Kurvendiskussion - in 7 einfache Schritten - online lernen

Komplette Kurvendiskussion

Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören die folgenden sieben Punkte:

1. Ableitungen:
   Bestimmung von f′,f″
   und f‴
   ^‘
2. Symmetrie:
   Untersuchung auf einfache Symmetrie
3. Achsenschnittpunkte:
   Nullstellen und Schnittpunkt mit der y
   –Achse
4. Globalverhalten:
   Verhalten für |x|→∞
5. Extrempunkte:
   Hoch- und Tiefpunkte
6. Wendepunkte
7. Schaubild:
   Zeichnung bzw. Skizze des Graphen

Beispiel:

Untersuche f mit f(x)=2x4+7x3+5x2 vollständig.

1. • f′(x)=8x3+21x2+10x
   • f″(x)=24x2+42x+10
   • f‴(x)=48x+42
2. f
   hat gerade und ungerade Exponenten ⇒
   keine einfache Symmetrie
3. 0=2x4+7x3+5x2=x2(2x2+7x+5)⇒x1=0;x2=−1;x3=−2,5
   
   (x2
   ausklammern, dann PQ-Formel anwenden)
4. an=a4=2>0;n=4⇒f(x)→∞
   für x→±∞
   . 
5. f′(x)=0⇒x4=0;x5=−58;x6=−2
   
   f″(0)=10>0⇒
   Min.;  f″(−58)=−6,875<0⇒
   Max.;  f″(−2)=22>0⇒
   Min.
   x4,x6
   sind Minima, x5
   ist Maximum. y
   -Werte durch Einsetzen in f(x)
   :
   Tiefpunkte T1 (0 | 0);T2 (−2 |−4);
   Hochpunkt H (−58 | 11252048
   )
6. f″(x)=0⇒x7;8=−78±124√201;x7≈−0,28;x8≈−1,47
   f‴(x7)≈28,56≠0;f‴(x8)≈−28,56≠0⇒x7,x8
   sind Wendestellen.
   y
   -Werte: f(x7)≈0,25;f(x8)≈−2,07
   
   Wendepunkte W1 (−0,28 | 0,25),W2(−1,47 |−2,07)
7. Schaubild: