Mathematik – Gleichungen

Gleichungen erkennst du am Gleichheitszeichen:

=$=$

Normalerweise ist eine Gleichung so aufgebaut, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen Terme stehen. Zum Beispiel so:

14+5=19$14+5=19$

Terme können einfach Zahlen sein oder sie können aus Zahlen und Variablen bestehen. Ein Beispiel für einen Term mit einer Variablen ist 2x$2x$. Über Variablen erzählen wir dir gleich noch mehr. Für den Moment musst du dir nur merken, dass Terme und Gleichungen zusammengehören. 

Weil Gleichungen ein Gleichheitszeichen haben, bedeutet das auch: Die Terme auf der linken Seite sollen das Gleiche ergeben wie die Terme auf der rechten Seite. Nur dann ist die Aussage wahr (richtig). 

Wenn die Aussage unwahr (falsch) ist, musst du stattdessen das Ungleichheitszeichen schreiben:

14+5≠21$14+5\ne 21$

In Gleichungen können alle Grundrechenarten vorkommen. Außerdem kannst du Wurzeln ziehen und weitere Rechenoperationen anwenden. 

Gleichungen, die nur aus Zahlen bestehen, sind meist sehr einfache Gleichungen. Hier sind ein paar Aufgaben mit Lösungen zu solchen Gleichungen. 

Beispiel 1

25−3=?$25-3=?$

Bestimmt kannst du diese Gleichung einfach lösen. Du rechnest 25−3$25-3$ und schreibst das Ergebnis auf:

25−3=22$25-3=22$

Fertig!

Beispiel 2

Manchmal ist die Lösung von Gleichungen auch etwas komplizierter, weil du sehr viel rechnen musst:

2+3⋅(14−7)+15:5=?$2+3\cdot (14-7)+15:5=?$

Bei solchen Gleichungen mit Klammern ist es wichtig, dass du die richtige Reihenfolge einhältst:

1. Löse beim Berechnen von Gleichungen immer zuerst die Klammern auf.
2. Rechne dann Punktrechnung (mal und geteilt) vor Strichrechnung (plus und minus).
3. Und zum Schluss rechnest du alles von links nach rechts aus.

Wir rechnen zuerst die Klammer aus:

2+3⋅(14−7)+15:5=?$2+3\cdot (14-7)+15:5=?$

2+3⋅7+15:5=?$2+3\cdot 7+15:5=?$

Jetzt folgt Punkt- vor Strichrechnung:

2+3⋅7+15:5=?$2+3\cdot 7+15:5=?$

2+21+3=?$2+21+3=?$

Und jetzt können wir endlich ausrechnen:

2+21+3=26$2+21+3=26$

Fertig! 

Es gibt auch noch kompliziertere Gleichungen – zum Beispiel Gleichungen mit Brüchen oder Wurzeln. Wenn du diese Rechenarten beherrschst, kannst du aber in der Regel auch schon Gleichungen nach x auflösen. Deshalb schauen wir uns erst einmal an, welche Arten von Gleichungen mit Variablen es gibt. 

Hier ein kleiner Überblick über wichtige Arten von Gleichungen.

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen kommen in Mathe häufig vor. Du erkennst sie daran, dass sie eine Variable (zum Beispiel x$x$) enthalten. Allerdings darf diese Variable keinen höheren Exponenten haben – zum Beispiel x2$x^2$ oder x3$x^3$, denn sonst handelt es sich um eine andere Art von Gleichungen.

Lineare Gleichungen beschreiben lineare Funktionen. Hier ein Beispiel für eine lineare Gleichung:

2x+3=0$2x+3=0$

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen erkennst du daran, dass sie eine Variable mit der Zahl 2 im Exponenten enthalten: x2$x^2$. Das ist die höchste erlaubte Potenz bei quadratischen Gleichungen. Auch quadratische Gleichungen kommen in Mathematik häufig vor. Hier ein Beispiel:

x2+3x−4=0$x^2+3x-4=0$

Quadratische Gleichungen beschreiben quadratische Funktionen.

