Mathematik – Extremwertaufgaben

Extremwertaufgaben sind super nützlich, wenn es darum geht, etwas zu verbessern – Beispiele dazu zeigen wir dir gleich. Außerdem lernst du hier, die Funktion einer Extremwertaufgabe aufzustellen und sie mithilfe der Nebenbedingungen zu vereinfachen. Keine Sorge, wir erklären dir alles Schritt für Schritt.

Du kennst es vielleicht aus Mathe, dass Aufgaben manchmal sehr weit weg von der Wirklichkeit scheinen: Wozu berechnen wir das überhaupt? Extremwertaufgaben gehören aber zu den mathematischen Aufgaben, deren Sinn leicht zu erklären ist. Es gibt nämlich viele Praxisbeispiele für Extremwertaufgaben:

• Extremwertprobleme entstehen immer dann, wenn es darum geht, etwas zu verbessern – zum Beispiel, weil ein Prozess schneller gehen oder weniger Material verbrauchen soll. Deshalb spricht man auch von Optimierungsaufgaben.
  
• Typische Beispiele für Extremwertaufgaben sind, mit einer vorgegebenen Zaunlänge eine möglichst große Fläche einzuzäunen oder aus einem Stück Papier einen Quader mit möglichst großem Volumen zu falten. 
  
• Aber auch in der Physik und in der Wirtschaft ist es nützlich, Extremwertaufgaben lösen zu können. Die Extremwertanalyse hilft zum Beispiel in der Produktion, viel Geld zu sparen – weil einfach effizienter gearbeitet oder weniger Material gebraucht wird.

Der wichtigste Schritt zum Lösen von Extremwertaufgaben in Mathe ist, dass du die richtige Funktion aufstellst. Wir zeigen dir gleich ein paar Beispiele dazu. Extremwertaufgaben im Abitur enthalten manchmal auch Funktionen im mehrdimensionalen Raum. Die Rechnung ist für mehrdimensionale Extremwertaufgaben etwas komplizierter, die Lösungsansätze sind aber die gleichen. 

Bevor du eine Extremwertaufgabe lösen kannst, musst du die richtige Funktion aufstellen. Gesucht wird eine Funktion, die das Problem in der Aufgabenstellung lösen kann und idealerweise nur noch von einer Variablen abhängt. 

Dazu schaust du dir zuerst die Hauptbedingung an. Eine Hauptbedingung kann zum Beispiel sein, dass du das maximale Volumen eines Körpers berechnen sollst. Dazu gibt es mitunter eine Nebenbedingung. Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen kannst du diese Nebenbedingungen nutzen, um Variablen zu eliminieren, sodass am Ende nur noch eine übrig bleibt. Diese Funktion mit nur noch einer Variablen heißt Zielfunktion. 

Keine Sorge, wir zeigen dir das gleich an einem Beispiel. Dann wird das, was jetzt noch etwas abstrakt klingt, ganz klar. 

So sieht das Vorgehen zum Lösen von Extremwertaufgaben Schritt für Schritt aus:

1. Zuerst musst du verstehen, was du überhaupt berechnen sollst. Was soll optimiert werden? Suchst du ein Maximum oder ein Minimum? 
   
2. Als Nächstes stellst du die Funktion für die Hauptbedingung auf.
   
3. Dann bestimmst du die Funktion für die Nebenbedingung.
   
4. Nun setzt du die Funktion für die Nebenbedingung in die Funktion für die Hauptbedingung ein und eliminierst dabei Variablen. So kannst du die vereinfachte Zielfunktion aufstellen. 
   
5. Am Ende legst du noch einen sinnvollen Definitionsbereich fest. Was sinnvoll ist, hängt von der Aufgabe ab. Wenn du zum Beispiel einen Flächeninhalt berechnen sollst, sind negative Werte nicht sinnvoll. 
   
6. Jetzt kannst du die Funktionsoptimierung durchführen – nämlich die Extremstellen berechnen. 
   

Schauen wir uns dazu jetzt eins der typischen Beispiele für Extremwertaufgaben an.

