Mathematik – Dreisatz einfach erklärt

Bei Aufgaben zum Dreisatz hast du in der Regel drei Größen gegeben. Zwei davon stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander. Die dritte Größe kannst du mit den Informationen aus der Aufgabe dann ebenfalls in ein Verhältnis setzen und so das gesuchte Ergebnis finden.

Klingt kompliziert? Keine Sorge, mit einem Beispiel wird’s gleich ganz einfach. Vorab aber noch kurz etwas zu den Anwendungen des Dreisatzes:

• Du kannst mit dem Dreisatz zum Beispiel Preise beim Einkaufen berechnen.
• Beim Backen kannst du mit dem Dreisatz Zutaten umrechnen.
• In der Prozentrechnung ist der Dreisatz ebenfalls wichtig. 
  

Der Dreisatz heißt so, weil du Rechnungen mit dem Dreisatz in drei Schritten durchführst. Das zeigen wir dir jetzt an einem Beispiel zum Dreisatz.

Tipp: Manche Leute schreiben auch „3-Satz“. Üblicher ist aber die Schreibweise „Dreisatz“. Deine Lehrer:innen werden dir sicher vorgeben, ob du „3-Satz“ oder „Dreisatz“ schreiben sollst.

Hier eine typische Aufgabe zum Dreisatz:

Eine Lehrerin korrigiert 10 Klassenarbeiten in 7 Stunden. In ihrer Klasse sind aber 25 Schüler:innen. Wie lange braucht sie, um 25 Klassenarbeiten zu berichtigen? 

Schauen wir uns an, wie du das mit dem Dreisatz rechnen kannst.

Zuerst schreiben wir alle Informationen auf, die wir aus der Aufgabe herausholen können:

• Für 10 Klassenarbeiten braucht die Lehrerin 7 Stunden.
• Wir sollen ausrechnen, wie lange sie für 25 Klassenarbeiten braucht.

Jetzt gehen wir die drei Schritte des Dreisatzes durch.

1. Zwei Größen zueinander ins Verhältnis setzen
Zuerst setzen wir zwei Größen zueinander ins Verhältnis. Das geht hier nur mit den 10 Klassenarbeiten und den 7 Stunden. Die 25 Klassenarbeiten können wir noch nicht ins Verhältnis setzen, da wir nicht wissen, wie lange die Korrektur dauern würde. Wir schreiben:

10 Klassenarbeiten∧=7 Stunden

25 Klassenarbeiten∧= ? Stunden

Das Zeichen ∧= heißt „entspricht“. Du kannst es nutzen, um ein Verhältnis zu beschreiben, was du bei Übungen mit dem Dreisatz häufig tun wirst.

2. Menge für eine Einheit ausrechnen
Wir können jetzt ausrechnen, wie lange die Lehrerin für eine Klassenarbeit braucht (das ist hier „eine Einheit“). Dazu müssen wir die 7 Stunden durch 10 teilen (denn das ist ja die Zeit für 10 Klassenarbeiten und wir brauchen die Zeit für eine einzelne). 

So können wir das schreiben: 

10 Klassenarbeiten∧=7 Stunden

1 Klassenarbeit∧=7 Stunden÷10=0.7 Stunden

Jetzt kennen wir die Menge an Zeit (0,7 Stunden) für eine Einheit (1 Klassenarbeit).

3. Verhältnis für die gesuchte Anzahl aufstellen und ausrechnen
Wenn eine Klassenarbeit 0,7 Stunden dauert, wie lange dauern dann 25 Klassenarbeiten? So rechnen wir mit dem Dreisatz weiter:

1 Klassenarbeit∧=0.7 Stunden

25 Klassenarbeiten∧=0.7⋅25 Stunden=17.5 Stunden

Und schon hast du die Aufgabe gelöst!

