Kurvendiskussion - in 7 einfache Schritten - online lernen
Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Kurvendiskussion
Komplette Kurvendiskussion
Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören die folgenden sieben Punkte:
- Ableitungen:
Bestimmung von und f'''‘ - Symmetrie:
Untersuchung auf einfache Symmetrie - Achsenschnittpunkte:
Nullstellen und Schnittpunkt mit der y–Achse - Globalverhalten:
Verhalten für |x|\to\infty - Extrempunkte:
Hoch- und Tiefpunkte - Wendepunkte
- Schaubild:
Zeichnung bzw. Skizze des Graphen
Beispiel:
Untersuche f mit f(x)=2{x}^{4}+7{x}^{3}+5{x}^{2} vollständig.
- f'\left(x\right)=8x^{3}+21x^{2}+10x
- f''\left(x\right)=24x^{2}+42x+10
- f'''\left(x\right)=48x+42
- f hat gerade und ungerade Exponenten \Rightarrow keine einfache Symmetrie
- \begin{equation*} 0=2x^{4}+7x^{3}+5x^{2}=x^2(2x^2+7x+5)\Rightarrow x_{1}=0;\;x_{2}=-1;\;x_{3}=-2{,}5 \end{equation*}
(x^{2} ausklammern, dann PQ-Formel anwenden) - a_{n}=a_{4}=2>0;\,n=4\Rightarrow f\left(x\right)\rightarrow \infty für x\rightarrow \pm \infty.
- \begin{equation*} f'\left(x\right)=0\Rightarrow x_{4}=0;\;x_{5}=-\tfrac{5}{8};\;x_{6}=-2 \end{equation*}
f''\left(0\right)=10>0\Rightarrow Min.; f''\left(-\tfrac{5}{8}\right)=-6{,}875<0\Rightarrow Max.; f''\left(-2\right)=22>0\Rightarrow Min.
x_4, x_6 sind Minima, x_5 ist Maximum. y-Werte durch Einsetzen in f(x):
Tiefpunkte T_1\ (0\ |\ 0);\;T_2\ (-2\ |-4);\,\, Hochpunkt H\ (-\tfrac{5}{8}\ |\ \tfrac{1125}{2048}) - \begin{equation*} f''\left(x\right)=0\Rightarrow x_{7;8}=-\tfrac{7}{8}\pm \tfrac{1}{24}\sqrt{201};\;x_{7}\approx -0{,}28;\;x_{8}\approx -1{,}47 \end{equation*}f'''\left(x_{7}\right)\approx 28{,}56\neq 0;\;f'''\left(x_{8}\right)\approx -28{,}56\neq 0\Rightarrow x_{7},x_{8} sind Wendestellen.
y-Werte: f\left(x_{7}\right)\approx 0{,}25;\;f\left(x_{8}\right)\approx -2{,}07
Wendepunkte W_1\ (-0{,}28\ |\ 0{,}25), W_2(-1{,}47\ |-2{,}07) - Schaubild:
Nullstellenberechnung
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 2298
Symmetrie
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 2301
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 2295
Ganzrationale und Potenzfunktionen
Nullstellenberechnung
Schwierigkeitsgrad 1 / Serie 01
Aufgabe 1
Lies die Nullstellen am Graphen ab.
| a) |  | b) |  | c) |  |
Aufgabe 2
Bestimme die Nullstellen durch Ausklammern.
a) | f(x) = 2x² + 4x | b) | f(x) = 5x² – 15x |
c) | f(x) = -4x4+ 12x³ | d) | f(x) = 9x³ + 18x² |
Aufgabe 3
Berechne die Nullstellen der Funktionen mit der pq–Formel.
Achte darauf gegebenenfalls vorher auszuklammern!
a) | f(x) = x² + x – 2 | b) | f(x) = x² – x – 2 |
c) | f(x) = x² + 4x + 3 | d) | f(x) = x³ – 1x |
e) | f(x) = 2x³ + 8x² + 6x | f) | f(x) = 3x³ – 12x |
Aufgabe 4
Gegeben sei die Funktion f(x)=\tfrac{1}{2}(x + 3)(x + 1)(x - 2) in faktorisierter Form.
a) Wandle die Funktion f durch Ausmultiplizieren der Klammern in ihre allgemeine Form um.
b) Lege eine Wertetabelle für f über [–4;3] an.
c) Zeichne den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem und lies die Nullstellen ab
d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der faktorisierten Form von f und ihren Nullstellen?
e) Welche Möglichkeiten gibt es, eine Funktion in Standardform in ihre faktorisierte Form umzuwandeln?
