Mathematik – Lineares Gleichungssystem

Lineare Gleichungen kannst du in der Regel ziemlich einfach lösen. Zum Beispiel so:

3x+2=11|−2$3x+2=11|-2$

3x=9|÷3$3x=9|÷3$

x=3$x=3$

In einem linearen Gleichungssystem (kurz: LGS) hast du aber nicht nur die Variable x$x$, sondern zwei, drei oder sogar noch mehr Variablen. Außerdem hast du mehrere Gleichungen vor dir – idealerweise mindestens so viele, wie du Variablen (Unbekannte) hast.

Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems ist das Ziel, dass du nacheinander Variablen eliminierst. Zum Schluss bleibt dann (im Idealfall) nur eine Variable übrig und du kannst sie ausrechnen. Mit deinem Ergebnis kannst du dann auch die anderen Gleichungen lösen. 

Wichtig: Es handelt sich nur um ein lineares Gleichungssystem, wenn die gefundenen Variablen auch für alle Gleichungen richtige Ergebnisse liefern. Sonst ist dein Gleichungssystem nicht lösbar und zwischen den Gleichungen besteht kein linearer Zusammenhang. 

So kann ein lineares Gleichungssystem aussehen:

I.10x+12y=22$I.10x+12y=22$

II.2x+2y=6$II.2x+2y=6$

Das ist ein einfaches 2x2-System. Du siehst, dass die Gleichungen mit römischen Zahlen gekennzeichnet werden. Theoretisch kannst du lineare Gleichungssysteme lösen, die 20, 100 oder mehr Variablen haben. In Mathe in der Schule wirst du aber eher nur 2x2- oder 3x3-Systeme lösen. 

Um die Lösungen linearer Gleichungssysteme zu finden, kannst du unterschiedliche Verfahren anwenden. Wir zeigen dir auf dieser Seite die drei wichtigsten.

Tipp: Suche dir am besten immer das Verfahren aus, das dir gerade Rechenvorteile bietet.

Das Einsetzungsverfahren heißt so, weil du eine Gleichung umstellst und das Ergebnis dann in eine andere Gleichung einsetzt. Das Einsetzungsverfahren funktioniert für einfache Gleichungssysteme ebenso wie für komplexe Gleichungssysteme. Am besten geeignet ist es aber, wenn eine Gleichung bereits nach einer bestimmten Variable aufgelöst ist.

So gehst du vor:

1. Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf.
2. Setze das Ergebnis in die andere Gleichung ein, um eine Variable zu eliminieren.
3. Setze dieses Ergebnis in die ursprünglich aufgelöste Gleichung ein.
4. Mache die Probe.

Beispiel:

I.10x+12y=22$I.10x+12y=22$

II.2x+2y=6$II.2x+2y=6$

Schritt 1: Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf
Wir nehmen die zweite Gleichung, da die Zahlen hier etwas kleiner sind. Wir lösen diese Gleichung nun nach der Variablen x$x$ auf. Dabei dürfen wir die Terme umformen, wie du es aus der Schule bereits kennst:

2x+2y=6|÷2$2x+2y=6|÷2$

x+y=3|−y$x+y=3|-y$

x=3−y$x=3-y$

Schritt 2: Setze das Ergebnis in die andere Gleichung ein
Wir setzen x=3−y$x=3-y$ nun in die Gleichung I.$I.$ ein:

I.10x+12y=22$I.10x+12y=22$

10(3−y)+12y=22$10(3-y)+12y=22$

Wir lösen die Klammer auf und rechnen aus:

30−10y+12y=22$30-10y+12y=22$

30+2y=22|−30$30+2y=22|-30$

2y=−8|÷4$2y=-8|÷4$

y=−4$y=-4$

Schritt 3: Setze dieses Ergebnis in die ursprünglich aufgelöste Gleichung ein
Wir haben ursprünglich die zweite Gleichung nach x$x$ umgestellt und dieses Ergebnis erhalten:

x=3−y$x=3-y$

Hier setzen wir jetzt für y=−4$y=-4$ ein:

x=3−(−4)$x=3-(-4)$

x=7$x=7$

Schritt 4: Mache die Probe
Du hast nun mit dem Einsetzungsverfahren für lineare Gleichungssysteme beide Variablen ermittelt. Eigentlich bist du jetzt fertig. Wir setzen unsere Ergebnisse aber noch einmal in unser ursprüngliches Gleichungssystem ein, um zu überprüfen, ob alles richtig ist:

