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Satz des Pythagoras

Wenn Du wissen willst, was der Satz des Pythagoras ist, dann bist Du hier genau richtig. Schau Dir das Video an oder steig direkt in den Text ein.

Satz des Pythagoras mit Dennis

Was ist der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras hilft dir, in einem rechtwinkligen Dreieck die Längen der Seiten zu berechnen. Das kann nicht nur im Matheunterricht, sondern auch im Alltag sehr nützlich sein. Beispiele dazu findest du am Ende dieses Artikels. 

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Formel

Die Formel für den Satz des Pythagoras lautet: 

a2+b2=c2

Damit du den Satz des Pythagoras gut verstehen kannst, lass uns zunächst ein paar wichtige Begriffe klären:

  • rechtwinkliges Dreieck: ein Dreieck, in dem es einen rechten Winkel (also einen 90°-Winkel) gibt
  • Hypotenuse: die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks – sie liegt gegenüber dem rechten Winkel
  • Katheten: die verbleibenden beiden Seiten des Dreiecks – sie schließen den rechten Winkel ein

Schau dir zum besseren Verständnis die Zeichnung an:

In der Zeichnung siehst du ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel ist grün markiert. Gegenüber dem rechten Winkel liegt die längste Seite des Dreiecks, die Hypotenuse. Sie heißt c. Die anderen beiden Seiten sind die Katheten. Sie heißen a und b.

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Achtung

Der Satz des Pythagoras gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck!

Als Nächstes lernst du, wie du die Formel des Satzes des Pythagoras anwendest.

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Fun Fact

Das Wort „Hypotenuse“ kommt aus dem Altgriechischen: „hypoteínousa“ bedeutet „die sich unten erstreckende Seite“. Der Begriff „Kathete“ stammt ebenfalls aus dem Altgriechischen und bedeutet in etwa „die herabgeworfene Seite“. 

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Satz des Pythagoras: die Formel anwenden

Übertragen auf ein Dreieck mit rechtem Winkel lässt sich die Formel a2+b2=c2 auch so ausdrücken:

Kathete2+Kathete2=Hypotenuse2

Wie du siehst, werden die Seitenlängen quadriert. Bildlich kannst du dir das so vorstellen:

Du kannst das Wort „Quadrat“ (2) also ganz wörtlich nehmen: Die Seitenlängen werden zum Quadrat genommen. So ergibt sich jeweils der Flächeninhalt eines Quadrats mit der entsprechenden Seitenlänge a, b oder c. 

Der Satz des Pythagoras besagt nun: Die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten a und b ist gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c. In der Zeichnung bedeutet das: Der Flächeninhalt der beiden blauen Quadrate (der Kathetenquadrate) ist genauso groß wie der des roten Quadrats (des Hypotenusenquadrats).

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Merke

Wenn du weißt, wie groß der Flächeninhalt der beiden Kathetenquadrate ist, dann kennst du auch den Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.

Du kannst mit dem Satz des Pythagoras jedoch nicht nur Flächeninhalte berechnen, sondern auch die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Dazu musst du die Formel ein wenig umstellen: 

a2+b2=c2 

c2=a2+b2|

c=a2+b2

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Achtung

Beachte, dass beim Auflösen nach c unter der Wurzel der gesamte Term a2+b2 steht. Zwar kannst du aus c2 ganz einfach die Wurzel ziehen: c2=c. Aber: a2+b2 steht als Summe unter der Wurzel. Du kannst also nicht einfach aus a2+b2 die Wurzel ziehen und die Summe a+b erhalten.

Der Satz des Pythagoras an Beispielen

Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen

a = 3 cm

b = 4 cm

Gesucht sei die Länge der Hypotenuse c. Diese kannst du nun mit dem Satz des Pythagoras in fünf einfachen Schritten berechnen.

Schritt 1: Dreieck auf rechte Winkel prüfen

Prüfe zunächst, ob es sich wirklich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Erinnere dich: Der Satz des Pythagoras gilt nur, wenn im Dreieck ein 90°-Winkel vorhanden ist.

