Mathematik – Einsetzungsverfahren

Du weißt sicher schon, dass du Gleichungen mit Variablen lösen kannst, indem du die Gleichungen umformst. Dazu brauchst du Äquivalenzumformungen.

Aber was ist, wenn du nicht nur eine, sondern zwei oder sogar noch mehr Variablen hast? Dann hast du in der Regel ein Gleichungssystem vor dir: Es besteht aus mehreren Gleichungen – mindestens eine Gleichung pro Variable solltest du haben. Ein solches lineares Gleichungssystem wird mit LGS abgekürzt.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Die bekanntesten sind das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Auch der Gauß-Algorithmus ist sehr nützlich.

Beim Einsetzungsverfahren in Mathe geht es darum, dass du eine der Gleichungen nach einer Variable umstellst und das Ergebnis in eine andere Gleichung einsetzt. Dadurch fällt eine Variable weg und du kannst die verbleibende(n) Variable(n) ausrechnen.

Wir zeigen dir gleich genaue Beispiele für das Einsetzungsverfahren – Übungen mit Lösungen. Zuerst schauen wir uns aber eine kurze Schritt-für-Schritt-Anleitung an:

1. Wähle eine Gleichung aus und stelle sie nach einer beliebigen Variable um.
2. Setze dein Ergebnis in eine verbleibende Gleichung ein.
3. Löse diese Gleichung nach einer verbleibenden Variable auf.
4. (Nur bei mehr als 2 Variablen: Wiederhole die Schritte 1–3.)
5. Setze das Ergebnis für diese Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.
6. Berechne die letzte Variable.
7. Mach die Probe.

Klingt noch kompliziert? Wir gehen das jetzt im Detail an einem Beispiel mit Lösung für das Einsetzungsverfahren durch.

Wir arbeiten mit diesem Gleichungssystem:

I.3x−4y=−6I.3x−4y=−6

II.2x+3y=13II.2x+3y=13

Schritt 1: Gleichung nach einer Variablen umstellen
Welche Gleichung du wählst, spielt keine Rolle. Wir nehmen die erste. Ebenso kannst du wählen, nach welcher Variablen –  xx oder yy  – du umstellen möchtest. Wir entscheiden uns für xx. So stellen wir die Gleichung um:

3x−4y=−6∣+4y3x−4y=−6∣+4y

3x=4y−6∣÷33x=4y−6∣÷3

x=43y−63x=43y−63

x=43y−2x=43y−2

Schritt 2: Ergebnis in die andere Gleichung einsetzen
Wir nehmen jetzt die zweite Gleichung und ersetzen xx in dieser Gleichung mit 43y−243y−2:

2x+3y=132x+3y=13

2⋅(43y−2)+3y=13

Schritt 3: Gleichung nach der verbleibenden Variable auflösen
Wir wollen nun die Gleichung nach y auflösen.

Wir lösen als Erstes die Klammer auf:

2⋅43y−4+3y=13

Wir vereinfachen und sortieren:

83y+3y−4=13

Wir rechnen die Terme mit y zusammen:

83y+93y−4=13

173y−4=13|+4

173y=17|÷17

13y=1|⋅3

y=3

Jetzt kennen wir schon eine Variable!

Schritt 4
Diesen Schritt können wir überspringen, da wir nur 2 Variablen haben.

Schritt 5: Ergebnis für die Variable in ursprüngliche Gleichung einsetzen
Wir kennen die Variable y. Das Ergebnis setzen wir jetzt in die ursprüngliche Gleichung I. ein:

3x−4y=−6

3x−4⋅3=−6

Schritt 6: letzte Variable berechnen
Wir lösen die Gleichung nach der verbleibenden Variable x auf:

3x−4⋅3=−6

3x−12=−6|+12

3x=6|÷3

x=2

Schritt 7: Probe machen
Wir kennen jetzt die beiden Variablen:

x=2

y=3

Wenn wir diese in unsere ursprünglichen Gleichungen einsetzen, müssen die Gleichungen aufgehen, wenn unser Ergebnis richtig ist. Machen wir das für beide Gleichungen:

I.3x−4y=−6

II.2x+3y=13

Erste Gleichung

3⋅2−4⋅3=−6

6−12=−6

−6=−6

Das stimmt schon mal!