Du hast 30 Meter Zaun und sollst damit eine möglichst große rechteckige Fläche einzäunen. Mit den Lösungsstrategien für Extremwertaufgaben kannst du diese Aufgabe lösen, ohne lange auszuprobieren. 

Das geht so:

1. Aufgabenstellung der Extremwertaufgabe verstehen

Wir fertigen uns am besten eine kleine Skizze an, um zu verstehen, worum es geht:

So könnte unser Rechteck aussehen. Wir wissen, dass wir es mit 30 Metern Zaun abstecken sollen. Das entspricht also dem Umfang des Rechtecks. 

Was wir erreichen wollen, ist dabei ein möglichst großer Flächeninhalt. Wir wollen also eine Funktion finden, die den Flächeninhalt beschreibt und deren Maximum wir ermitteln können. Das ist unsere Hauptbedingung. Für diese Bedingung wollen wir jetzt eine Funktion aufstellen. 

2. Funktion für Hauptbedingung aufstellen

Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks lautet:

A=a⋅b$A=a\cdot b$

Wir müssen also Länge und Breite multiplizieren, um die Fläche zu ermitteln. Für die Lösung unserer Extremwertaufgabe schreiben wir als Funktion:

E=x⋅y$E=x\cdot y$

Das ist die gleiche Formel. Wir nennen nur die Buchstaben anders: E$E$, weil es sich um eine Extremwertanalyse handelt, und x$x$ und y$y$, weil uns diese Buchstaben beim Rechnen mit mathematischen Funktionen geläufiger sind.

Das ist unsere Funktion für die Hauptbedingung. Wie du siehst, enthält sie noch zwei Variablen. Wir versuchen jetzt, eine Variable zu eliminieren, damit wir leichter rechnen können. Das erreichen wir mit der Nebenbedingung. 

3. Funktion für Nebenbedingung formulieren

Aus der Fragestellung wissen wir, dass wir den Umfang des Rechtecks bereits kennen. Die Formel für den Umfang lautet:

U=2⋅(a+b)$U=2\cdot (a+b)$

Wir nutzen auch hier statt a$a$ und b$b$ für die Länge und die Breite der Variablen x$x$ und y$y$. Und das Ergebnis, 30 Meter, kennen wir auch schon. Daher gilt:

30=2⋅(x+y)$30=2\cdot (x+y)$

Das können wir jetzt nach einer Variablen auflösen, denn unser Ziel ist ja, dass die Zielfunktion nachher nur noch eine Variable hat.

30=2⋅(x+y)|÷2$30=2\cdot (x+y)|÷2$

15=x+y|−x$15=x+y|-x$

y=15−x$y=15-x$

4. Nebenbedingung in die Zielfunktion einsetzen

Unsere Funktion für die Hauptbedingung lautete ja:

E=x⋅y$E=x\cdot y$

Für y$y$ können wir jetzt einsetzen, was wir gerade errechnet haben: y=15−x$y=15-x$. Dann erhalten wir:

E=x⋅(15−x)$E=x\cdot (15-x)$

Wir lösen noch die Klammer auf:

E=−x2+15x$E=-x^2+15x$

Super! Unsere Funktion enthält jetzt nur noch eine Variable.

5. Sinnvollen Definitionsbereich festlegen

Wir wollen den Flächeninhalt eines Rechtecks maximieren. Daher sind negative Werte für die Länge, die wir berechnen wollen, schon einmal nicht sinnvoll. Länger als 15 Meter darf das Rechteck aber auch nicht werden, denn dann würden unsere 30 Meter für den Umfang nicht ausreichen. Also legen wir fest:

D=0<x<15$D=0<x<15$

Jetzt sind wir so weit, dass wir die Maxima unserer Extremwertaufgabe berechnen können. 

Du kannst ein Extremwertproblem lösen, indem du die Extremwerte der Funktion findest. Zuerst musst du die Extremfunktion aufstellen – das haben wir bereits getan – und dann machst du dir das Wissen aus der Kurvendiskussion zunutze. 

Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) einer Funktion finden wir, indem wir 

• die erste Ableitung der Funktion gleich null setzen,
  
• die Nullstellen berechnen
  
• und mithilfe der zweiten Ableitung überprüfen, ob es sich um Extrempunkte handelt.
  

Genau das machen wir jetzt anhand unseres Beispiels.

Das ist unsere bisherige Flächeninhaltsfunktion:

E=−x2+15x$E=-x^2+15x$

Und so gehen wir vor, um Maxima und Minima (Hochpunkte und Tiefpunkte) zu bestimmen: 

1. die Funktion ableiten
   
2. Nullstellen der Ableitungsfunktion berechnen
   
3. zweite Ableitung der Funktion bilden
   
4. die gefundenen Nullstellen einsetzen
   
5. das Ergebnis interpretieren
   

Schauen wir uns zusammen eine Schritt-für-Schritt-Anleitung an. 

1. Ableitungsfunktion bilden

E=−x2+15x$E=-x^2+15x$

Wir leiten ab:

E′=−2x+15$E^{\prime }=-2x+15$

2. Nullstellen berechnen

Wir setzen die erste Ableitung gleich null:

E′=−2x+15$E^{\prime }=-2x+15$

0=−2x+15|+2x$0=-2x+15|+2x$

2x=15|÷2$2x=15|÷2$

x=7,5$x=7,5$

Das ist unsere potenzielle Extremstelle. Jetzt müssen wir überprüfen, ob es sich um ein (globales oder lokales) Maximum oder ein (globales oder lokales) Minimum handelt – oder vielleicht keins von beidem. Dazu brauchen wir die zweite Ableitung.

3. Zweite Ableitung der Funktion bilden

Wir leiten ab: 

E=−x2+15x$E=-x^2+15x$

E′=−2x+15$E^{\prime }=-2x+15$

E′′=−2$E^{″}=-2$

4. Die gefundenen Nullstellen einsetzen

Wir würden an dieser Stelle jetzt die Nullstelle x=7,5$x=7,5$ der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen. Aber die zweite Ableitung enthält gar keine Variable mehr, sodass wir das Ergebnis (−2)$(-2)$ sofort ablesen können.

5. Das Ergebnis interpretieren

Wenn du die Nullstellen in die zweite Ableitung eingesetzt hast, kannst du nun die Extrema bestimmen:

• Dein Ergebnis ist positiv? Dann hast du einen Tiefpunkt gefunden.
  
• Dein Ergebnis ist negativ? Dann handelt es sich um einen Hochpunkt.
  
• Dein Ergebnis ist gleich null? Dann könnte es sich um einen Sattelpunkt handeln, einen Extrempunkt findest du hier aber nicht.
  

Für unser Beispiel zur Extremwertaufgabe heißt das: Unser Ergebnis ist mit −2$-2$ negativ, wir haben also einen Hochpunkt, ein Maximum, gefunden. Und das ist ja genau das, was wir in dieser Übung herausfinden wollten: den Längenwert für den maximalen Flächeninhalt. 

So sieht die Funktion übrigens als Graph aus:

Das bedeutet: Unser Optimierungsverfahren hat ergeben, dass unser Rechteck 7,5 Meter lang sein muss.

Nun brauchen wir natürlich noch die Breite (y)$(y)$. Dank der Nebenbedingung können wir das ganz einfach ausrechnen, denn wir haben jetzt x=7,5$x=7,5$ und wissen aus der Nebenbedingung, dass y=15−x$y=15-x$. Also können wir einsetzen:

y=15−7,5=7,5$y=15-7,5=7,5$

Jetzt wissen wir: Beide Seiten haben eine Länge von 7,5 Metern. Das optimierte Rechteck mit dem größten Flächeninhalt ist also tatsächlich ein Quadrat. 

Du kannst auch mehrdimensionale Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen nach der gleichen Vorgehensweise lösen. Solche Übungen zu Extremwertaufgaben gehören aber zum sehr fortgeschrittenen Stoff der Analysis. Meist brauchst du diese Inhalte nicht einmal für Extremwertaufgaben im Abitur. Wenn es für dich nicht relevant ist, kannst du diesen Teil daher überspringen. 