Schritt 2: Formel umstellen

Um die Länge der Hypotenuse zu berechnen, musst du die Formel des Satzes des Pythagoras wie folgt umstellen:

a2+b2=c2

c2=a2+b2|

c=a2+b2

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Tipp

Natürlich kommt es auch vor, dass du die Länge einer der Katheten berechnen musst. Dazu musst du die Formel entsprechend anders umstellen. Darauf gehen wir gleich noch näher ein.

Schritt 3: Werte einsetzen

Gegeben waren:

a = 3 cm

b = 4 cm

Wir setzen diese Werte in unsere umgestellte Formel ein und denken dabei auch an die Einheiten:

c=(3cm)2+(4cm)2

Schritt 4: Gleichung lösen

Nun kannst du die Gleichung nach c auflösen. Beachte dabei, dass auch die Einheiten zunächst quadriert werden und du am Ende auch aus den Einheiten die Wurzel ziehen musst!

c=9cm2+16cm2

c=25cm2

c=5cm

Schritt 5: Lösung aufschreiben

Denke zum Schluss an deinen Lösungssatz: Lösung: Die Länge der Hypotenuse c beträgt 5 cm.

Den Satz des Pythagoras nach Kathete a umstellen

Möchtest du nicht die Länge der Hypotenuse, sondern die Länge der Kathete a berechnen, musst du die Formel entsprechend anders umstellen. Gehen wir auch dazu eine Aufgabe durch.

Gegeben seien:

b=8cm

c=10cm

Gesucht wird die Länge der Kathete a.

Wir stellen die Formel nach a um:

a2+b2=c2 |b2

a2=c2b2 |

a=c2b2

Nun können wir unsere Werte in die Formel einsetzen. Denke an die Quadrierung der Einheiten!

a=(10cm)2(8cm)2

a=100cm264cm2

a=36cm2

a=6cm

Lösung: Die Kathete a ist 6 cm lang.

Den Satz des Pythagoras nach Kathete b umstellen

Das Umstellen nach der Kathete b gelingt ganz ähnlich.

Gegeben seien:

a=5cm

c=13cm

Wir stellen die Formel nach b um:

a2+b2=c2 |a2

b2=c2a2

b=c2a2

Wir setzen unsere Werte in die Formel ein:

b=(13cm)2(5cm)2

b=169cm225cm2

b=144cm2

b=12cm

Lösung: Die Kathete b ist 12 cm lang.

Exkurs: Der Satz des Pythagoras im Alltag

Der Satz des Pythagoras dient nicht nur dazu, Aufgaben in Mathematik zu lösen, sondern ist auch für Probleme im Alltag sehr wichtig. Stell dir vor, ein Feuerwehrauto soll einen Menschen aus einem brennenden Haus retten. Der einzige Fluchtweg ist das Fenster im dritten Stock. Das Feuerwehrauto kann jedoch nicht ganz bis an die Hauswand heranfahren, sondern muss aufgrund eines breiten Gebüschs einen Abstand halten. Von dort wird die Leiter nun schräg ausgefahren – doch wird sie bis zum Fenster reichen? 

In diesem Beispiel ist die Kathete a beispielsweise die Strecke vom Feuerwehrauto bis zur Hauswand. Die Kathete b ist dann die Höhe vom Boden bis hinaus zum Fenster. Zwischen Boden und Hauswand gibt es einen rechten Winkel. Wir können also den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge der Hypotenuse – der schräg gestellten Leiter – zu berechnen. So wäre es also möglich, schon vorab sicherzustellen, dass die Leiter wirklich bis zum Fenster hinaufreichen wird. 

Möchtest du noch weiter üben? Dann schau dir unsere Aufgaben zum Satz des Pythagoras an und trainiere online deine Fertigkeiten!

Satz des Pythagoras: Aufgaben

Wie lautet der Satz des Pythagoras?

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