Mathematik – Brüche addieren

Du sollst in Mathe Brüche addieren? Super, das könnte Spaß machen! Wenn du das Prinzip einmal verstanden hast, ist es gar nicht mehr schwer. Hier lernst du, verschiedene Brüche zu addieren – immer mit anschaulichen Beispielen.

Wenn du in Mathe Brüche addieren sollst, musst du zuerst zwischen zwei Arten von Brüchen unterscheiden:

• gleichnamige Brüche
• ungleichnamige Brüche

Gleichnamige Brüche addieren

Gleichnamige Brüche heißen so, weil sie denselben Nenner (immer unten) haben. Der Zähler (immer oben) kann aber unterschiedlich sein. Manchmal werden sie auch „gleiche Brüche“ genannt.

Hier siehst du ein Beispiel zum Addieren von gleichnamigen Brüchen:

Es ist einfach, gleichnamige Brüche zu addieren. Denn du musst nur die Zähler (alle Zahlen oben) zusammenrechnen (addieren). Der Nenner (die Zahl unten) bleibt einfach gleich:

Ungleichnamige Brüche addieren

Etwas aufwendiger ist es, ungleiche Brüche zu addieren. Wenn du nämlich Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren sollst, darfst du nicht einfach die Zähler zusammenrechnen.

Stattdessen musst du für beide Brüche einen gemeinsamen Nenner finden.

Hier ein Beispiel zum Addieren von Brüchen unterschiedlicher Nenner:

Eine einfache Art, einen gemeinsamen Nenner zu finden, ist, die beiden Nenner miteinander malzunehmen. Du kannst also schreiben:

Du nimmst also den Nenner des ersten Bruchs (5) mal 15 und den Nenner des zweiten Bruchs (15) mal 5. Dadurch bringst du beide Nenner auf 75.

Allerdings müssen wir jetzt noch die Zähler anpassen. Da du den Nenner im ersten Bruch mit 15 malgenommen hast, müssen wir das auch mit dem Zähler tun. Und im zweiten Bruch haben wir den Nenner mit 5 malgenommen. Das wiederholen wir jetzt mit dem Zähler. Jetzt können wir die Rechnung vervollständigen:

Da wir jetzt zwei gleichnamige Brüche haben – der Nenner ist gleich –, dürfen wir addieren, wie du es oben schon gelernt hast:

Das Ergebnis können wir jetzt noch kürzen (hier mit der Zahl 15):

Fertig!

Was wir gerade getan haben, um Brüche mit verschiedenen Nennern zu addieren, ist nicht immer das einfachste Vorgehen. Schauen wir uns noch mal das Beispiel von oben an:

Vielleicht siehst du, dass es hier noch einen viel einfacheren gemeinsamen Nenner gegeben hätte, nämlich 15. Dazu musst du nur den Nenner (und dann auch den Zähler) des ersten Bruchs mal 3 nehmen. Der zweite Bruch kann sogar vollständig so bleiben.

So sieht die Rechnung dann aus:

Jetzt können wir die Nenner addieren:

Das Ergebnis können wir jetzt noch kürzen (hier mit der Zahl 3):

So kommen wir viel schneller zum gleichen Ergebnis.

Da du sehr häufig Brüche ohne gemeinsamen Nenner addieren wirst, ist es sinnvoll, wenn du dir ein paar Strategien anschaust, um Brüche zu erweitern oder auch zu kürzen. Wirf dazu einen Blick auf unsere Seite zu den Regeln der Bruchrechnung. Dort erklären wir dir beides genauer.

Bisher hast du gelernt, wie du zwei Brüche addieren kannst. Was machst du aber, wenn du drei Brüche addieren sollst?

Du gehst genauso vor und unterscheidest wieder zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen.

Drei gleichnamige Brüche addieren

Die Regeln zum Addieren von Brüchen bleiben gleich: Solange der Nenner gleich bleibt, kannst du einfach alle Zähler addieren.

Beispiel:

Diesen Bruch können wir mit der Zahl 3 kürzen:

Schon fertig!

Drei Brüche mit verschiedenen Nennern addieren

Auch hier bleibt die Regel zum Addieren von Brüchen gleich. Eventuell wird es etwas schwieriger, einen gemeinsamen Nenner zu finden, da du jetzt schon auf drei Zahlen achten musst.

Beispiel:

Hier erkennst du vielleicht, dass es ziemlich einfach ist, den ersten und den zweiten Bruch auf den Nenner 12 des dritten Bruchs zu bringen. Dazu musst du im ersten Bruch Nenner und Zähler mal 4 nehmen und im zweiten Bruch Nenner und Zähler mal 2. Der dritte Bruch kann unverändert bleiben.

Jetzt addieren wir die umgewandelten Brüche:

Diesen Bruch können wir mit der Zahl 6 kürzen:

Gar nicht so schwer, oder?

Um Brüche mit gleichem Zähler zu addieren, musst du keine neuen Regeln zu Bruchrechnung lernen. Es gilt weiterhin: Bei gleichnamigen Brüchen kannst du die Zähler einfach direkt addieren, auch wenn sie gleich sind:

Ungleichnamige Brüche musst du wieder auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Der gleiche Zähler ändert daran aber nichts.

