Mathematik – Formel umstellen

Formeln zeigen den Zusammenhang zwischen Größen an. Sie enthalten Variablen, für die du später bei einer Rechnung oft auch Zahlen einsetzen kannst. Schau dir zum Beispiel die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks an:

ARechteck=a⋅b 

Hier kommen drei Platzhalter vor: A für den Flächeninhalt und a und b für die Längen der beiden Seiten eines Rechtecks.

In der Schule …

• musst du oft Formeln in Mathe umstellen, etwa den Satz des Pythagoras.
• kommen auch in Physik Formeln zum Umstellen vor, beispielsweise zum Ohmschen Gesetz.
• bleiben manche Formeln auch einfach gleich. In der Regel musst du zum Beispiel die p-q-Formel nicht umstellen, sondern einfach nur deine Werte einsetzen.
  

Wenn du nun aber den Flächeninhalt eines Rechtecks kennst, jedoch eine Seitenlänge berechnen möchtest, dann musst du die Formel umstellen. Schauen wir uns an, wie das geht.

Hier noch einmal die Formel zum Rechteck:

ARechteck=a⋅b 
 
Wenn du beide Seitenlängen a und b gegeben hast, kannst du also den Flächeninhalt ausrechnen. Vielleicht lautet deine Aufgabe aber auch so:

Berechne die Seitenlänge a in einem Rechteck mit dem Flächeninhalt A= 36cm2 und der Seitenlänge b= 9cm. 

Jetzt musst du also die Formel umstellen, um a auszurechnen. Dazu darfst du verschiedene Dinge tun:

• Du darfst addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren (Grundrechenarten anwenden).
• Du darfst entgegengesetzte Rechenoperationen anwenden, also zum Beispiel die Wurzel ziehen, um eine Potenz aufzulösen.
• Diese Vorgänge nennt man Äquivalenzumformungen.

Das machen wir jetzt mit unserer Formel von oben:

ARechteck=a⋅b

Unser Ziel ist es, a allein auf eine Seite zu bringen. Daher stört uns auf der rechten Seite b. Deshalb teilen wir durch b. Diese Rechenoperation schreiben wir hinter einen senkrechten Strich (|): 

 ARechteck=a⋅b|÷b

Denke daran, dass wir das auf beiden Seiten machen müssen. Dadurch passiert Folgendes:

 ARechteckb=(a⋅b)b

Auf der rechten Seite können wir jetzt b wegkürzen. Dann steht dort nur noch:

 ARechteckb=a

Und das ist genau das, was wir wollten! Für unsere Aufgabe können wir jetzt die bekannten Werte einsetzen und a direkt ausrechnen:

 a=ARechteckb=(36cm²)(9cm)/=4cm

Fertig! Jetzt ist es eine Frage des Übens. Deshalb sehen wir uns jetzt viele Beispiele zum Umstellen von Formeln an.

So berechnest du den Flächeninhalt eines Dreiecks:

ADreieck=12⋅g⋅h 

Dabei ist g die Grundseite und h die Höhe. Du kannst diese Formel umstellen, um zum Beispiel die Höhe zu berechnen. Dazu nehmen wir zuerst beide Seiten mal 2, um den Bruch wegzukürzen:

ADreieck=12⋅g⋅h|⋅2 

2⋅ADreieck=g⋅h 

Jetzt bringen wir die Höhe allein auf eine Seite:

2⋅ADreieck=g⋅h|÷g 

 h=(2⋅ADreieck)g 

Cool, oder?
Machen wir es in den nächsten Beispielen etwas komplizierter.

Der Satz des Pythagoras lautet:

a2+b2=c²

Wir wollen jetzt die Pythagoras-Formel umstellen, sodass wir b berechnen können. Hier siehst du Schritt für Schritt, wie wir dabei vorgehen. Hinter dem senkrechten Strich siehst du auch immer, welche Rechenoperation – auf beiden Seiten! – angewendet wurde.

Zuerst wollen wir b² allein auf eine Seite bringen.

a2+b2=c2|−a²
a2−a2+b2=c2−a²

Wir können links vereinfachen, sodass a² ganz wegfällt:

b2=c2−a²

Jetzt wollen wir aber nicht b² wissen, sondern nur b. Also müssen wir hier noch die Wurzel ziehen.

b2=c2−a2|√a

√b2=√c2−a2

Wir vereinfachen:

b=√c2−a2

Fertig!

Oft musst du auch in Physik Formeln umstellen. Deshalb haben wir eine Formel aus der Physik für das nächste Beispiel ausgewählt:

 ρ=mV

p ist die Dichte, m ist die Masse und V ist das Volumen. Wenn du nun zum Beispiel das Volumen berechnen möchtest, musst du es zunächst einmal aus dem Nenner des Bruchs herauslösen. Dazu nimmst du auf beiden Seiten mit V mal:

 ρ=mV|⋅V
 ρ⋅V=(m⋅V)V

Auf der rechten Seite kannst du V nun ganz wegkürzen. Somit hast du nur noch:

 ρ⋅V=m

Jetzt müssen wir V noch allein auf eine Seite bringen. Wir teilen durch p, damit es auf der linken Seite verschwindet:

 ρ⋅V=m|÷ρ

 V=mp

Geschafft!

