Mathe - Kosinussatz

Der Kosinussatz sieht auf den ersten Blick kompliziert aus, ist es aber eigentlich gar nicht. Hier findest du Aufgaben zum Kosinussatz, die wir dir Schritt für Schritt erklären. 

Der Kosinussatz gehört in Mathe zum Bereich Geometrie und – noch genauer – in den Bereich Trigonometrie. Wie der Name schon verrät, hat er mit den Winkelfunktionen (Sinus, Cosinus und Tagens) zu tun. 

Du kannst in einem Dreieck mit dem Kosinussatz Winkel berechnen oder fehlende Seitenlängen herausfinden. 

Neben dem Kosinussatz gibt es auch noch den Sinussatz, den wir dir auf einer anderen Seite genau erklären. Wann der Sinussatz und wann der Kosinussatz dir weiterhilft, erklären wir dir unten noch genauer. 

Jetzt aber erstmal zur Frage: Wie lautet der Kosinussatz?

a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos (\alpha )$

b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos (\beta )$

c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ)$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$

Das sieht erst einmal kompliziert aus. Aber hier kommt eine kleine Merkhilfe:

• Die Buchstaben a$a$, b$b$ und c$c$ stehen für Seitenlängen im Dreieck. Links vom Gleichheitszeichen steht eine Seitenlänge, die anderen folgen dann gleich rechts vom Gleichheitszeichen.
  
• Die beiden Seitenlängen, die rechts vom Gleichheitszeichen stehen, tauchen in der Formel für den Kosinussatz gleich noch einmal auf. Beispiel: b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos (\beta )$
  
• Der Winkel in der Formel ist immer der, der zur Seitenlänge links vom Gleichheitszeichen passt. Beispiel: a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos (\alpha )$
  

Und was ist der Kosinussatz nun genau?

Das ist das Wichtige am Kosinussatz: Anders als der Satz des Pythagoras gilt er in jedem beliebigen Dreieck. Dir hilft also der Kosinussatz auch, wenn kein rechter Winkel vorhanden ist. 

Der Kosinussatz als Sonderfall zum Satz des Pythagoras

Der Kosinussatz und der Satz des Pythagoras hängen eng zusammen, denn der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des Kosinussatzes. 

Schauen wir uns diesen Teil des Kosinussatzes einmal genauer an:

c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ)$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$

In einem rechtwinkligen Dreieck hat der Winkel Gamma (γ)$(\gamma )$ ja immer genau 90 Grad. Der Cosinus von 90 Grad ist 0 - prüfe das gleich mal mit deinem Taschenrechner nach!

Wir können in der Formel für den Kosinussatz also einsetzen:

coscos(γ)=0$cos\cos (\gamma )=0$

Dann steht dort:

c2=a2+b2−2ab⋅0$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot 0$

Damit fällt der ganze hintere Teil −2ab⋅0$-2ab\cdot 0$ weg. Und übrigbleibt:

c2=a2+b2$c^2=a^2+b^2$

Und das ist genau der Satz des Pythagoras, der eben nur im rechtwinkligen Dreieck gilt.

Du solltest unterscheiden können, wann Sinussatz und Kosinussatz anwendbar sind. Dabei hilft dir diese kleine Übersicht.

Anwendung Kosinussatz:

• Du hast in einem Dreieck alle drei Seiten gegeben und willst einen beliebigen Winkel ausrechnen.
  
• Du hast in einem Dreieck zwei Seiten und einen eingeschlossenen Winkel gegeben und willst die dritte Seite berechnen.
  

Anwendung Sinussatz: 

• Du hast zwei Winkel gegeben plus eine Seite, die einem der gegebenen Winkel gegenüberliegt.
  
• Du hast zwei Seiten gegeben plus einen Winkel, welcher der längeren Seite gegenüberliegt.
  

So kannst du zwischen Sinus- und Kosinussatz unterscheiden. 

Und jetzt sollten wir uns die Anwendung des Kosinussatzes praktisch ansehen, meinst du nicht? Dazu haben wir einige Aufgaben mit Lösungen zum Kosinussatz vorbereitet. 

Du kannst eine fehlende Seite im Dreieck berechnen, ohne dass du den Kosinussatz umformen musst - vorausgesetzt, du hast zwei Seiten und einen eingeschlossenen Winkel gegeben.

Aufgabe:

Du hast ein Dreieck mit den Seitenlängen b=6cm$b=6cm$ und c=5cm$c=5cm$ gegeben. Außerdem ist dir der Winkel α=67°$\alpha =67°$ bekannt. Wie lang ist die Seite a?

Zuerst sollten wir uns davon überzeugen, dass der Kosinussatz in diesem Dreieck funktioniert. Dazu fertigen wir eine Skizze an:

Die Seiten b$b$ und c$c$ schließen den Winkel α$\alpha$ ein. Also haben wir zwei Seiten und einen eingeschlossenen Winkel gegeben und können die gesuchte Seite mit dem Kosinussatz berechnen.

