Mathematik – Lineare Gleichungen

Du brauchst lineare Gleichungen für Funktionen – nämlich lineare Funktionen. Mit linearen Gleichungen kannst du Prozesse beschreiben, bei denen zwei Größen zusammenhängen. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen heißt linearer Zusammenhang.

Hier ein paar Beispiele für lineare Gleichungen bzw. deren Funktionen:

• Wenn du einkaufst und möchtest mehr Schokoriegel haben, dann musst du auch mehr bezahlen. Die Menge an Schokoriegeln und der Preis hängen linear zusammen.
• Wenn ihr an einem Theaterprojekt arbeitet und ihr braucht mit 10 Schüler:innen eine gewisse Zeit, um eine Kulisse fertigzustellen, dann braucht ihr mit 20 Schüler:innen weniger Zeit. Auch hier gibt es einen linearen Zusammenhang.

So sehen lineare Gleichungen im Koordinatensystem aus:

Lineare Gleichungen haben als Graphen eine Gerade. Daher ist es ziemlich einfach, lineare Gleichungen zu zeichnen – und das hilft dir auch bei deinen Aufgaben, denn oft kannst du lineare Gleichungen grafisch lösen. Mehr dazu später!

Tipp: Wenn du mehr über den Graphen und die Formeln für lineare Gleichungen wissen möchtest, schau auf unserer Seite zu linearen Funktionen nach.

Du erkennst lineare Gleichungen in Mathe daran, dass

• eine Variable (meist x$x$) vorkommt,
• diese Variable die Potenz 1 hat (also nur x$x$, nicht etwa x2$x^2$ oder x3$x^3$) und
• der Graph der Funktion eine gerade Linie ist.

Hier ein paar Beispiele für lineare Gleichungen:

Es gibt aber auch nicht-lineare Gleichungen. Das sind zum Beispiel alle Gleichungen, in denen die Variable eine höhere Potenz hat. Auch wenn deine Variable unter einer Wurzel steht, ist die Gleichung nicht-linear.

Beispiele für nicht-lineare Gleichungen:

Auch wenn die Variable im Nenner eines Bruchs vorkommt, handelt es sich um eine nicht-lineare Gleichung. Beispiel:

Es gibt aber auch lineare Gleichungen mit Brüchen – die Variable darf nur nicht im Nenner stehen. Das hier ist eine lineare Gleichung mit Bruch:

Du kannst jede lineare Gleichung mit dieser Formel schreiben:

Für a$a$ und b$b$ kannst du beliebige Zahlen einsetzen. Aber Vorsicht, es gibt eine Ausnahme: a≠0$a\ne 0$. Warum? Weil dann dort stehen würde:

0⋅x+b=0$0\cdot x+b=0$

b=0$b=0$

Dadurch verschwindet unsere Variable. Das Ergebnis ist dann eine konstante Gleichung – der Graph ist dann nur eine waagerechte Gerade. 

In Mathe wird es vor allem darum gehen, wie du lineare Gleichungen lösen kannst. Schauen wir uns dazu gleich ein Beispiel an:

8x+4=24$8x+4=24$

Wir gehen so vor, um die lineare Gleichung nach x$x$ aufzulösen:

1. Lineare Gleichung so umstellen, dass auf einer Seite nur noch Terme mit x$x$ stehen und auf der anderen Seite die reinen Zahlen
2. Variable x$x$ ausrechnen
3. Probe machen

1. Lineare Gleichung umstellen
So stellen wir die lineare Gleichung um, damit wir auf einer Seite nur noch Terme mit x$x$ haben – und auf der anderen Seite eine reine Zahl:

8x+4=24|−4$8x+4=24|-4$

8x=20$8x=20$

2. Variable x$x$ ausrechnen
Um x$x$ herauszufinden, müssen wir durch 8 teilen:

8x=20|÷8$8x=20|÷8$

x=20÷8$x=20÷8$

x=2,5$x=2,5$

3. Probe machen
Zum Schluss überprüfen wir, ob wir richtig gerechnet haben. Dazu setzen wir unser Ergebnis für x$x$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

8x+4=24$8x+4=24$

x=2,5$x=2,5$

Daraus folgt:

8⋅2,5+4=24$8\cdot 2,5+4=24$

20+4=24$20+4=24$

24=24$24=24$

Das stimmt! Prima!

