Mathematik – Gauß-Algorithmus

Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen. Eine lineare Gleichung erkennst du daran, dass die höchste Potenz der Variablen 1 ist. In der Gleichung steht also zum Beispiel nur x$x$, niemals x2$x^2$ oder x3$x^3$ (das wären dann quadratische oder kubische Gleichungen, für die es andere Lösungsverfahren gibt). 

Vielleicht kennst du schon das Additionsverfahren, mit dem du ein lineares Gleichungssystem lösen kannst. Es ist eine gute Vorbereitung auf das Gauß-Verfahren. Wenn du es aber nicht mehr im Kopf hast, mach dir keine Sorgen – mit unseren Beispielen verstehst du den Gauß-Algorithmus trotzdem. Andere mögliche Verfahren sind das Einsetzungsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren.

Du bemerkst vielleicht, dass wir schon die Begriffe „Gauß-Verfahren“ und „Gauß-Algorithmus“ verwendet haben. Sie bedeuten dasselbe. Du kannst auch „Gaußsches Eliminationsverfahren“ oder „Gaußscher Algorithmus“ sagen. Das sind alles einfach unterschiedliche Bezeichnungen für dasselbe Vorgehen. 

Welches Ziel hat das Gaußsche Eliminationsverfahren?

Der Gauß-Algorithmus ist immer dann eine gute Wahl, wenn du viele lineare Gleichungen im Gleichungssystem hast – und damit auch viele unterschiedliche Variablen. Mit dieser Methode kannst du selbst sehr große lineare Gleichungssysteme lösen. Das ist zum Beispiel beim Rechnen mit Matrizen sehr nützlich (etwa, wenn du die Determinante einer Matrix berechnen willst). 

Anwendung des Gauß-Algorithmus – Vorbereitung

Wir nutzen für das Gauß-Verfahren eine besondere Schreibweise, die uns viel Arbeit erspart. Schauen wir uns dazu dieses Gleichungssystem an:

I. a+2b−c=8$I.a+2b-c=8$
II. −a−5b−4c=−12$II.-a-5b-4c=-12$
III. −a+b+2c=0$III.-a+b+2c=0$

Wir nennen die Variablen hier a$a$, b$b$ und c$c$. Genauso gut könnten sie x$x$, y$y$ und z$z$ heißen. Das ist aber ein bisschen unpraktisch, denn wenn dein Gleichungssystem nicht nur drei, sondern vier oder mehr Variablen hat, hast du am Ende des Alphabets keine Buchstaben mehr übrig. Deshalb fangen wir vorne an. Oft wird auch x1$x_1$, x2$x_2$ und x3$x_3$ geschrieben. Für die Rechnung spielt das keine Rolle, da wir sowieso jetzt alle Variablen streichen und stattdessen nur die Koeffizienten in eine Tabelle eintragen.

Jetzt können wir unser Gleichungssystem von oben nach diesen Regeln aufschreiben:

I. a+2b−c=8$I.a+2b-c=8$

II. −a−5b−4c=−12$II.-a-5b-4c=-12$

III. −a+b+2c=0$III.-a+b+2c=0$

Wenn du schon mit Matrizen rechnest, erkennst du vielleicht, dass diese Form der erweiterten Koeffizientenmatrix ähnelt. Wenn nicht, mach dir keine Sorgen – du brauchst dieses Wissen hier nicht.

Stelle dir nun eine Diagonale vor, die von links oben nach rechts unten geht:

Unser Ziel ist es, dass unter der Diagonale nur noch Nullen stehen. Das sieht dann so aus:

Diese Form nennt man die Zeilenstufenform oder auch die obere Dreiecksform oder Dreiecksmatrix. Aus dieser Form können wir das Ergebnis für eine Variable ablesen und somit auch die restlichen Variablen finden. Und wie finden wir diese Form? Natürlich mit dem Gauß-Algorithmus!