Hier noch einmal das Vorgehen für Rechnungen mit dem Dreisatz:

1. Setze zwei Größen zueinander ins Verhältnis.
2. Rechne die Menge für eine Einheit aus.
3. Stelle das Verhältnis für die gesuchte Anzahl auf und rechne aus.

Das kannst du dir als eine Art Formel für den Dreisatz merken. Wenn du später den Dreisatz in der Prozentrechnung kennenlernst, gibt es auch dort spezielle Formeln zum Dreisatz. Besser ist es aber, wenn du die Erklärung zum Dreisatz einmal richtig verstehst – denn dann kannst du ihn jederzeit auch ohne Formeln anwenden. 

Im Beispiel oben hast du einen proportionalen Dreisatz gesehen. Es gibt auch noch den antiproportionalen Dreisatz. Das klingt kompliziert, ist aber gar nicht schwierig. Hier erklären wir dir die Unterschiede.

Übrigens: Der proportionale Dreisatz heißt auch „gerader Dreisatz“. Das Gegenteil ist der „ungerade Dreisatz“. Ob du gerader und ungerader Dreisatz oder proportionaler und antiproportionaler Dreisatz sagen willst, bleibt dir überlassen.

Der Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen
Den geraden Dreisatz hast du schon kennengelernt. Du verwendest ihn bei „proportionalen Zuordnungen“. Das bedeutet: Wenn eine Größe größer oder mehr wird, gilt das auch für die andere Größe. 

In unserem Beispiel oben: Wenn die Lehrerin mehr Klassenarbeiten (eine Größe) hat, dann braucht sie dafür auch mehr Zeit (andere Größe) zum Korrigieren.

Schauen wir uns dazu noch ein Beispiel an.

Beispiel: Gerader Dreisatz einfach erklärt
Aufgabe zum Dreisatz: Im Laden entdeckst du einen Korb mit Schokolade. Er enthält 700 Gramm und kostet 13 Euro. Daneben gibt es noch ein kleineres Körbchen. Es enthält 230 Gramm Schokolade. Wie viel solltest du dafür höchstens zahlen, damit du möglichst viel Schokolade für dein Geld bekommst? 

Zuerst filtern wir wieder alle Informationen aus der Aufgabe heraus:

• 700 Gramm Schokolade kosten 13 €.
• Wie viel sollten 230 Gramm höchstens kosten?

Jetzt gehen wir wieder unsere drei Schritte durch.

1. Zwei Größen zueinander ins Verhältnis setzen
Das geht hier nur mit 700 Gramm und 13 €, denn den Preis für 230 Gramm kennen wir ja noch nicht.

700 Gramm∧=13 €

230 Gramm∧=? €

2. Menge für eine Einheit ausrechnen
Jetzt rechnen wir die Menge für eine Einheit aus. Wir könnten jetzt ausrechnen, wie viel 1 Gramm Schokolade kostet. Praktischer sind hier aber 100 Gramm. Wenn es für dich besser verständlich ist, kannst du aber auch mit 1 Gramm rechnen.

Um von 700 Gramm auf 100 Gramm zu kommen, müssen wir durch 7 teilen (wenn du 1 Gramm ausrechnest, würdest du durch 700 teilen):

700 Gramm∧=13 €

100 Gramm∧=13 €÷7≈1.86 €

3. Verhältnis für die gesuchte Anzahl aufstellen und ausrechnen
Wir wissen jetzt, wie viel 100 Gramm Schokolade kosten. Wie viel würden dann 230 Gramm kosten? Dafür müssen wir mit 2,3 multiplizieren (oder mit 230, falls du den Preis für 1 Gramm ausgerechnet hast):

100 Gramm∧=≈1.86 €

230 Gramm∧=≈1.86 €⋅2.3≈4.28 €

Das Körbchen mit 230 Gramm sollte also maximal 4,28 € kosten, damit die Schokolade nicht teurer wird als im großen Korb. Oft kosten kleinere Mengen aber mehr – so kannst du ausrechnen, ob der Kauf sich für dich lohnt.