Schauen wir uns noch eine Formel aus der Physik an: Wir wollen die Formel zum Ohmschen Gesetz (Spannung ist gleich Widerstand mal Stromstärke) umstellen.

U=R⋅I

So kannst du diese Formel aus der Physik nach R umstellen:

U=R⋅I|÷I

R=UI

Und nach I:

U=R⋅I|÷R

I=UR

Zurück zum Umstellen von Formeln in Mathematik: Die Kreisformeln musst du häufig umstellen. Machen wir ein Beispiel zur Kreisfläche:

 AKreis=π⋅r²

So kannst du stattdessen den Radius ausrechnen:

 AKreis=π⋅r2|÷π

 r2=AKreisπ

Jetzt müssen wir noch die Wurzel ziehen:

r2=AKreisπ|√A
r=√AKreisπ

Du kannst auch die Formeln für die sin-, cos- und tan-Funktionen umstellen. Das Vorgehen ist immer das gleiche, daher nehmen wir hier nur ein Beispiel.

Wir wollen die Formel für den Tangens umstellen:

tan(α)=GegenkatheteAnkathete 

Möchtest du zum Beispiel die Gegenkathete ausrechnen, gehst du vor, wie du es gerade zum Umstellen von Formeln mit Brüchen gelernt hast:

tan(α)=GegenkatheteAnkathete|⋅Ankathete 

tan(α)⋅Ankathete=Gegenkathete

Willst du die Ankathete herausfinden, musst du noch einen weiteren Rechenschritt machen:

tan(α)⋅Ankathete=Gegenkathete|÷tan(α)

Ankathete=Gegenkathetetan(α)

Dazu wendest du auf beiden Seiten die Umkehrfunktion der Tangensfunktion an. Sie heißt Arkustangens oder tan -1:

tan(α)=GegenkatheteAnkathete|tan−1

α=tan−1(GegenkatheteAnkathete)

Schauen wir uns an, wie du eine Formel zum Volumen umstellen kannst. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet:

V=π⋅r²⋅h

Oft musst du für Übungsaufgaben diese Formel nach h umstellen. Das ist die Höhe des Zylinders. So gehst du vor:

V=π⋅r2⋅h|÷π

Vπ=r2⋅h|÷r²

V(π⋅r²)=h

Ebenso kannst du natürlich die Formel auch nach r, dem Radius, umstellen:

V=π⋅r2⋅h|÷π

Vπ=r2⋅h|÷h

r2=Vπ⋅h|√V

r=√Vπ⋅h

Die Formel für lineare Gleichungen lautet:

y=m⋅x+t

Wir wollen diese Formel jetzt nach m umstellen, um die Steigung zu berechnen. So gehen wir vor:

y=m⋅x+t|−t

y−t=m⋅x|÷x

m=(y−t)x

So berechnest du die Oberfläche eines Würfels:

OWürfel=6⋅a³

Wenn du also die Oberfläche des Würfels kennst, kannst du die Seitenlänge a ausrechnen.

Dazu musst du die Formel nach a umstellen, und das geht so:

OWürfel=6⋅a3|÷6

Um eine Potenz (hier: a³ ) aufzulösen, musst du die Wurzel ziehen.

Da wir hier eine dritte Potenz haben, müssen wir auch die dritte Wurzel ziehen:

a3=0Würfel6|3√0

a=3√0Würfel6

Umgekehrt musst du eine Potenz anwenden, um eine Formel mit einer Wurzel umzustellen.

Als Beispiel haben wir uns die Formel für die Diagonale eines Rechtecks ausgesucht:

 d=√a2+b2

Und so stellen wir die Formel um, wenn wir zum Beispiel die Seitenlänge a herausfinden wollen:

d=√a2+b2|(⋅)2

d2=a2+b2|−b²

a2=d2−b²

Jetzt ziehen wir wieder die Wurzel, um a zu finden:

a=√d2−b2

• Formeln geben das Verhältnis zwischen unterschiedlichen Größen an. Sie enthalten Variablen, die du beim Rechnen durch bekannte Werte (Zahlen) ersetzen kannst.
• In Mathematik oder Physik musst du in Aufgaben oft Formeln umstellen. Man sagt auch „eine Formel nach einer Variablen auflösen“.
• Es gibt einige Regeln zum Umstellen von Formeln. Die wichtigste lautet: Wenn du eine Rechenoperation auf einer Seite der Gleichung durchführst, musst du sie auch auf der anderen    Seite durchführen.
• Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, um deine gewünschte Variable allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen.
• Außerdem kannst du entgegengesetzte Rechenoperationen anwenden, zum Beispiel potenzieren, um eine Wurzel aufzulösen.