Abzählvarianten - Urnenmodell - online lernen
Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Abzählvarianten
Urnenmodelle
Ein erster Einblick
Oft ist es in der Stochastik nötig, die Kardinalität (Mächtigkeit) von Mengen zu betrachten, oft als Anzahl von Möglichkeiten.
Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment. Man stellt sich eine Urne vor, in der n Kugeln liegen. Jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden und alle Kugeln sind voneinander unterscheidbar. Will man nun eine Anzahl von k Kugeln ziehen (k≤n), gibt es vier Möglichkeiten das Experiment durchzuführen:
- Was passiert nach dem Ziehen einer Kugel?
- Sie wird zurückgelegt
- Sie wird nicht zurückgelegt
- Wie betrachten wir die gezogenen Kugeln (k≥2):
- Die Ziehungsreihenfolge wird berücksichtigt: (a,b)≠(b,a)
- Die Ziehungsreihenfolge spielt keine Rolle: {a,b} = {b,a}
Die Mengen, welche alle möglichen Ziehungsergebnisse enthalten, nennen wir MI,MII,MIII und MIV mit folgendem Schema:
mit Zurücklegen | ohne Zurücklegen | |
mit Beachten der Reihenfolge | MI | MII |
ohne Beachten der Reihenfolge | MIV | MIII |
Jedes dieser möglichen Modelle hat ein eigenes Wiki mit entsprechendem Namen.
Urnenmodell
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 2280
Mehrstufige Zufallsexperimente
Urnenmodell
Schwierigkeitsgrad 1/Serie 01
Aufgabe 1
In einer Urne befinden sich 10 Kugeln. Davon sind 4 Kugeln rot und 6 Kugeln weiß.
Nacheinander sollen 2 Kugeln gezogen werden, dabei soll die gezogene Kugel zurückgelegt werden.
Erstelle ein geeignetes Baumdiagram.
a) | Mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehst du nacheinander 2 rote Kugeln? |
b) | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 weiße Kugeln nacheinander zu ziehen? |
c) | Berechne die Wahrscheinlichkeit, gleichfarbige zu ziehen. |
d) | Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, unterschiedliche Kugeln zu ziehen? |
Aufgabe 2
2 rote und 2 blaue Papierschnipsel befinden sich in einem Beutel. Das Spiel ist so aufgebaut, dass, wenn man wenigstens einen blauen Papierschnipsel erwischt, man gewinnt.
Dabei soll nacheinander zwei Mal gezogen werden und der gezogene Papierschnipsel soll nicht zurückgelegt werden.
a) | Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert man? |
b) | Wie groß ist das Wahrscheinlichkeit mindestens einen blauen Papierschnipsel zu ziehen? |
c) | Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird zuerst einen roten, dann einen blauen Papierschnipsel gezogen? |
Aufgabe 3
Peter und Paul besuchen einen Jahrmarkt und entdecken ein tolles Spiel. In dem Spiel geht es darum, aus einer Urne mit 15 Kugeln in den ersten drei Ziehungen die Kugeln mit der Aufschrift "Gewinn" zu ziehen. Peter meint, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit weniger als 20%, aber mehr als 15% betragen wird, wenn die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird. In der Urne sind nur 3 Kugeln mit der Aufschrift "Gewinn" enthalten.
a) | Hat Peter recht? |
b) | Wenn Ja, bei welchem Spielprinzip hat Peter Unrecht? Wenn Nein, wann hat er Recht? |
Kombinatorik
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 2283
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 2277
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 2281
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 2284
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 2278
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 2282
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 2285
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 2279
