Mathematik – Wurzel ableiten

Bevor wir mit dem Ableiten der Wurzel beginnen, lass uns noch einmal kurz wiederholen, was die Wurzelfunktion überhaupt ist. So sieht sie aus:

f(x)=x−−√$f(x)=\sqrt{x}$

Wenn an der Wurzel keine Zahl steht, handelt es sich um die Quadratwurzel. Man sagt auch: die zweite Wurzel. Daher könnte man auch schreiben:

f(x)=x−−√2$f(x)=\sqrt[2]{x}$

Du darfst die kleine 2 aber auch weglassen. Nicht mehr möglich ist das, wenn es sich um die dritte Wurzel, die vierte Wurzel oder die n-te Wurzel handelt. Statt "n" kannst du jede natürliche Zahl einsetzen, die größer als 1 ist. Zum Beispiel x−−√5$\sqrt[5]{x}$ oder sogar x−−√27$\sqrt[27]{x}$.

Und so sieht die Wurzelfunktion aus:

Du siehst hier, dass die Wurzelfunktion nur positive Werte annehmen kann. Für negative Werte ist sie nicht definiert. 

Wenn du wie Wurzel von x$x$ ableiten möchtest, ist es wichtig zu wissen, dass du jede Wurzelfunktion auch als eine Potenzfunktion darstellen kannst.

Merke

xm−−−√n=xmn$\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$

Beispiel:

x−−√=x12$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

Die Zahlen 1 und 2 kommen daher, dass du die zweite Wurzel ziehst (die 2 aber wie erwähnt nicht geschrieben werden muss) und unter der nur x$x$ steht, wofür du auch x1$x^1$ schreiben könntest - was aber nicht üblich ist.

Deutlicher wird es mit anderen Zahlen

x4−−√3=x43$\sqrt[3]{x^4}=x^{\frac{4}{3}}$

Oder sogar:

3x+2−−−−−√3=(3x+2)13$\sqrt[3]{3x+2}=(3x+2{)}^{\frac{1}{3}}$

Oder:

(3x+2)2−−−−−−−−√3=(3x+2)23$\sqrt[3]{(3x+2{)}^2}=(3x+2{)}^{\frac{2}{3}}$

Ausnahme

Möchtest du eine Wurzel mit Vorfaktor ableiten, brauchst du keine weiteren Hilfen. Es ist also zum Beispiel ganz einfach, 2-mal Wurzel x$x$ abzuleiten. Hier gilt nämlich die Faktorregel: Du leitest wie gewohnt die Wurzel aus x$x$ und der Faktor 2 bleibt erhalten:

f(x)=2⋅x−−√$f(x)=2\cdot \sqrt{x}$

f′(x)=2⋅12⋅x√$f^{\prime }(x)=2\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$

Hier kannst du sogar die 2 noch wegkürzen:

f′(x)=1x√$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

Wenn du nur die Wurzel von x$x$ ableiten möchtest, ist die Regel ganz einfach:

f(x)=x−−√$f(x)=\sqrt{x}$

f′(x)=12⋅x√$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$

Hier die Erklärung:

Wie du gerade gelernt hast, kannst du ja jede Wurzelfunktion auch als Potenzfunktion schreiben.

Also:

f(x)=x12$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$

f′(x)=12⋅x−12$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$

Mit der Schreibweise, die wir oben kennegelernt haben, können wir das nun wieder als Wurzelfunktion schreiben:

xm−−−√n=xmn$\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$

f′x(x)=12⋅x12=12⋅x√$f^{\prime }x(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$

Für die allermeisten Ableitungen von Wurzelfunktionen benötigst du die Kettenregel. 

Oft hast du Aufgaben vor dir, bei denen unter der Wurzel eine kompliziertere Funktion steht. Hier musst du die Kettenregel anwenden. Für Wurzeln ist sie die wichtigste unter den Ableitungsregeln. 

Kettenregel

f(x)=g(h(x))$f(x)=g(h(x))$

f′(x)=g′(h(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x)\cdot h^{\prime }(x)$

Um eine Funktion mit Wurzel abzuleiten, müssen wir zunächst die äußere und die innere Funktion bestimmen. 

Dann leiten wir beide Funktionen ab und setzen dann in die Kettenregel ein. Am leichtesten verstehst du das anhand eines Beispiels.

Beispiel: Wurzel aus 2x ableiten

Folgende Funktion wollen wir ableiten:

f(x)=2x−−√$f(x)=\sqrt{2x}$

Wir haben hier zwei Funktionen:

• die äußere Funktion, nämlich die Wurzelfunktion √$\sqrt{}$
• die innere Funktion 2x$2x$

Wir gehen nun so vor:

Zuerst leiten wir beide Funktionen ab. Damit wir sie auseinanderhalten können, nennen wir die äußere Funktion (die Wurzelfunktion) g(x)$g(x)$ und die innere Funktion, nämlich 2x,h(x)$2x,h(x)$.