Funktionsoptimierungstechniken im mehrdimensionalen Raum

Der Unterschied bei mehrdimensionalen Extremwertaufgaben liegt darin, dass die Funktion von mehreren Variablen abhängig ist und du die Ableitungsfunktionen anders bildest. 

Hier bekommst du einen kleinen Überblick über das Vorgehen bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen:

1. Extremwertaufgabe verstehen: Zuerst verschaffst du dir wieder einen Überblick darüber, was du berechnen sollst. Welche mathematische Optimierung sollst du vornehmen? Soll minimiert oder maximiert werden? Welche Bedingungen gibt es? 
   
2. Zielfunktion aufstellen: Als Nächstes musst du auch hier die Extremfunktion aufstellen. Berücksichtige wie vorher Hauptbedingung und Nebenbedingungen und lege sinnvoll den Definitionsbereich fest. 
   
3. Erste Ableitung bilden: Die Funktionsableitung funktioniert hier anders. Die erste Ableitung entspricht nämlich dem transponierten Gradienten 🜄f$🜄f$. Für die Berechnung brauchst du die partielle Ableitung.
   
4. Nullstellen ermitteln: Jetzt berechnest du wie bereits gelernt die Nullstellen des Gradienten. Sie werden hier auch kritische Stellen genannt. 
   
5. Zweite Ableitung bilden: Die zweite Ableitung bildest du mit der Hesse-Matrix. Diese brauchst du, um das Krümmungsverhalten einer Funktion zu ermitteln. Du kannst mit ihr überprüfen, ob es mehrdimensionale Extremstellen gibt und ob es sich um Maxima oder Minima handelt. 
   
6. Kritische Stellen in die Hesse-Matrix einsetzen: Wie du bisher die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung eingesetzt hast, kannst du mehrdimensionale Extremstellen berechnen, indem du die Nullstellen des Gradienten in die Hesse-Matrix einsetzt. 
   
7. Matrix auf Definitheit überprüfen: Zum Schluss prüfst du, ob deine Matrix definit oder indefinit ist. Dazu musst du die Eigenwerte der Matrix betrachten. Es gilt: Ist die Matrix positiv definit, liegt ein Minimum vor. Ist sie negativ indefinit, hast du ein Maximum gefunden. 
   

So bestimmt man die Definitheit einer Matrix mithilfe der Eigenwertanalyse:

• Matrix hat nur positive Eigenwerte 🡪 positiv definit
  
• Matrix hat nur positive Eigenwerte und Eigenwerte gleich null 🡪 semipositiv definit
  
• Matrix hat nur negative Eigenwerte 🡪 negativ definit
  
• Matrix hat nur negative Eigenwerte und Eigenwerte gleich null 🡪 seminegativ definit
  
• Matrix hat positive und negative Eigenwerte 🡪 indefinit
  

Wenn du eine kritische Stelle überprüfen möchtest, sind für dich nur zwei Ergebnisse relevant: positiv definit (Minimum) und negativ definit (Maximum). 

• Extremwertaufgaben sind nützlich, um Prozesse zu optimieren. Wenn zum Beispiel etwas schneller ablaufen soll oder du weniger Material verbrauchen willst, kann sich die Extremwertanalyse lohnen.
  
• Du musst dazu zunächst die Extremfunktion aufstellen. Dabei musst du die Hauptbedingung  (Was soll optimiert werden?) und Nebenbedingungen (weitere Informationen) berücksichtigen. 
  
• Wenn du die Funktion aufgestellt hast, kannst du deine Extremwertaufgabe lösen, indem du die Extrempunkte des Graphen findest. 
  
• Dazu musst du die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen und mithilfe der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. 
  
• Hast du Extremwerte gefunden, musst du je nach Aufgabe deine Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um ein vollständiges Ergebnis zu erhalten. 
  
• Du kannst Extremwertprobleme auch im mehrdimensionalen Raum lösen. Dazu brauchst du fortgeschrittenes Wissen zur Analysis: Rechnen mit Matrizen, Ermittlung des Gradienten und Bestimmen der Hesse-Matrix.