Und wie löst man lineare Gleichungen mit Klammern? Schauen wir uns auch dazu ein Beispiel an:

4⋅(2x−3)=40$4\cdot (2x-3)=40$

Wir gehen genauso vor wie oben, nur dass wir im ersten Schritt die Klammern auflösen. Dazu nehmen wir den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer mal:

4⋅(2x−3)=40$4\cdot (2x-3)=40$

8x−12=40$8x-12=40$

Jetzt geht es weiter, wie du es gerade gelernt hast. Wir bringen zunächst alle Terme mit x$x$ auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite:

8x−12=40|+12$8x-12=40|+12$

8x=52$8x=52$

Und jetzt teilen wir durch 8, um x$x$ zu berechnen:

8x=52|÷8$8x=52|÷8$

x=6,5$x=6,5$

Zum Schluss machen wir noch die Probe:

4⋅(2x−3)=40$4\cdot (2x-3)=40$

x=6,5$x=6,5$

Also gilt:

4⋅(2⋅6,5−3)=40$4\cdot (2\cdot 6,5-3)=40$

4⋅(13−3)=40$4\cdot (13-3)=40$

4⋅10=40$4\cdot 10=40$

40=40$40=40$

Fertig!

Beispiel: Lineare Gleichungen mit Brüchen lösen
Hier noch eine einfache lineare Gleichung mit einem Bruch:

14x+6=12$\frac{1}{4}x+6=12$

Wir bringen zunächst wieder alle Zahlen auf eine Seite und die Variable auf die andere Seite:

14x+6=12|−6$\frac{1}{4}x+6=12|-6$

14x=6$\frac{1}{4}x=6$

Jetzt multiplizieren wir mit dem Nenner des Bruchs, um die lineare Gleichung nach x$x$ aufzulösen:

14x=6|⋅4$\frac{1}{4}x=6|\cdot 4$

x=6⋅4$x=6\cdot 4$

x=24$x=24$

Geschafft!

Schauen wir uns jetzt ein paar Übungen mit Lösungen für lineare Gleichungen an. 

Bei Aufgaben mit linearen Gleichungen liegt die größte Herausforderung meist darin, die lineare Gleichung zu bestimmen. Oft begegnest du linearen Gleichungen nämlich in Textaufgaben (Sachaufgaben).

Wie du zu Textaufgaben die linearen Gleichungen aufstellst, üben wir gleich mal an einem Beispiel.

Übung: lineare Gleichung aufstellen

Amanda ist 34 Jahre alt und hat eine 11-jährige Tochter. Wie viele Jahre müssen vergehen, bis Amanda doppelt so alt ist wie ihre Tochter?

So gehst du vor, um aus Sachaufgaben lineare Gleichungen zu machen:

1. Finde heraus, was gesucht ist. Das ist deine Variable x$x$.
2. Überlege, welche Informationen du über  x$x$ aus der Aufgabe bekommst.
3. Stelle die Gleichung auf.

1. Finde heraus, was gesucht ist
Die Frage lautet: Wie viele Jahre müssen vergehen, bis Amanda doppelt so alt ist wie ihre Tochter? Wir suchen also die Anzahl Jahre, die vergehen. Das ist unsere Variable:

2. Überlege, welche Informationen du über x$x$ bekommst
Wir wissen, dass nach x$x$ Jahren Amanda doppelt so alt sein wird wie ihre Tochter. Heute ist Amanda 34 Jahre alt und ihre Tochter 11. Daher können wir für Amandas Alter in der Zukunft schreiben:

Und das Alter der Tochter wird sein:

3. Gleichung aufstellen
Zuletzt ist noch die Informationen wichtig, dass Amanda in x$x$ Jahren eben doppelt so alt wie ihre Tochter sein wird. Daher gilt nämlich: Alter der Tochter mal zwei = Amandas Alter in der Zukunft. 

So lautet die lineare Gleichung:

Jetzt kannst du diese linearen Gleichungen nach x$x$ auflösen, wie du es gelernt hast. Wir lösen zuerst die Klammern auf:

(11+x)⋅2=34+x$(11+x)\cdot 2=34+x$

22+2x=34+x$22+2x=34+x$

Wir sortieren Variablen und Zahlen:

22+2x=34+x|−x$22+2x=34+x|-x$

22+x=34|−22$22+x=34|-22$

x=12$x=12$

Zuletzt machen wir noch die Probe:

(11+x)⋅2=34+x$(11+x)\cdot 2=34+x$

x=12$x=12$

Daraus folgt:

(11+12)⋅2=34+12$(11+12)\cdot 2=34+12$

23⋅2=46$23\cdot 2=46$

46=46$46=46$

Siehst du – und schon kannst du lineare Gleichungen berechnen.