Nach den gleichen Regeln kannst du auch negative Brüche addieren oder Brüche subtrahieren. Dabei musst du nur genau auf die Vorzeichen achten.

Beispiel:

In manchen Aufgaben sollst du nicht nur Brüche miteinander addieren, sondern Brüche und Zahlen. Zum Glück ist das kein Problem, denn du kannst jede ganze Zahl in einen Bruch umwandeln, indem du einfach die Zahl in den Zähler und eine 1 in den Nenner schreibst.

Beispiele:

Natürlich musst du in Aufgaben mit ungleichnamigen Brüchen dann wieder einen gleichen Nenner finden.

Beispiel:

Ein gemischter Bruch besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Zum Beispiel so:

Damit du gemischte Brüche addieren kannst, musst du zuerst die ganze Zahl in einen Bruch umwandeln. Oben unter dem Punkt „Brüche mit ganzen Zahlen addieren“ hast du bereits gelernt, wie das geht:

Jetzt musst du noch den Bruch und den Rest des gemischten Bruchs, auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Du gehst vor wie beim Addieren von Brüchen:

Jetzt hast du deinen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umgewandelt und kannst damit genauso rechnen, wie du es bisher gelernt hast. Es gibt keine anderen Regeln für das Addieren unechter Brüche – du machst alles wie bisher. Zum Beispiel so:

Der einzige Unterschied besteht darin, dass du einen unechten Bruch (wo der Zähler größer ist als der Nenner) am Ende wieder in einen gemischten Bruch umwandeln solltest:

Tipp: Wenn du nicht weißt, wie das geht, schau auf unsere Seite zum Umwandeln von gemischten Brüchen.

Du kannst bereits Brüche mit Zahlen addieren. Aber wie sieht es mit Dezimalzahlen addieren? Das ist auch nicht weiter schwer, da du jede Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln kannst. Zum Beispiel so:

Tipp: Wenn du damit Schwierigkeiten hast, schau auf unsere Seite zum Thema Dezimalzahlen in Brüche umwandeln.

Grundsätzlich kannst du auch Brüche addieren, die Variablen enthalten. Du musst aber darauf achten, dass du nur Brüche mit gleichen Variablen zu einem Bruch addieren kannst.

Beispiel:

Da beide Brüche dieselbe Variable haben, darfst du sie nach den bekannten Regeln zusammenrechnen:

Bei Brüchen mit unterschiedlichen Variablen geht das aber nicht:

Das ist falsch. Du kannst diese zwei Brüche nicht addieren und musst sie einfach so stehenlassen.

Hier findest du einige Übungsaufgaben zum Addieren von Brüchen. Probiere aus, was du gelernt hast!

1. 35+25$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}$

2. 13+14$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$

3. 25+3$\frac{2}{5}+3$

4. 213+14$2\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$

Wenn du eine Übung zum Addieren von Brüchen fertig hast, kannst du unten die Lösung nachschauen.

Lösungen zu den Aufgaben zum Addieren von Brüchen

1. Da die Brüche denselben Nenner haben, kannst du sie direkt addieren:

35+25=3+25=55=1$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1$

2. Hier musst du zuerst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

13=412und14=312$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}\text{und}\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$

412+312=4+312=712$\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}$

3. Hier wandeln wir die ganze Zahl in einen Bruch um und suchen dann den gemeinsamen Nenner:

25+3=25+155=2+155=175=325$\frac{2}{5}+3=\frac{2}{5}+\frac{15}{5}=\frac{2+15}{5}=\frac{17}{5}=3\frac{2}{5}$

4. Hier müssen wir den gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln. Dann finden wir den gemeinsamen Nenner und können die Brüche addieren:

213=2⋅3+13=6+13=73$2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot 3+1}{3}=\frac{6+1}{3}=\frac{7}{3}$

Jetzt können wir mit dem zweiten Bruch addieren. Dazu müssen wir erst wieder einen gemeinsamen Nenner finden:

73=7⋅43⋅4=2812$\frac{7}{3}=\frac{7\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{28}{12}$

14=1⋅34⋅3=312$\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{3}{12}$

2812+312=28+312=3112=2712$\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{28+3}{12}=\frac{31}{12}=2\frac{7}{12}$

Fertig! Denk dran: Brüche zu addieren, musst du üben. Mit der Zeit wird es dir immer leichter gelingen!

• Gleichnamige Brüche addieren: Bei Brüchen mit demselben Nenner addierst du einfach die Zähler, der Nenner bleibt gleich.
• Ungleichnamige Brüche addieren: Finde einen gemeinsamen Nenner, erweitere die Brüche entsprechend und addiere dann die Zähler.
• Wenn du drei oder mehr Brüche addieren sollst, gelten dieselben Regeln. Du musst eventuell etwas länger suchen, um einen gemeinsamen Nenner zu finden.
• Du kannst Brüche auch mit ganzen Zahlen, mit gemischten Brüchen oder mit Dezimalzahlen addieren. Dazu wandelst du die Zahlen, gemischten Brüche oder Dezimalzahlen in (unechte) Brüche um und gehst dann genauso vor, wie du es gelernt hast.
• Nach den gleichen Regeln kannst du auch negative Brüche addieren. Du musst nur gut auf die Vorzeichen achten.