Zum Ableiten brauchen wir die Ableitungsfunktion der Wurzelfunktion und - für 2x$2x$ - die Potenzregel:

g(x)=√$g(x)=\sqrt{}$

g′(x)=12⋅√$g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{}}$

h(x)=2x$h(x)=2x$

h′(x)=2$h^{\prime }(x)=2$

Jetzt haben wir beide Ableitungen und können die Kettenregel einsetzen:

f(x)=g(h(x))$f(x)=g(h(x))$

f′(x)=g′(h(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x)\cdot h^{\prime }(x)$

f(x)=2x−−√$f(x)=\sqrt{2x}$

f′(x)=12⋅2x√⋅2$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x}}\cdot 2$

Die 2 kannst du noch kürzen und erhältst dann:

f′(x)=12x√$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}$

Wenn du das noch schwierig nachzuvollziehen findest, lies dir unbedingt unsere Seite zur Kettenregel noch einmal durch. Dort ist alles ganz genau erklärt. 

Wir schauen uns hier jetzt noch einmal ein schwierigeres Beispiel an. 

Beispiel: Aufgaben zum Ableiten der Wurzel mit komplizierteren Funktionen

f(x)=(x2−5)−−−−−−−√$f(x)=\sqrt{(x^2-5)}$

Um diese Wurzel abzuleiten, identifizieren wir zuerst wieder die innere und die äußere Funktion:

äußere: g(x)=√$g(x)=\sqrt{}$

innere: h(x)=x2−5$h(x)=x^2-5$

Wir leiten beide ab:

g′(x)=12⋅√$g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{}}$

h′(x)=2x$h^{\prime }(x)=2x$

Und wir setzen in die Formel für die Kettenregel ein:

f′(x)=12⋅(x2−5)√⋅2x$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{(x^2-5)}}\cdot 2x$

Bisher haben wir nur Quadratwurzeln abgeleitet. Aber was ist, wenn es du zum Beispiel die dritte Wurzel ableiten sollst? Dann ist es sinnvoll, wenn du – wie oben besprochen – die Wurzel als Potenz schreibst und dann nach der Potenzregel ableitest. 

Wir können die Wurzel zum Ableiten so umschreiben:

xm−−−√n=xmn$\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$

Und xmn$x^{\frac{m}{n}}$ können wir nach der Potenzregel so ableiten:

f(x)=xmn$f(x)=x^{\frac{m}{n}}$

f′(x)=mn⋅xmn−1$f^{\prime }(x)=\frac{m}{n}\cdot x^{\frac{m}{n}-1}$

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an: die dritte Wurzel aus x$x$.

f(x)=x−−√3=x13$f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$

Beachte, dass x$x$ hier keinen Exponenten hat - hier steht also eigentlich x1$x^1$. Also ist m=1$m=1$. n=3$n=3$, denn wir ziehen ja die dritte Wurzel.

Und so leiten wir ab:

f′(x9=mn⋅xmn−1$f^{\prime }(x9=\frac{m}{n}\cdot x^{\frac{m}{n}-1}$

f′(x)=13⋅x13−1=13⋅x−23$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}$

Den negativen Exponenten können wir als Bruch umschreiben:

f′(x)=13⋅x13−1=13⋅x−23=13⋅1x23$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Fertig!

Meist kommst du beim Ableiten von Wurzeln mit der Kettenregel schon weit. Manchmal brauchst du aber auch noch weitere Ableitungsregeln. Hier ein paar Beispiele zum Ableiten von Wurzeln in diesen Fällen.

Wurzeln in Summen ableiten (oder Differenzen)

Wenn deine Funktion so aussieht:

f(x)=g(x)+h(x)$f(x)=g(x)+h(x)$

... dann brauchst du die Summenregel und Differenzregel:

f′(x)=g′(x)+h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)+h^{\prime }(x)$

Du leitest also beide Funktionen separat ab und addierst danach die Ableitungen. Wenn eine oder beide dieser Funktionen Wurzelfunktionen sind, ändert das nichts – denn du weißt ja bereits, wie du Wurzeln ableiten kannst.

Aber was passiert, wenn du eine Summe unter einer Wurzel ableiten sollst? 

