Mathe - Dezimalzahl in Bruch

Du kannst jeden Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln – aber nicht umgekehrt. Denn du kannst nur rationale Zahlen als Brüche aus zwei ganzen Zahlen darstellen. Es gibt aber auch Dezimalzahlen, die nicht rational sind (und deshalb auch keinen Bruch haben). Du erkennst solche Dezimalzahlen daran, dass sie

• unendlich viele Stellen haben und
• kein Muster auftaucht, das sich periodisch wiederholt. 

Zum Beispiel ist die Zahl π (Pi) keine rationale Zahl. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode (also ohne ein Muster, das sich wiederholt). Deshalb können wir auch niemals alle Stellen von π ausschreiben:

π=3,1415926…

Hier musst du also aufpassen. Aber: Du kannst jede andere Dezimalzahl als Bruch schreiben, also auch Dezimalzahlen mit Perioden. Dabei gibt es drei unterschiedliche Vorgehen, je nachdem wie deine Dezimalzahl aussieht. Diese drei Arten von Dezimalzahlen kannst du umwandeln:

• abbrechende Dezimalzahlen
• periodische Dezimalzahlen
• gemischtperiodische Dezimalzahlen

Schauen wir uns für jede Umwandlung von Dezimalzahl zu Bruch jetzt das Vorgehen und Beispiele an.

Abbrechende Dezimalzahlen haben Nachkommastellen, aber nicht unendlich viele. Zum Beispiel sind 1,25 und 21,998 abbrechende (endliche) Dezimalzahlen. So gehst du bei der Umwandlung einer solchen Dezimalzahl in einen Bruch vor: 

• Schreibe die gesamte Zahl ohne Komma in den Zähler des Bruchs.
• Schreibe eine 1 in den Nenner.
• Füge im Nenner so viele Nullen hinzu, wie deine Dezimalzahl Stellen nach dem Komma hat.
• Kürze den Bruch.

Jetzt die Beispiele dazu.

Beispiel 1

Wir wollen 1,25 als Bruch schreiben. 

1. Wir schreiben die gesamte Zahl in den Zähler. Das Komma lassen wir dabei weg: 125.
2. Jetzt setzen wir in den Nenner eine 1: 1251.
3. Nun fügen wir im Nenner zwei Nullen hinzu, denn 1,25 hat ja zwei Nachkommastellen: 125100.
4. Diesen Bruch können wir jetzt noch kürzen, nämlich mit 25: 125100=54.

Fertig! 

Beispiel 2

Wir wandeln 21,998 in einen Bruch um. 

1. Wir schreiben zuerst die Zahl ohne Komma in den Zähler: 21.998.
   
2. In den Nenner schreiben wir eine 1: 21.9981.
   
3. Diesmal müssen wir drei Nullen im Nenner hinzufügen, denn wir hatten in unserer Dezimalzahl drei Nachkommastellen: 21.9981.000.
   
4. Das können wir mit 2 kürzen: 21.9981.000=10.999500.

Weiter können wir hier nicht kürzen – das verraten uns die Teilbarkeitsregeln. Deshalb sind wir hier fertig. 

Die Umrechnung einer Dezimalzahl in einen Bruch funktioniert auch mit einer periodischen Dezimalzahl. 1,¯3 und 0,¯95 sind periodische Dezimalzahlen.

Die Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch funktioniert so: 

1. Trenne zuerst die Zahl vor dem Komma von der Periode nach dem Komma.
2. Schreibe die Periode in den Zähler deines Bruchs.
3. Schreibe für jede Stelle unter dem Periodenstrich eine 9 in den Nenner.
4. Rechne die Zahl vor dem Komma und den Bruch wieder zusammen.

Natürlich haben wir auch dafür Beispiele!

Beispiel 1

Wir starten mit 1,¯3. 

1. Wir trennen die Zahl 1 von der Periode ¯3.
2. Wir schreiben die Periode in den Zähler: 3.
3. In den Nenner schreiben wir eine 9, denn unter dem Periodenstrich steht nur eine Zahl: 39.
4. Jetzt rechnen wir die Zahl vor dem Komma (1) und den Bruch wieder zusammen: 1+39=99+39=129.

Fertig! In diesem Fall hast du einen unechten Bruch. Du könntest 129 auch einfach als gemischten Bruch 139 schreiben. 

Beispiel 2

Schauen wir uns an, wie wir die Dezimalzahl 0,¯95 mit Periode in einen Bruch umwandeln.