Wir wollen unser ursprüngliches Gleichungssystem lösen:

Dazu werden wir jetzt einzelne Zeilen umformen. Die blau markierten Zahlen (unter der grün markierten Diagonale) wollen wir in Nullen verwandeln. Dazu müssen wir folgende Regeln für das Gauß-Verfahren beachten:

1. Du darfst Zeilen vertauschen. Das ist besonders nützlich, wenn du zum Beispiel in der ersten Zeile schon eine Null an relevanter Stelle hast. Dann vertauschst du diese Zeile einfach mit der zweiten oder dritten (oder vierten, fünften etc.) Zeile. 
2. Du darfst eine Zeile zu einer anderen Zeile addieren oder von ihr subtrahieren.
3. Du darfst eine Zeile mit einer Zahl multiplizieren oder dividieren. Diese Zahl darf aber nicht Null sein! 

Unter Beachtung dieser Regeln versuchen wir nun, die drei blau markierten Zahlen in Nullen zu verwandeln. Wir fangen mit der ersten Stelle der zweiten Zeile (−1$-1$) an, gehen dann zur ersten Stelle der dritten Zeile (−1$-1$) und dann zur zweiten Stelle der dritten Zeile (+1$+1$).

1. Erste Stelle der zweiten Zeile auf Null bringen

Wir können die erste Zeile zur zweiten Zeile addieren. Für die erste Stelle der beiden Zeilen ergibt sich dann 1+(−1)=0$1+(-1)=0$. Damit haben wir schon unsere erste Null. Wir müssen das aber für die gesamten Zeilen tun, also:

1. Erste Stelle: 1+(−1)=0$1+(-1)=0$
2. Zweite Stelle: 2+(−5)=−3$2+(-5)=-3$
3. Dritte Stelle: −1+(−4)=−5$-1+(-4)=-5$
4. Vierte Stelle (rechts): 8+(−12)=−4$8+(-12)=-4$

Unsere Ergebniszeile lautet also:

0−3−5=−4$0-3-5=-4$

Dieses Ergebnis schreiben wir jetzt an Stelle der ursprünglichen zweiten Zeile. Das dürfen wir, da wir die Regeln für das Gauß-Verfahren alle eingehalten haben. 

So sieht unser Gleichungssystem jetzt aus:

Super, die erste Null haben wir!

2. Erste Stelle der dritten Zeile auf Null bringen

Weiter geht’s mit der ersten Stelle der dritten Zeile. Hier bietet es sich an, die erste und die dritte Zeile zu addieren – genauso, wie wir es eben mit der ersten und der zweiten Zeile gemacht haben.

Wir rechnen:

+1+2−1|8$+1+2-1|8$

+$+$

−1+1+2|0$-1+1+2|0$

Und herauskommt diese Zeile:

0+3+1|8$0+3+1|8$

Das ist unsere Ergebniszeile und wir setzen sie jetzt an die Stelle der ursprünglichen dritten Zeile:

Jetzt fehlt nur noch eine Null.

3. Zweite Stelle der dritten Zeile auf Null bringen

Wir sehen auf einen Blick, dass −3$-3$ und 3$3$ sich wunderbar aufheben. Also addieren wir die zweite Zeile zur dritten Zeile.

Wir rechnen:

0−3−5|−4$0-3-5|-4$

+$+$

 0+3+1|8$0+3+1|8$

Und herauskommt diese Zeile:

0+0−4|4$0+0-4|4$

Die setzen wir wieder als dritte Zeile des Gleichungssystems ein:

Ergebnisse berechnen

Jetzt ist das Gauß-Verfahren beendet und wir können nun unser erstes Ergebnis einfach ablesen. Aus der letzten Zeile machen wir jetzt wieder eine Gleichung. Dazu müssen wir die Variablen (die ja immer noch oben in der Tabelle stehen) wieder einsetzen. So sieht die dritte Zeile dann aus:

0a+0b−4c=4$0a+0b-4c=4$

Jetzt können wir ganz leicht c$c$ ausrechnen:

−4c=4|÷4$-4c=4|÷4$

−c=1|⋅(−1)$-c=1|\cdot (-1)$

c=−1$c=-1$

Wir haben unsere erste Variable bestimmt! Diese können wir jetzt in die zweite Zeile unseres Gleichungssystems einsetzen. So sieht die zweite Zeile mit Variablen aus:

0a−3b−5c=−4$0a-3b-5c=-4$

Wir setzen für c=−1$c=-1$ ein:

0a−3b−5⋅(−1)=−4$0a-3b-5\cdot (-1)=-4$

Jetzt können wir nach b$b$ auflösen:

0a−3b−(5⋅(−1))=−4$0a-3b-(5\cdot (-1))=-4$

−3b−(−5)=−4$-3b-(-5)=-4$

−3b+5=−4|−5$-3b+5=-4|-5$

−3b=−9|÷3$-3b=-9|÷3$

−b=−3|⋅(−1)$-b=-3|\cdot (-1)$

b=3$b=3$

Jetzt fehlt nur noch die Variable a$a$. Wie du dir vielleicht denken kannst, können wir jetzt b=3$b=3$ und c=−1$c=-1$ in die erste Zeile des Gleichungssystems einsetzen:

a+2b−c=8$a+2b-c=8$

Wir setzen ein:

a+2⋅3−(−1)=8$a+2\cdot 3-(-1)=8$

a+6+1=8$a+6+1=8$

a+7=8|−7$a+7=8|-7$

a=1$a=1$

Fertig! Wir haben alle drei Variablen gefunden.

Manchmal kann es passieren, dass du für dein Gleichungssystem keine Lösung findest. Das bedeutet dann, dass die Aufgabe zum Gauß-Algorithmus unlösbar ist.

Schauen wir uns ein solches Beispiel an:

I. a−4b−2c=10$I.a-4b-2c=10$

II. 2a+b+2c=29$II.2a+b+2c=29$

III. 4a+2b+4c=40$III.4a+2b+4c=40$

Zuerst schreiben wir in die Tabellenform um:

Die blau markierte Zahl wollen wir in Null umformen. Dazu nehmen wir zuerst die gesamte zweite Zeile mal 2$2$:

Und jetzt ziehen wir die zweite Zeile von der dritten Zeile ab:

4+2+4|58$4+2+4|58$

−$-$

4+2+4|40$4+2+4|40$

Dadurch ergibt sich:

0+0+0|−18$0+0+0|-18$

Jetzt sind wir auf ein Problem gestoßen, denn wenn wir unsere Variablen hier wieder einsetzen, steht in dieser Zeile:

0a+0b+0c|−18$0a+0b+0c|-18$

0≠−18$0\ne -18$

Diese Aussage ist nicht wahr. Daher ist die Gleichung unlösbar.

Schauen wir uns noch einen letzten Sonderfall an:

Wir formen um, indem wir die zweite Zeile von der dritten Zeile abziehen:

1−2+2|2$1-2+2|2$

−$-$

1−2+2|2$1-2+2|2$

Das Ergebnis schreiben wir in die zweite Zeile:

In der zweiten Zeile steht jetzt mit Variablen:

0a+0b+0c=0$0a+0b+0c=0$

Diese Gleichung ist zwar lösbar, aber unbestimmt. Du kannst für a$a$, b$b$ und c$c$ alle möglichen Zahlen einsetzen – solange du sie mal 0$0$ nimmst, erhältst du natürlich immer null. Daher gibt es unendlich viele Lösungen für dieses Gleichungssystem.

Übrigens: Du kannst mit diesem Verfahren beliebig große Gleichungssysteme lösen. Das Vorgehen ist immer dasselbe – du musst nur darauf achten, wo die gedachte Diagonale verläuft und wo du entsprechend die erste Null erzeugen musst.

• Mit dem Gauß-Algorithmus kannst du lineare Gleichungssysteme in der Algebra lösen.
  
• Das ist zum Beispiel nützlich, wenn du mit einer Matrix rechnest. 
  
• Das Verfahren funktioniert so, dass du das Gleichungssystem in die Zeilenstufenform bzw. die obere Dreiecksform bringst.
  
• Wenn du fertig bist, kannst du eine Variable direkt in der untersten Zeile ausrechnen.
  
• Anschließend setzt du diese Variable in die Zeile darüber ein und erhältst so die Lösung für eine weitere Variable.
  
• Das setzt du fort, bis das gesamte Gleichungssystem gelöst ist.