Tipp: Nach demselben Prinzip kannst du Zutaten beim Backen umrechnen. Beispiel: Wenn du für 4 Personen 500 Gramm Mehl benutzen sollst, wie viel brauchst du dann für 3 Personen?

Tabelle zum Dreisatz aufstellen
Du kannst auch eine Tabelle aufstellen, um den Dreisatz übersichtlich auszurechnen. So würde sie für unser Beispiel aussehen:

Das war der gerade Dreisatz erklärt. Jetzt schauen wir uns den ungeraden Dreisatz in Mathe an.

Der Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen
Der antiproportionale Dreisatz heißt auch „ungerader Dreisatz“ oder „umgekehrter Dreisatz“. Der Name „umgekehrter Dreisatz“ erklärt sich daraus, dass die Größen sich genau andersrum verhalten wie beim geraden Dreisatz:

• Eine Größe wird größer oder mehr.
• Die andere Größe wird kleiner oder weniger.

Das ist zum Beispiel so, wenn mehrere Personen an einem Projekt arbeiten. Je mehr Personen (eine Größe) du hast, desto weniger Zeit (andere Größe) dauert es, bis das Projekt fertig ist – zumindest, wenn alle sich anstrengen. 😉 Und wenn du schneller fährst (die Größe Geschwindigkeit also wächst), kommst du in kürzerer Zeit (Größe Zeit also kleiner) ans Ziel.

Beispiel: ungerader Dreisatz einfach erklärt
Aufgabe zum Dreisatz: 8 Schüler:innen arbeiten daran, die Kulisse für ein Theaterstück fertigzustellen. Sie rechnen damit, ungefähr 20 Stunden dafür zu brauchen. Sie haben aber nur noch 12 Stunden Zeit. Wie viele Schüler:innen müssten mithelfen, damit die Kulisse in 12 Stunden fertig wird? 

Wir schreiben zuerst wieder die bekannten Informationen auf:

• 8 Schüler:innen brauchen 20 Stunden Zeit für die Kulisse.
• Wir wollen wissen, wie viele Schüler:innen gebraucht werden, damit es nur 12 Stunden dauert.

Jetzt gehen wir wieder unsere bekannten Schritte durch, um mit dem Dreisatz zu rechnen.

1. Zwei Größen zueinander ins Verhältnis setzen
Hier können wir 8 Schüler:innen ins Verhältnis zu 20 Stunden Zeit setzen:

8 Schüler:innen∧=20 Stunden

 ? Schüler:innen∧=12 Stunden

2. Menge für eine Einheit ausrechnen
Wir könnten jetzt ausrechnen, wie lange 1 Schüler:in für die gesamte Arbeit brauchen würde. Das hilft uns aber nicht wirklich weiter, denn dann müssten wir – statt zu rechnen – ausprobieren, um schließlich bei 12 Stunden zu landen, oder wir bräuchten einen weiteren Zwischenschritt.

Daher ist es einfacher, mit dem Dreisatz zu berechnen, wie viele Schüler:innen für eine Stunde Arbeit gebraucht würden. Daraus können wir dann im nächsten Schritt die Anzahl Schüler:innen für 12 Stunden berechnen.

Aufgepasst: Diesmal teilen wir nicht durch 20, um von 20 Stunden auf eine Stunde zu kommen. Denn wir haben ja hier einen Dreisatz mit antiproportionaler Zuordnung: Je weniger Stunden, desto mehr Schüler:innen brauchen wir. Deshalb müssen wir hier malnehmen:

20 Stunden∧=8 Schüler:innen

1 Stunde∧=8 Schüler:innen⋅20=160 Schüler:innen

3. Verhältnis für die gesuchte Anzahl aufstellen und ausrechnen
Wir wissen jetzt, dass wir für eine Stunde Arbeitszeit 160 Schüler:innen bräuchten. Jetzt können wir das Ganze auf 12 Stunden bringen. Dafür müssen wir auch diesmal umgekehrt rechnen – teilen statt multiplizieren. Heißt ja schließlich „umgekehrter Dreisatz“, richtig?