Zweite Gleichung

2x+3y=13

2⋅2+3⋅3=13

4+9=13

13=13

Prima, alles richtig! 

Zuletzt schreiben wir noch die Lösungsmenge auf:

L={(2∣3)}

Vielleicht fragst du dich, warum wir die Lösungsmenge als Koordinaten eines Punkts geschrieben haben? Das liegt daran, dass du jede dieser Gleichungen in eine Geradengleichung umwandeln kannst. Und die Lösung eines Gleichungssystems ist der Punkt, in dem sich die Geraden schneiden. In unserem Beispiel sieht das so aus:

Hier siehst du den Schnittpunkt bei (2|3)

Damit du das Einsetzungsverfahren üben kannst, haben wir noch ein zweites Beispiel für dich. Versuche es zuerst allein zu lösen. Dann kannst du hier die Lösung anschauen. 

Wir wollen diese zwei Gleichungen mit dem Einsetzungsverfahren lösen:

I.16x−24y=24

II.6x−2y=16

Zuerst wählen wir eine Gleichung (die erste) und eine Variable (x). Wir wollen die Gleichung also nach x umformen.

16x−24y=24|+24y

16x=24y+24|÷16

x=2416y+2416

Wir kürzen die Brüche:

x=32y+32

Prima! Das setzen wir jetzt in die zweite Gleichung ein:

6x−2y=16

6⋅(32y+32)−2y=16

Wir lösen die Klammer auf:

182y+182−2y=16

Wir kürzen und vereinfachen:

9y+9−2y=16

7y+9=16|−9

7y=7|÷7

y=1

Jetzt kennen wir die erste Variable. Die setzen wir jetzt in eine unserer ursprünglichen Gleichungen ein. Wir nehmen die zweite:

6x−2y=16

6x−2⋅1=16

6x−2=16|+2

6x=18|÷6

x=3

Prima! Wir haben beide Variablen herausgefunden. Jetzt machen wir noch die Probe:

I.16x−24y=24

16⋅3−24⋅1=24

48−24=24

24=24

Und:

II.6x−2y=16

6⋅3−2⋅1=16

18−2=16

16=16

Fertig!

Wir schreiben noch die Lösungsmenge auf:

L={(3∣1)}

In den meisten Übungsaufgaben zum Einsetzungsverfahren wirst du eine eindeutige Lösung finden, also genau einen Schnittpunkt für alle Geraden.

Doch es gibt auch lineare Funktionen, die im Einsetzungsverfahren nicht zu einer Lösung führen. Hier zeigen wir dir ein solches Beispiel.

I.−6x+12y=6

II.2x−4y=3

Wir beginnen wieder mit dem Umstellen einer Gleichung. Wir nehmen die erste:

−6x+12y=6|−12y

−6x=−12y+6|÷6

−x=−2y+1|⋅(−1)

x=2y−1

Das setzen wir jetzt in die zweite Gleichung ein:

2x−4y=3

2⋅(2y−1)−4y=3

4y−2−4y=3

Hier heben sich 4y und −4y gegenseitig auf und übrigbleibt nur: 

−2≠3

Diese Gleichung geht nicht auf. Solche Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren nicht lösen – und übrigens auch mit dem Additions- oder Gleichsetzungsverfahren nicht. Sie sind einfach unlösbar: Die Geraden haben keinen Schnittpunkt. Hier siehst du auch, warum das so ist:

Die Lösungsmenge schreibst du in diesem Fall so:

L={}

Es kann dir auch passieren, dass du Aufgaben in Mathe zum Einsetzungsverfahren bekommst, die unendlich viele Lösungen haben. Wie geht das mit dem Einsetzungsverfahren?