I.10x+12y=22$I.10x+12y=22$

II.2x+2y=6$II.2x+2y=6$

Wir wissen:

x=7$x=7$

y=−4$y=-4$

Also:

I.10⋅7+12⋅(−4)=22$I.10\cdot 7+12\cdot (-4)=22$

II.2⋅7+2⋅(−4)=6$II.2\cdot 7+2\cdot (-4)=6$

Wir rechnen aus:

I.10⋅7+12⋅(−4)=22$I.10\cdot 7+12\cdot (-4)=22$

70−48=22|+48$70-48=22|+48$

70=70$70=70$

II.2⋅7+2⋅(−4)=6$II.2\cdot 7+2\cdot (-4)=6$

14−8=6|+8$14-8=6|+8$

14=14$14=14$

Unsere Ergebnisse sind richtig! So kannst du Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen überprüfen.

Tipp: Dieses Verfahren ist besonders geeignet, wenn schon eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist, also dein Gleichungssystem etwa so aussieht:

I.10x+12y=22$I.10x+12y=22$

II.x=3−y$II.x=3-y$

Das Gleichsetzungsverfahren für lineare Gleichungssysteme heißt so, weil du zwei Gleichungen aus deinem Gleichungssystem gleichsetzt. Besonders geeignet ist es, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen umgestellt (oder sehr leicht umzustellen) sind.

So gehst du vor:

1. Löse zwei Gleichungen nach derselben Variablen auf.
2. Setze die beiden Gleichungen gleich.
3. Rechne die verbleibende Variable aus.
4. Setze dieses Ergebnis in die ursprünglich aufgelöste Gleichung ein.
5. Mach die Probe.

Beispiel:

I.10x+12y=22$I.10x+12y=22$

II.2x+2y=6$II.2x+2y=6$

Schritt 1: Löse zwei Gleichungen nach derselben Variable auf
Wir wollen beide Gleichungen nach x$x$ umstellen:

10x+12y=22|−12y$10x+12y=22|-12y$

10x=22−12y|÷10$10x=22-12y|÷10$

x=2210−1210y$x=\frac{22}{10}-\frac{12}{10}y$

x=116−65y$x=\frac{11}{6}-\frac{6}{5}y$

Das Gleiche machen wir auch für die zweite Gleichung:

2x+2y=6|÷2$2x+2y=6|÷2$

x+y=3|−y$x+y=3|-y$

x=3−y$x=3-y$

Schritt 2: Setze die beiden Gleichungen gleich

x=115−65y$x=\frac{11}{5}-\frac{6}{5}y$

x=3−y$x=3-y$

Wir setzen nun die Gleichungen gleich und eliminieren dadurch die Variable x$x$:

115−65y=3−y$\frac{11}{5}-\frac{6}{5}y=3-y$

Schritt 3: Rechne die verbleibende Variable aus
Wir lösen diese verbleibende Gleichung nach y$y$ auf:

115−65y=3−y|⋅5$\frac{11}{5}-\frac{6}{5}y=3-y|\cdot 5$

11−6y=15−5y|+6y−15$11-6y=15-5y|+6y-15$

y=−4$y=-4$

Schritt 4: Setze dieses Ergebnis in die ursprünglich aufgelöste Gleichung ein
Wir haben ursprünglich die zweite Gleichung nach x$x$ umgestellt und dieses Ergebnis erhalten:

x=3−y$x=3-y$

Hier setzen wir jetzt für y=−4$y=-4$ ein:

x=3−(−4)$x=3-(-4)$

x=7$x=7$

Schritt 5: Mach die Probe
Wieder sind wir an dieser Stelle eigentlich fertig, doch wir sollten unsere Ergebnisse überprüfen. Da es sich um dieselben Gleichungen wie im Beispiel zum Einsetzungsverfahren handelt, kennen wir die Ergebnisse aber schon und wissen daher, dass sie richtig sind.

Eine weitere Möglichkeit, Gleichungssysteme zu lösen, ist das Additionsverfahren. Das Additionsverfahren für lineare Gleichungssysteme ist geeignet, wenn du zwei Gleichungen im System so addieren kannst, dass ein Term mit einer Variablen dadurch wegfällt.