Die Formel zum Kosinussatz gibt es in drei Varianten. Wir wählen die Formel, die uns die gesuchte Seite (α)$(\alpha )$ verrät:

a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos (\alpha )$

Hier brauchen wir nur unsere Werte einzusetzen:

a2=(6cm)2+(5cm)2−2⋅(6cm)⋅(5cm)⋅cos(67°)$a^2=(6cm{)}^2+(5cm{)}^2-2\cdot (6cm)\cdot (5cm)\cdot \cos (67°)$

Wir rechnen aus:

a2=36cm2+25cm2−60cm2⋅cos(67°)$a^2=36c{m}^2+25c{m}^2-60c{m}^2\cdot \cos (67°)$

a2≈61cm2−60⋅0,39≈61cm2−23,4≈37,6$a^2\approx 61c{m}^2-60\cdot 0,39\approx 61c{m}^2-23,4\approx 37,6$

a≈37,6−−−−√≈6,13cm$a\approx \sqrt{37,6}\approx 6,13cm$

Fertig!

Nicht immer kannst du die Formeln für den Kosinussatz direkt anwenden. Oft muss der Kosinussatz erst umgestellt werden – nämlich immer, wenn du mit dem Kosinussatz Winkel berechnen sollst. 

Sehen wir uns näher an, wie du den Kosinussatz nach einem Winkel umstellen kannst. 

Für den Kosinussatz im allgemeinen Dreieck gilt: Im Fall, dass alle drei Seiten gegeben sind (sss), kannst du mit dem Kosinussatz jeden beliebigen Winkel berechnen. 

Aufgabe:

Gegeben sind die drei Seitenlängen eines Dreiecks: a=5cm$a=5cm$, b=10cm$b=10cm$ und c=7cm$c=7cm$. Berechne den Winkel Alpha (α)$(\alpha )$.

Wir müssen also den Kosinussatz nach Alpha umstellen. Das geht so:

a2=b2+c2−2bc⋅coscos(α)|−a2$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\cos (\alpha )|-a^2$

0=−a2+b2+c2−2bc⋅codcos(α)|+2bc⋅coscos(α)$0=-a^2+b^2+c^2-2bc\cdot cod\cos (\alpha )|+2bc\cdot cos\cos (\alpha )$

2bc⋅coscos(α)=−a2+b2+c2|÷2bc$2bc\cdot cos\cos (\alpha )=-a^2+b^2+c^2|÷2bc$

coscos(α)=−a2+b2+c22bc|cos−1$cos\cos (\alpha )=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}|co{s}^{-1}$

α=cos−1(−a2+b2+c22bc)$\alpha ={\cos }^{-1}(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc})$

Mit dem umgestellten Kosinussatz können wir nun unsere Aufgabe lösen, indem wir unsere Werte in die Formel einsetzen:

α=cos−1(−a2+b2+c22bc)$\alpha ={\cos }^{-1}(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc})$

α=cos−1(−(5cm)2+(10cm)2+(7cm)22⋅(10cm)⋅(7cm))=cos−1(−25cm2+100cm2+49cm2140cm2)$\alpha ={\cos }^{-1}(\frac{-(5cm{)}^2+(10cm{)}^2+(7cm{)}^2}{2\cdot (10cm)\cdot (7cm)})={\cos }^{-1}(\frac{-25c{m}^2+100c{m}^2+49c{m}^2}{140c{m}^2})$

α≈27,67°$\alpha \approx 27,67°$

Nicht immer brauchst du für die Schule die Herleitung des Kosinussatzes. Falls deine Lehrer:innen das aber erwarten, zeigen wir dir hier den Beweis für den Kosinussatz. 

Er funktioniert über den Satz des Pythagoras. Der Kosinussatz gilt ja im allgemeinen Dreieck, der Satz des Pythagoras hingegen nur im rechtwinkligen Dreieck. Der Weg zum Beweis des Kosinussatzes führt daher übers rechtwinklige Dreieck. 

Dazu teilen wir ein allgemeines Dreieck entlang seiner Höhe in zwei Teile, sodass zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen. 

Jetzt haben wir also zwei rechtwinklige Dreiecke, ein linkes und ein rechtes.