1. Wir trennen wieder die Zahl vor dem Komma (0) von der Periode (¯95).
2. Die Periode kommt in den Zähler:95.
3. In den Nenner schreiben wir zweimal die 9, denn unter dem Periodenstrich stehen zwei Zahlen: 9599.
4. Da wir vor dem Komma nur eine 0 hatten, brauchen wir im letzten Schritt nichts zusammenzurechnen. Unser Ergebnis lautet einfach 9599.

Wie kannst du eine Kommazahl in einen Bruch umwandeln, wenn nur ein Teil davon periodisch ist? Das ist zum Beispiel bei 1,23¯45 oder 0,0¯7 der Fall. So gehst du vor:

1. Nimm die Zahl so oft mal 10, bis hinter dem Komma nur noch der periodische Teil steht.
2. Trenne dann wieder die Zahl vor dem Komma von der Periode.
3. Jetzt gehst du ähnlich vor wie bei den periodischen Dezimalzahlen: Du wandelst beide Teile separat in Brüche um und rechnest sie dann wieder zusammen.
4. Zuletzt musst du dein Ergebnis durch 10 teilen – und zwar genauso oft, wie du zu Beginn malgenommen hast.

Beispiel 1

Wir nehmen 1,23¯45 als Beispiel.

1. Zuerst nehmen wir mit 10 mal, bis nur noch die Periode hinter dem Komma steht: 1,23¯45⋅10=12,3¯45.
   Und noch einmal: 12,3¯45⋅10=123,¯45.
2. Wir trennen die Zahl vor dem Komma (123) von der Periode (¯45).
3. Wir wandeln beide Teile in Brüche um. Dazu setzen wir bei der ganzen Zahl einfach Eintel in den Nenner. Und für die ¯45 setzen wir die Periode in den Zähler und zweimal die 9 in den Nenner, wie du es oben gelernt hast. So erhalten wir 1231und4599.
   Um die Brüche zu addieren, müssen wir den ersten Bruch mit 99 erweitern: 1231=12.17799.
   Jetzt können wir zusammenrechnen: 12.17799+4599=12.22299.
4. Jetzt müssen wir noch zweimal durch 10 teilen, denn wir haben im ersten Schritt zweimal mit 10 malgenommen. Bei Brüchen kannst du ganz einfach durch 10 teilen, indem du im Nenner eine 0 hinzufügst: 12.22299÷10=12.222990.
   Und noch einmal: 12.222990÷10=12.2229.900.
   Das können wir noch mit 2 kürzen: 6.1114.950.
   Die Quersumme verrät uns, dass wir hier noch weiter kürzen können, nämlich sogar mit 9: 6.1114.950=679550.

Fertig! Gerade wenn du mehrfach gekürzt hast, bietet es sich an, noch einmal Zähler durch Nenner zu teilen, um die Probe zu machen.

Beispiel 2

Wir wollen 0,0¯7 als Bruch schreiben. 

1. Wir müssen diesmal nur einmal mit 10 malnehmen: 0,0¯7⋅10=0,¯7.
   
   
2. Wir trennen die Zahl vor dem Komma (0) von der Periode (¯7). 
   
3. Die 0 brauchen wir nicht umzuwandeln. Aber aus der Periode machen wir einen Bruch: 79.
   Hier müssen wir nichts zusammenrechnen.
   
4. Im letzten Schritt teilen wir noch einmal durch 10, denn wir haben ja zu Beginn einmal mit 10 malgenommen: 79÷10=790.

Super! Jetzt bist du fit darin, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln. 

• Du kannst jeden Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, aber nicht umgekehrt. Manche Dezimalzahlen sind keine rationalen Zahlen und lassen sich daher nicht als Bruch darstellen.
• Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind und unendlich viele Nachkommastellen haben, kannst du nicht in einen Bruch umwandeln. Möglich ist das aber bei abbrechenden (endlichen), bei periodischen und bei gemischtperiodischen Dezimalzahlen.
• Abbrechende Dezimalzahlen haben eine endliche Anzahl Nachkommastellen. Um sie in einen Bruch umzuwandeln, schreibst du die Zahl ohne Komma in den Zähler und eine 1 mit so viel Nullen, wie es Nachkommastellen gab, in den Nenner. 
• Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich ein Muster unendlich oft. Um sie in einen Bruch umzuwandeln, nutzt du die Periode als Zähler und setzt für jede Stelle unter dem Periodenstrich eine 9 in den Nenner.
• Gemischtperiodische Dezimalzahlen haben einen nicht-periodischen und einen periodischen Teil. Um sie in einen Bruch umzuwandeln, rechnest du den nicht-periodischen und den periodischen Teil getrennt um und kombinierst sie am Ende.