So gehst du vor:

1. Forme eine Gleichung so um, dass du durch Addition eine Variable eliminieren kannst.
2. Ermittle die Variable.
3. Setze das Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.
4. Mach die Probe.

Beispiel:

I.10x+12y=22$I.10x+12y=22$

II.2x+2y=6$II.2x+2y=6$

Schritt 1: Forme eine Gleichung um
Wir wollen eine unsere Gleichungen so umformen, dass wir sie mit einer anderen addieren können und dabei eine Variable wegfällt. Wollen wir in unserem Beispiel die Variable x$x$ eliminieren, können wir Folgendes tun:

I.10x+12y=22$I.10x+12y=22$

II.2x+2y=6|⋅(−5)$II.2x+2y=6|\cdot (-5)$

Dann erhalten wir:

I.10x+12y=22$I.10x+12y=22$

II.−10x−10y=−30$II.-10x-10y=-30$

Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen, indem wir von oben nach unten die einzelnen Terme addieren – so wie wir es beim schriftlichen Addieren machen würden:

10x+12y=22$10x+12y=22$

−10x−10y=−30−−−−−−−−−−−−−−−$\underset{\_}{-10x-10y=-30}$

0x+2y=−8$0x+2y=-8$

Schritt 2: Ermittle die Variable
Aus der Gleichung 0x+2y=−8$0x+2y=-8$ können wir sehr leicht y$y$ berechnen:

0x+2y=−8$0x+2y=-8$

2y=−8|÷2$2y=-8|÷2$

y=−4$y=-4$

Schritt 3: Setze das Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen ein
Wir setzen y=−4$y=-4$ in eine unserer beiden ursprünglichen Gleichungen ein. Wir können uns die mit den kleineren Zahlen aussuchen:

II.2x+2y=6$II.2x+2y=6$

Daraus folgt:

2x+2⋅(−4)=6$2x+2\cdot (-4)=6$

2x−8=6|+8$2x-8=6|+8$

2x=14|÷2$2x=14|÷2$

x=7$x=7$

Schritt 4: Mach die Probe
An dieser Stelle könnten wir jetzt erneut die Werte für x$x$ und y$y$ in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um unsere Ergebnisse zu überprüfen. Da wir das aber schon getan haben, wiederholen wir es an dieser Stelle nicht noch einmal. 

Wenn du deine Gleichungen in Geradenform gegeben hast (oder in diese umstellen kannst), dann kannst du deine Ergebnisse graphisch überprüfen. Denn: Damit ein lineares Gleichungssystem hat, müssen die Geraden (die die Graphen dieser Gleichungen sind) sich schneiden.

Wenn der Schnittpunkt eindeutig abzulesen ist, kannst du dieses Verfahren sogar nutzen, um für deine Variablen die Werte zu finden. Oft ist der Schnittpunkt aber nicht so klar und eignet sich daher eher für eine Annäherung.

Beispiel:

I.y=4x+1$I.y=4x+1$

II.y=2x+3$II.y=2x+3$

So sehen die Graphen dazu aus:

Hier hast du Glück und du kannst sogar den Schnittpunkt eindeutig erkennen. Er liegt bei x=1$x=1$ und y=5$y=5$. Das können wir mit unseren Gleichungen überprüfen:

I.y=4x+1$I.y=4x+1$

I.5=4⋅1+1$I.5=4\cdot 1+1$

I.5=4+1$I.5=4+1$

I.5=5$I.5=5$

Das stimmt schon mal! Schauen wir uns auch die zweite Gleichung an:

II.y=2x+3$II.y=2x+3$

II.5=2⋅1+3$II.5=2\cdot 1+3$

II.5=2+3$II.5=2+3$

II.5=5$II.5=5$

Auch das ist richtig! 

Beim Lösen linearer Gleichungssysteme kannst du auf einige Sonderfälle stoßen.

Über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem
Von einem überbestimmten Gleichungssystem spricht man, wenn du mehr Gleichungen als Variablen hast – also zum Beispiel ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen, aber fünf Gleichungen. Das ist erst einmal kein Problem und kann dir sogar Rechenvorteile bringen, weil du dir die einfachsten Gleichungen aussuchen kannst.

