung von e-Funktionen immer dann, wenn eine äußere und eine innere Funktion vorliegen. Was bedeutet das? Schau dir das Beispiel an:

In diesem Beispiel hast du eine äußere Funktion – nämlich die e-Funktion – und diese „umschließt“ sozusagen eine innere Funktion, nämlich 4x3$4x^3$. Mathematisch können wir allgemein schreiben:

Wir nennen die äußere Funktion hier g(x)$\text{g(x)}$ und die innere Funktion h(x)$\text{h(x)}$.

Schauen wir uns jetzt die Kettenregel an:

Das ist gar nicht so kompliziert, wie es aussieht. Wichtig ist nur, dass du die äußere und die innere Funktion auseinanderhältst. Das schauen wir uns an einem Beispiel an. 

Beispiel: Kettenregel bei der e-Funktion anwenden

Wir wollen diese Funktion ableiten:

So gehen wir vor:

1. äußere und innere Funktion finden
2. beide Funktionen ableiten
3. in die Formel für die Ableitung mit der Kettenregel einsetzen

Zuerst identifizieren wir die äußeren und inneren Funktionen:

äußere Funktion:

innere Funktion:

Dann leiten wir beide Funktionen ab. Wenn du hier Hilfe benötigst, schau dir unseren ausführlichen Artikel mit vielen Beispielen zu den Ableitungsregeln an.

(Achtung: In unserer ursprünglichen Funktion f(x)$f(x)$ steht hier nicht nur x$x$, sondern 4x3$4x^3$. Die reine Ableitung der e-Funktion ist aber ex$e^x$.)

Tipp: Bei der Ableitung der inneren Funktion haben wir die Faktorregel und die Potenzregel angewendet.

Zuletzt setzen wir alles in die Formel für die Kettenregel ein. Pass dabei gut auf, dass du die kleinen Striche nicht übersiehst, die eine abgeleitete Funktion kennzeichnen. So sieht das Ganze aus:

Wir setzen unsere tatsächlichen Werte ein:

Damit bist du fertig – weiter zusammenfassen kannst du diese Ableitung nicht.

Beispiel 2: komplexe e-Funktion ableiten

Schauen wir uns noch ein zweites Beispiel an, in dem gleich mehrere Regeln für das Ableiten vorkommen:

Wir bestimmen zunächst wieder die äußere und die innere Funktion:

Als Nächstes müssen wir beide Funktionen ableiten.

Die äußere Funktion können wir leicht ableiten: Die Ableitung der e-Funktion bleibt gleich und den Faktor nehmen wir mit (Faktorregel).

Die innere Funktion besteht aus zwei Summanden. Hier brauchen wir die Summenregel, die besagt, dass beide Summanden einzeln abgeleitet und dann einfach wieder addiert werden. Außerdem brauchen wir erneut die Potenz- und Faktorregel.

Tipp: Wenn du hier etwas Hilfe brauchst, lies unseren ausführlichen Artikel zur Summen- und Differenzregel. 

Jetzt sind wir bereit, alles in die Kettenregel einzusetzen:

Fertig!

Jetzt hast du die Einführung in die Ableitung von e-Funktionen schon gemeistert – prima! Jetzt schauen wir uns noch an, was passiert, wenn die e-Funktion Teil eines Produkts ist oder du die e-Funktion in einem Bruch ableiten sollst. Dazu brauchen wir die Produktregel und die Quotientenregel.

Achtung: Die Aufgaben zum Ableiten der e-Funktion sehen jetzt noch einmal komplexer aus. Wirklich schwieriger wird das Berechnen der Ableitung aber nicht. Wichtig ist nur, dass du den Überblick nicht verlierst und immer genau darauf achtest, wo du die Funktionen und die Ableitungen der Funktionen in die Formeln einsetzt. Dann klappt das!

Beispiel: e-Funktion mit der Produktregel ableiten
So sieht die Produktregel aus:

Auch hier hast du es mit zwei separaten Funktionen zu tun. Schauen wir uns an, was passiert, wenn eine davon eine e-Funktion ist.

Wir haben hier diese beiden Funktionen:

Wir leiten beide Teilfunktionen ab:

(Hier haben wir zum Ableiten wieder die Kettenregel von oben angewendet!)

(Hier haben wir die Faktor- und die Potenzregel angewendet.)

Und jetzt können wir einsetzen:

Fertig! Gar nicht so schwer, oder?

Beispiel: e-Funktion mit der Quotientenregel ableiten

Die Quotientenregel wendest du an, wenn sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Funktion (erkennbar meist an der Variablen x$x$) steht. So sieht die Quotientenregel aus:

Auch hier ist das Vorgehen genau dasselbe, auch wenn die Formel kompliziert aussieht. Beispiel:

Wir identifizieren zuerst die beiden Funktionen:

Dann leiten wir beide Funktionen ab:

Und nun setzen wir alles in die Formel für die Quotientenregel ein:

Super! Jetzt bist du definitiv fit im Ableiten von e-Funktionen.

• Das Ableiten der e-Funktion ist Teil der Analysis im Fach Mathematik.
• Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion. Sie heißt „natürliche Exponentialfunktion“. Bei Exponentialfunktionen braucht man den Logarithmus (ln) zum Ableiten, doch die e-Funktion bzw. die Eulersche Zahl hat einen Logarithmus von 1.
• Daher sieht die Ableitung der e-Funktion aus wie die ursprüngliche Funktion. Die Ableitung ist also sehr einfach.
• Wenn der Exponent der e-Funktion nicht nur x$x$ ist, wird das Ableiten komplexer. Du brauchst dann verschiedene Ableitungsregeln.

Wie wird eine e-Funktion abgeleitet?
Die Ableitung der e-Funktion entspricht der ursprünglichen Funktion. Das gilt, solange der Exponent nur x$x$ ist. Bei komplexeren Exponenten musst du verschiedene Ableitungsregeln anwenden.

Wie berechnet man die Ableitung einer Exponentialfunktion?
Bei der Ableitung einer Exponentialfunktion wird die ursprüngliche Funktion multipliziert mit dem Logarithmus der Basis. Weil der Logarithmus der Eulerschen Zahl e aber 1 ist, gilt bei der e-Funktion:

Wann benutzt man die Produktregel bei e-Funktionen?
Die Produktregel musst du anwenden, wenn deine Funktion aus mehreren Teilfunktionen besteht, die miteinander multipliziert werden – wenn also ein Produkt vorliegt.