Potenzgleichungen

Lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen sind Beispiele für Gleichungen mit Potenzen. Potenzgleichungen haben Zahlen im Exponenten – erlaubt sind außer bei linearen und quadratischen Gleichungen sogar sehr hohe Potenzen, zum Beispiel x5$x^5$ oder x14$x^{14}$.

So könnte eine Potenzgleichung zum Beispiel aussehen:

x7+x3−2=0$x^7+x^3-2=0$

Potenzgleichungen beschreiben Potenzfunktionen.

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen erkennst du daran, dass die Variable diesmal im Exponenten steht, zum Beispiel so: 2x$2^x$. Du brauchst diese Gleichungen für Exponentialfunktionen.

So könnte eine Exponentialfunktion aussehen:

3⋅4x +2=0$3\cdot 4^x+2=0$

Bruchgleichungen

Du kannst problemlos Gleichungen lösen, die Brüche enthalten, solange deine Variable im Zähler des Bruchs vorkommt. Zum Beispiel so:

x3−2=0$\frac{x}{3}-2=0$

Wenn du aber Gleichungen mit Brüchen lösen sollst, bei denen die Variable im Nenner steht, dann musst du dabei etwas anders vorgehen. Denn dann handelt es sich nicht um eine einfache lineare (oder andere) Gleichung, sondern um eine spezielle Bruchgleichung. Hier gibt es einiges beim Festlegen des Definitionsbereichs zu beachten. Denn: Du musst alle Zahlen ausschließen, bei denen der Nenner 0 wird – durch null dürfen wir ja nicht teilen!

Beispiel für eine Bruchgleichung:

35x−1=2$\frac{3}{5x-1}=2$

Variablen sind Platzhalter, für die du bestimmte Zahlen einsetzen kannst. Normalerweise sind Variablen Buchstaben. Sehr häufig kommt in mathematischen Gleichungen die Variable x$x$ vor. Welche Zahlen du für x$x$ einsetzen darfst, das gibt dir der Definitionsbereich vor – schau ihn dir deshalb immer genau an. 

Wie löst man Gleichungen mit Variablen?

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Gleichungen mit x$x$ zu lösen. Du kannst Lösungen ausprobieren, die Gleichungen umstellen oder bestimmte Lösungsformeln nutzen. Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele mit Gleichungen an. 

Beispiel: Gleichungen lösen durch Ausprobieren

Schau dir diese Gleichung an:

x+2=5$x+2=5$

Welche Zahl kannst du für x$x$ einsetzen, damit das Ergebnis stimmt? Wir können verschiedene Zahlen ausprobieren: 

x=1$x=1$

Wir setzen ein:

1+2≠5$1+2\ne 5$

Das stimmt also nicht! Wir versuchen es weiter:

x=2$x=2$

Wir setzen ein:

2+2≠5$2+2\ne 5$

Wieder nichts. Wir machen weiter:

x=3$x=3$

3+2=5$3+2=5$

Das ist richtig! Allerdings ist das Lösen von Gleichungen durch Ausprobieren sehr mühsam. Deshalb gibt es noch andere Verfahren. 

Beispiel: Lineare Gleichungen lösen durch Äquivalenzumformungen

Im Wort „Äquivalenzumformungen“ steckt das Wort „äquivalent“. Es bedeutet „gleich“. Du formst also die Gleichungen so um, dass du auf beiden Seiten immer das Gleiche tust. 

So kannst du Aufgaben mit Gleichungen lösen, indem du Gleichungen umstellst:

3x−3=6$3x-3=6$

Wir bringen jetzt zuerst alle Terme mit Variablen auf eine Seite der Gleichung und alle Terme ohne Variablen auf die andere. Um das zu erreichen, addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 3. Dass wir das machen, schreiben wir hinter einen geraden Strich – so erkennen wir, dass diese Zahl nicht Teil der Gleichung ist. 

3x−3=6|+3$3x-3=6|+3$

Jetzt sieht die Gleichung so aus:

3x−3+3=6+3$3x-3+3=6+3$

Wir vereinfachen:

3x=9$3x=9$

Um die Gleichung nach x$x$ aufzulösen, teilen wir als Nächstes durch 3.