Oft ist es bei solchen Gleichungssystemen aber so, dass es beim Lösen zum Widerspruch kommt, das Gleichungssystem also nicht für alle Gleichungen lösbar ist. Wir gehen gleich darauf ein, was das bedeutet.

Es gibt auch unterbestimmte Gleichungssysteme. Ein solches lineares Gleichungssystem hast du zum Beispiel, wenn du drei Variablen, aber nur zwei Gleichungen hast. Manchmal hast du Glück und das System lässt sich trotzdem lösen. Oft findest du aber nur eine unbestimmte Lösung wie x=y+2$x=y+2$. 

Lineare Gleichungssysteme ohne Lösungen
Manchmal gibt es für ein lineares Gleichungssystem keine Lösung.

Beispiel:

I.3x+2=10$I.3x+2=10$

II.3x+4=5$II.3x+4=5$

Wir versuchen es einmal mit dem Einsetzungsverfahren und stellen die erste Gleichung nach x$x$ um:

3x+2=10|−2$3x+2=10|-2$

3x=8|÷3$3x=8|÷3$

x=83$x=\frac{8}{3}$

Was passiert, wenn wir das jetzt in unsere zweite Gleichung einsetzen?

3x+4=5$3x+4=5$

3⋅83+4=5$3\cdot \frac{8}{3}+4=5$

8+4=5$8+4=5$

12≠5$12\ne 5$

Hier kommt es zum Widerspruch. Wenn du richtig gerechnet hast, bedeutet das: Diese beiden Gleichungen sind nicht mit denselben Variablen lösbar. Das kannst du übrigens auch graphisch erkennen. Dazu stellen wir auf die Geradengleichungen um, indem wir alle Terme auf eine Seite bringen:

y=3x−8$y=3x-8$

y=3x−1$y=3x-1$

Und so sehen die Graphen dazu aus:

Hier gibt es also tatsächlich keine Schnittpunkte. Die Lösungsmenge ist leer!

Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
Manchmal liefert ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Beispiel:

I.2x−y=7$I.2x-y=7$

II.−6x+3y=−21$II.-6x+3y=-21$

Wir stellen die erste Gleichung nach y$y$ um:

2x−y=7|−2x$2x-y=7|-2x$

−y=7−2x|⋅(−1)$-y=7-2x|\cdot (-1)$

y=2x−7$y=2x-7$

Das setzen wir jetzt in unsere zweite Gleichung ein:

−6x+3y=−21$-6x+3y=-21$

−6x+3⋅(2x−7)=−21$-6x+3\cdot (2x-7)=-21$

−6x+6x−21=−21$-6x+6x-21=-21$

−21=−21$-21=-21$

Das ist zwar richtig, gilt jeden Fall, in dem y=2x−7$y=2x-7$ ergibt – und da gibt es unendlich viele Lösungen. Deshalb ist auch die Lösungsmenge unendlich groß. Du schreibst in diesem Fall:

L={(x∣y)∣y=2x−7}$\mathbb{L}=\{(x\mid y)\mid y=2x-7\}$

Übrigens: Für deine Geraden bedeutet das, dass sie identisch sind.

Mathematische Gleichungssysteme können theoretisch unendlich groß werden. Die Verfahren, die du oben gelernt hast, kannst du ebenso auf ein 3x3-Gleichungssystem und auf noch viel größere Systeme anwenden. Die Aufgaben werden dann komplexer, aber nicht wirklich schwieriger.

Ein besonders nützliches Verfahren, um große lineare Gleichungssysteme Schritt für Schritt zu lösen, ist das Gauß-Verfahren. Schau dir einfach unsere Seite dazu an.

• Lineare Gleichungssysteme sind Systeme von Gleichungen, die mit denselben Werten für Variablen gelöst werden können.
• Idealerweise hast du im Gleichungssystem mindestens so viele Gleichungen wie Variablen.
• Die Lösung eines Gleichungssystems findest du mit dem Einsetzungsverfahren, dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Additionsverfahren.
• Größere Gleichungssysteme kannst du zum Beispiel mit dem Gauß-Verfahren lösen.
• Es gibt auch einige Spezialfälle, zum Beispiel wenn ein Gleichungssystem keine oder unendlich viele Lösungen hat.