1 Stunde∧=160 Schüler:innen

12 Stunden∧=160 Schüler:innen÷12≈13.¯3 Schüler:innen

Natürlich gibt es nicht 13.¯3 Schüler:innen. Wir runden also auf 14 Schüler:innen auf. Dann sind auch ein paar Pausen drin! 

Ob du beim Dreisatz richtig gerechnet hast, kannst du leicht überprüfen. Es gilt nämlich:

• Beim proportionalen (geraden) Dreisatz herrscht Quotientengleichheit.
• Beim antiproportionalen (ungeraden) Dreisatz herrscht Produktgleichheit.

Und was ist das?

Schauen wir uns noch einmal unser Beispiel zum geraden Dreisatz an. Da haben wir ausgerechnet, dass 230 Gramm Schokolade 4,28 € kosten dürfen. Daraus können wir einen Quotienten bilden:

2304.28≈53.74

Dasselbe Verhältnis muss gelten, wenn wir mit den ursprünglichen Informationen aus der Aufgabe rechnen, nämlich mit 700 Gramm Schokolade für 13 Euro. Überprüfen wir das mal:

70013≈53.85

Wegen der Rundungen gibt es hier eine ganz kleine Abweichung, aber du siehst: Das Verhältnis ist fast das Gleiche – wir haben also richtig gerechnet.

Schauen wir uns jetzt auch noch die Produktgleichheit an. Sie gilt beim umgekehrten Dreisatz. Unsere Rechnung zeigte: 14 Schüler:innen brauchen 12 Stunden für die Kulisse. Daraus bilden wir jetzt ein Produkt:

14⋅12=168

Und hier das Produkt aus der Aufgabe – 20 Stunden, 8 Schüler:innen:

20⋅8=160

Hier ist die Abweichung etwas größer. Weißt du, warum? Weil wir die Anzahl Schüler:innen ja aufrunden mussten. Hätten wir mit 13.¯3Schüler:innen gerechnet, hätten wir dieses Produkt erhalten:

13.¯3⋅12=159.¯9

Unser Ergebnis stimmt also!

In der Prozentrechnung ist der Dreisatz sehr wichtig – du wirst später noch mehr darüber lernen. Hier schauen wir uns nur ein kleines Beispiel dazu an, wie du mit dem Dreisatz den Prozentsatz berechnen kannst.

Beispiel:

Du hast mit deinen Freund:innen 200 Weihnachtskekse gebacken. Deine Tante möchte 90 Stück davon kaufen. Berechne den Prozentsatz. 

100 % entsprechen immer der Gesamtmenge. Daher können wir schreiben:

200 Kekse∧=100%

90 Kekse∧= ? %

Wir haben hier einen Dreisatz mit proportionaler Zuordnung: mehr Kekse, mehr Prozent. Daher können wir wie gewohnt rechnen:

1 Keks∧=100%÷200=0.5%

90 Kekse∧=0.5%⋅90=45%

Und schon hast du mit dem Dreisatz den Prozentsatz ausgerechnet!

• Der Dreisatz ist ein Verfahren in der Mathematik, mit dem du in drei Schritten eine fehlende Größe berechnen kannst.
• Dazu musst du zwei bekannte Größen zueinander ins Verhältnis setzen und dieses Verhältnis dann auf eine dritte Größe übertragen.
• Beim proportionalen Dreisatz gilt: Wenn eine Größe mehr oder größer wird, passiert das auch mit der anderen Größe im Verhältnis.
• Beim antiproportionalen Dreisatz gilt: Wenn eine Größe mehr oder größer wird, wird die andere Größe im Verhältnis weniger oder kleiner.