Dann brauchst du stattdessen wieder die Kettenregel. Denn: Deine äußere Funktion ist eine Wurzelfunktion und die innere ist eine Funktion, die eben Summen enthält – zum Beispiel 

f(x)=3x2+7x−2−−−−−−−−−−√$f(x)=\sqrt{3x^2+7x-2}$. Die innere Funktion kannst du wie gewohnt mit der Faktor- und Potenzregel (und der Summenregel) ableiten. Die Wurzelfunktion leitest du ebenfalls ab und setzt dann alles in die Formel für die Kettenregel ein.

Wurzeln in Produkten ableiten

Ganz genauso gehst du vor, wenn du es mit einem Produkt zu tun hast. Es kann sein, dass deine Funktion so aussieht:

f(x)=g(x)⋅h(x)$f(x)=g(x)\cdot h(x)$

Dann brauchst du die Produktregel:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

Es macht nichts, wenn dabei Wurzeln auftauchen. Du leitest sie einfach wie gewohnt ab und setzt die Ableitung in die Formel für die Produktregel ein.

Anders sieht es aus, wenn unter der Wurzel ein Produkt steht, zum Beispiel f(x)=3x2⋅5x−−−−−−√$f(x)=\sqrt{3x^2\cdot 5x}$. Hier kannst du das Produkt unter der Wurzel zunächste vereinfachen und das Ergebnis dann wie gewohnt ableiten (Faktor- und Potenzregel). Dann leitest du auch die Wurzelfunktion ab und wendest die Kettenregel an.

Wurzel im Bruch ableiten

Auch hier musst du unterscheiden. Vielleicht hast du eine Funktion, die aus einem Bruch besteht:

f(x)=g(x)h(x)$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

Dann leitest du mit der Quotientenregel ab:

f′(x)=[g′(x)⋅h(x)]−[g(x)⋅h′(x)][h(x)]2$f^{\prime }(x)=\frac{[g^{\prime }(x)\cdot h(x)]-[g(x)\cdot h^{\prime }(x)]}{[h(x){]}^2}$

Auch hier gilt: Wenn dabei Wurzeln auftauchen, leitest du sie einfach wie gewohnt ab.

Wenn aber ein Bruch unter deiner Wurzel steht, zum Beispiel f(x)=32x2−−−√$f(x)=\sqrt{\frac{3}{2x^2}}$, dann musst du wiederum die Kettenregel nutzen. Die äußere Funktion ist deine Wurzelfunktion, die innere ist 32x2$\frac{3}{2x^2}$.

In der Schule stößt du vielleicht auf Funktionen mit Wurzeln, die erst einmal besonders aussehen. Schwieriger werden die Aufgaben dadurch aber nicht, denn fast immer handelt es sich dabei um verkettete Funktionen. 

Wir zeigen dir hier einige Beispiele und erklären dir, wie du vorgehst. 

e hoch Wurzel x ableiten

f(x)=ex√$f(x)=e^{\sqrt{x}}$

Hier musst du die e-Funktion ableiten, die Wurzelfunktion ableiten und dann die Kettenregel anwenden. 

f′(x)=ex√⋅12⋅x−12$f^{\prime }(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$

1 durch Wurzel x ableiten

f(x)=1x√$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

1x√$\frac{1}{\sqrt{x}}$ kannst du schreiben als x−32$x^{-\frac{3}{2}}$. Somit kannst du einfach ableiten:

f′(x)=12⋅x−32$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}$

Und das kannst du schreiben als:

f′(x)=12⋅x3√$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x^3}}$

In mit Wurzel ableiten

f(x)=Inlnx−−√$f(x)=In\ln \sqrt{x}$

Hier schriebst du x−−√$\sqrt{x}$ einfach als x12$x^{\frac{1}{2}}$. So kannst du den natürlichen Logarithmus ln$\ln$ von Wurzel x$x$ ableiten:

f′(x)=Inln(x12)=12Inln(x)=12x$f^{\prime }(x)=In\ln \left(x^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}In\ln (x)=\frac{1}{2x}$

• Die Wurzelfunktion sieht so aus: f(x)=0x−−√$f(x)=0\sqrt{x}$. Sie kann nur posiitve Werte annehmen.
  
• Wie alle anderen Funktion kannst du auch die Wurzelfunktion ableiten. Die Ableitung von f(x)=x−−√$f(x)=\sqrt{x}$ ist f′(x)=12⋅x√$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$.
• Du kannst nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch die dritte, vierte und n-te Wurzel berechnen.
• Wenn unter der Wurzel nicht nur ein x steht, musst du die Kettenregel anwenden, um die verkettete Funktion abzuleiten.
• Du kannst auch Wurzeln im Bruch ableiten, Wurzeln in Produkten, Summen oder Differenzen oder mit Vorfaktoren ableiten. Dazu brauchst du unterschiedliche Ableitungsregeln.