Schauen wir uns als Beispiel diese beiden Gleichungen an:

I.2x+6y=20

II.x+3y=10

Wir gehen vor, wie du es bereits kennst, und stellen eine Gleichung nach einer Variablen um. Da das bei der zweiten Gleichung für x besonders einfach ist, nehmen wir diese.

x+3y=10|−3y

x=−3y+10

Schon fertig. Das setzen wir jetzt in die erste Gleichung ein:

2x+6y=20

2⋅(−3y+10)+6y=20

−6y+20+6y=20

Du siehst, dass −6y und 6y  sich hier gegenseitig aufheben. So bleibt nur:

20=20

Diese Gleichung stimmt immer. Das bedeutet, dass alle Werte, die die erste Gleichung erfüllen, auch die zweite Gleichung erfüllen. Wenn du lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren löst und auf so ein Ergebnis stößt, dann weißt du, dass die Graphen der beiden Funktionen genau übereinander liegen müssen:

Jetzt hast du hoffentlich die Erklärung zum Einsetzungsverfahren verstanden. Was passiert aber, wenn du nicht nur zwei, sondern drei oder sogar noch mehr Variablen hast?

Solange du pro Variable mindestens eine Gleichung hast, kannst du auch Gleichungssysteme mit viel mehr Variablen lösen. Dazu wiederholst du die gelernten Schritte immer wieder:

• Du eliminierst zuerst eine Variable, wie du es bereits kennst.
  
  
• Dann wiederholst du dasselbe Vorgehen mit einer anderen Gleichung, bis noch eine Variable wegfällt.
  
  
• Du hast nun zwei Gleichungen, die nur noch zwei Variablen (oder zumindest eine Variable weniger) haben. Indem du das Einsetzungsverfahren auf diese Gleichungen anwendest, kannst du erneut eine Variable eliminieren.

Das ist aufwendig und kann unübersichtlich werden, funktioniert aber nach demselben Prinzip. Viele Schüler:innen finden allerdings für große Gleichungssysteme den Gauß-Algorithmus einfacher – probiere ihn doch einmal aus!

Jetzt haben wir dir das Einsetzungsverfahren erklärt – aber woher weißt du, wann du ein Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren oder einem anderen Verfahren lösen sollst?

Das Gleichsetzungs- und das Einsetzungsverfahren sowie das Additionsverfahren sind alle gleichwertig. Du darfst also selbst entscheiden, welches Verfahren du wann benutzen möchtest. Am sinnvollsten ist es, wenn du clever auswählst: Lassen sich zum Beispiel zwei Gleichungen mit dem Additionsverfahren sehr einfach auf eine Variable reduzieren? Kannst du eine Gleichung besonders leicht umstellen, sodass das Einsetzungsverfahren eine gute Wahl wäre?

Am Ende macht es aber keinen Unterschied: Alle Verfahren funktionieren und wenn dir eins besonders leichtfällt, kannst du auch nur dieses verwenden.

• Du kannst in Mathematik mit dem Einsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme lösen.
  
  
• Es gibt verschiedene Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen: das Additionsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Auch der Gauß-Algorithmus ist nützlich.
  
  
• Beim Einsetzungsverfahren mit Gleichungssystemen stellst du zuerst eine Gleichung nach einer Variablen um. Dein Ergebnis setzt du dann in eine andere Gleichung ein, um so eine Variable zu eliminieren.
  
  
• Das wiederholst du so lange, bis alle Variablen gelöst sind. Auf diese Weise kannst du mit dem Einsetzungsverfahren auch 3 Variablen oder mehr berechnen.
  
  
• Es ist immer sinnvoll, am Ende des Einsetzungsverfahrens die Probe zu machen!

Tipp: Lade dir gleich hier ein Arbeitsblatt zum Einsetzungsverfahren herunter, mit dem du üben kannst!