3x=9| :3$3x=9|:3$

3x:3= 9:3$3x:3=9:3$

x=3$x=3$

Jetzt haben wir das Ergebnis. 

Gleichungen mit Probe überprüfen

Hast du in Mathematik Gleichungen gelöst, ist es sinnvoll, die Probe zu machen. Das geht ganz einfach: Du setzt dein Ergebnis für die Variable in die ursprüngliche Gleichung ein und rechnest aus, ob alles richtig aufgeht.

Beispiel:

3x−3=6$3x-3=6$

Wir haben ausgerechnet, dass x=3$x=3$ ist. Das setzen wir jetzt ein: 

3⋅3−3=6$3\cdot 3-3=6$

Wir vereinfachen:

9−3=6$9-3=6$

6=6$6=6$

Das Ergebnis der Gleichung stimmt. So erkennst du an der Probe von Gleichungen, dass du richtig gerechnet hast. 

Du brauchst Äquivalenzumformungen auch zum Lösen von quadratischen Gleichungen. Es gibt aber für quadratische Gleichungen auch Lösungsformeln, die dir an bestimmten Stellen weiterhelfen. 

Mehr dazu erfährst du auf unseren Seiten zur p-q-Formel und zur Mitternachtsformel. 

In manchen Aufgaben sind mehrere Gleichungen gegeben und sie enthalten mehrere Variablen. Man spricht dann von einem Gleichungssystem. So sieht zum Beispiel ein System aus Gleichungen mit 2 Unbekannten aus:

I.$I.$ 3x−2=4$3x-2=4$

II.$II.$ 2x+8=10$2x+8=10$ 

Deine Aufgabe ist es dann, Werte für x$x$ zu finden, mit denen beide Gleichungen richtig aufgehen. 

Du wirst Gleichungen in Mathematik brauchen – eher seltener im Alltag. Trotzdem könntest du auch bei Alltagsaktivitäten Gleichungen aufstellen. Wenn du zum Beispiel einkaufen gehst und Schokohasen kaufen möchtest, dann willst du vielleicht ausrechnen, wie viele du dir leisten kannst.

Beispiel:

Ein Schokohase kostet 2,50 € und du hast 17,50 € bei dir. Du könntest überschlagen, wie viele Hasen du kaufen kannst. Oder du könntest folgende Gleichung aufstellen:

2,5⋅x=17,5$2,5\cdot x=17,5$

Dabei ist x$x$ die Anzahl der Schokohasen, die du kaufen kannst. Du kannst nun die Gleichung nach x$x$ umstellen:

2,5⋅x=17,5| :2,5$2,5\cdot x=17,5|:2,5$

x=17,5:2,5$x=17,5:2,5$

x=7$x=7$

Wahrscheinlich wirst du dich eher in Mathematik mit Gleichungen beschäftigen, als sie beim Einkaufen zu nutzen. Für viele Berufe brauchst du aber Gleichungen – zum Beispiel, wenn du Ingenieur:in oder Naturwissenschaftler:in werden möchtest. 

• Gleichungen erkennst du am Gleichheitszeichen. Links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen mathematische Ausdrücke (Terme), die gleich sein sollen. 
  
• Oft kommen in Gleichungen Variablen vor. Dann musst du die Gleichungen mit Äquivalenzumformungen so umstellen, dass du die Variable ausrechnen kannst. Sie verrät dir, für welche Zahlen die Gleichung richtig ist. 
  
• Tipp: Wenn du Gleichungen mit Klammern lösen sollst, rechne immer die Klammer zuerst aus. Danach folgt Punkt- vor Strichrechnung und zum Schluss rechnest du von links nach rechts aus. 
  
• Es gibt viele verschiedene Arten von Gleichungen, zum Beispiel lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, Potenz- und Exponentialgleichungen. 
  
• Im Alltag brauchst du Gleichungen eher selten. Sie sind aber für die Arbeit in vielen Berufen wichtig.