Und wie kann man lineare Gleichungen zeichnen? Das schauen wir uns als Nächstes an.

Schauen wir uns als Beispiel diese Gleichung an:

4x−2=6$4x-2=6$

Zuerst bringen wir die Gleichung in diese Form:

a⋅x+b=0$a\cdot x+b=0$

Wir müssen also 6 abziehen, damit auf der rechten Seite eine Null steht:

4x−2=6|−6$4x-2=6|-6$

4x−8=0$4x-8=0$

Wir möchten jetzt als Erstes herausfinden, wo unser Graph die y-Achse schneidet. Dafür gibt es einen tollen Trick. Denn wir brauchen bei linearen Gleichungen den Schnittpunkt nicht zu berechnen, sondern können ihn direkt ablesen, nämlich am Absolutglied. Das Absolutglied ist der Teil der Gleichung ohne Variable, hier also -8:

4x- 8 =0$4x\text{- 8}=0$

Diesen Schnittpunkt bei (0|−8)$(0|-8)$ können wir schon einmal einzeichnen.

Jetzt müssen wir noch die Steigung der linearen Gleichung berechnen. Auch hier haben wir Glück, denn wir können in dieser Form die Steigung der linearen Gleichung ablesen, und zwar am Faktor vor der Variablen, hier also 4:

4x−8=0$\text{4}x-8=0$

Eine Steigung von 4 bedeutet: Du gehst eine Einheit nach rechts auf der x-Achse und vier Einheiten an der y-Achse nach oben. Damit kannst du das Steigungsdreieck einzeichnen und dann deinen Graphen, eine Linie, anlegen. So sieht das dann aus:

Tipp: Wenn die Steigung einer linearen Gleichung negativ ist, gehst du noch immer eine Einheit nach rechts entlang der x-Achse, dann aber entsprechend viele Einheiten nach unten (statt nach oben). 

Du kannst auch eine Wertetabelle für lineare Gleichungen anlegen, um den Graphen zu zeichnen. 

Beispiel:

So sieht die Wertetabelle aus, wenn wir für x$x$ unterschiedliche Werte einsetzen und y$y$ berechnen:

Dann trägst du diese Punkte deiner linearen Gleichung ins Koordinatensystem ein und verbindest sie.

Und so sieht der Graph dazu aus:

Fast immer haben lineare Gleichungen genau eine Nullstelle, also eine Stelle, an der sie die x-Achse schneiden. Nur eine waagerechte Linie (eine konstante Funktion) hätte entweder gar keine oder unendlich viele Nullstellen (wenn sie direkt auf der x-Achse liegt).

Gute Nachricht: Die Nullstellen von linearen Gleichungen hast du schon die ganze Zeit berechnet. Denn um die Nullstellen zu finden, musst du die Gleichung gleich null setzen und nach x$x$ auflösen – also genau das, was wir hier geübt haben.

Übungen zu linearen Gleichungen, in denen es um die Nullstellen geht, findest du aber eher im Zusammenhang mit linearen Funktionen. Schau doch auf dieser Seite noch einmal vorbei!

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, lineare Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen zu lösen. Du kannst diese linearen Gleichungen zeichnerisch lösen. Oder du kannst verschiedene rechnerische Verfahren nutzen, zum Beispiel das Gleichsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren für lineare Gleichungen.

Wie das geht, zeigen wir dir genau auf unserer Seite zu linearen Gleichungssystemen.

• Du erkennst lineare Gleichungen daran, dass ihr Graph eine Gerade darstellt.
• Außerdem ist die höchste Potenz der Variablen x$x$ in einer solchen Gleichung immer 1. Es treten keine höheren Potenzen wie x2$x^2$ oder x3$x^3$ auf.
• Du kannst an der Funktionsgleichung den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen. Außerdem kannst du die Steigung erkennen.
• Wenn du lineare Gleichungen mit 2 Variablen lösen sollst, brauchst du mehr Informationen. Dabei helfen dir verschiedene Verfahren weiter.
• Tipp: Schau dir unsere Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen an!