Schritt: 1 Formeln im linken Dreieck

Schauen wir uns zuerst das linke Dreieck genauer an. Im rechtwinkligen Dreieck gilt folgende Regel:

sinsin(α)=GegenkatheteHypotenuse$sin\sin (\alpha )=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Übertragen auf unser linkes Dreieck bedeutet das:

sinsin(α)=mcb$sin\sin (\alpha )=\frac{m_c}{b}$

Diese Formel stellen wir jetzt nach mc$m_c$ um:

mc0b⋅sin(α)$m_{c}0b\cdot \sin (\alpha )$

Außerdem gilt:

coscos(α)=AnkatheteHypotenuse$cos\cos (\alpha )=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Übertragen auf unser Dreieck:

coscos(α)=c1b$cos\cos (\alpha )=\frac{c_1}{b}$

Diese Formel stellen wir nach c1$c_1$ um:

c1=b⋅cos(α)$c_1=b\cdot \cos (\alpha )$

Merken wir uns diese beiden Ergebnisse:

hc=b⋅sin(α)$h_c=b\cdot \sin (\alpha )$

c1=b⋅cos(α)$c_1=b\cdot \cos (\alpha )$

Wir brauchen sie gleich noch!

Schritt 2: Formeln im rechten Dreieck

Jetzt gehen wir zum rechten rechtwinkligen Dreieck. Hier arbeiten wir mit dem Satz des Pythagoras:

a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$

(Seitenlänge1)2+(Seitenlänge2)2=Hypotenuse2$(Seitenlänge1{)}^2+(Seitenlänge2{)}^2=Hypotenus{e}^2$

• Die Hypotenuse (in der Formel: c2)$c^2)$ des rechten rechtwinkligen Dreiecks ist die Seite a$a$.
• Die Seitenlängen 1 und 2 dieses Dreiecks sind die Höhe hc$h_c$ und die Teilseite c2$c_2$.

Deshalb können wir die Formel für den Satz des Pythagoras so umschreiben:

a2=h2c+c22$a^2=h_c^2+c_2^2$

Außerdem können wir die Teilseite c2$c_2$ noch anders schreiben. Dieses Stück ist nämlich genau c−c1$c-c_1$.

Für unsere Formel bedeutet das:

a2=h2c+(c−c1)2$a^2=h_c^2+(c-c_1{)}^2$

Schritt 3: Formeln aus Schritt 1 einsetzen

In Schritt 1 haben wir uns diese beiden Formeln erarbeitet und gemerkt:

hc=b⋅sin(α)$h_c=b\cdot \sin (\alpha )$

c1=b⋅cos(α)$c_1=b\cdot \cos (\alpha )$

In Schritt 2 haben wir diese Gleichung erarbeitet:

a2=h2c+(c−c1)2$a^2=h_c^2+(c-c_1{)}^2$

Wir setzen jetzt die beiden Formeln aus Schritt 1 in unsere Gleichung aus Schritt 2 ein:

a2=(b⋅sinsin(α))2+(c−b⋅coscos(α))2$a^2=(b\cdot sin\sin (\alpha ){)}^2+(c-b\cdot cos\cos (\alpha ){)}^2$

Jetzt kommen noch ein paar Umformungen!

Schritt 4: Gleichung umformen

a2=(b⋅sinsin(α))2+(c−b⋅coscos(α))2$a^2=(b\cdot sin\sin (\alpha ){)}^2+(c-b\cdot cos\cos (\alpha ){)}^2$

Zuerst multiplizieren wir die Klammern aus. Dazu werden wir die Potenzgesetze (links) und die binomischen Formeln (rechts) an.

a2=b2⋅sin2(α)+c2−2cb⋅coscos(α)+(b⋅coscos(α))2$a^2=b^2\cdot {\sin }^2(\alpha )+c^2-2cb\cdot cos\cos (\alpha )+(b\cdot cos\cos (\alpha ){)}^2$

Wir brauchen noch einemal die Potenzgesetze für die Teile sin2(α)${\sin }^2(\alpha )$ und (b⋅coscos(α))2$(b\cdot cos\cos (\alpha ){)}^2$:

a2=b2⋅sin(α)2+c2−2cb⋅coscos(α)+b2⋅cos2(α)$a^2=b^2\cdot \sin (\alpha {)}^2+c^2-2cb\cdot cos\cos (\alpha )+b^2\cdot {\cos }^2(\alpha )$

Wir ändern ein wenig die Reihenfolge der Terme:

a2=c2−2cb⋅coscos(α)+b2⋅cos2(α)+b2⋅sin(α)2$a^2=c^2-2cb\cdot cos\cos (\alpha )+b^2\cdot {\cos }^2(\alpha )+b^2\cdot \sin (\alpha {)}^2$

Jetzt klammern wir b^2 aus:

a2=c2−2cb⋅coscos(α)+b2⋅(cos2(α))+sin2(α))$a^2=c^2-2cb\cdot cos\cos (\alpha )+b^2\cdot ({\cos }^2(\alpha ))+{\sin }^2(\alpha ))$

Jetzt wenden wir einen Trick an. In der Trigonometrie gilt nämlich:

Und damit wird unsere Gleichung deutlich einfacher, denn der ganze farbig markierte Teil wird dadurch 1:

a2=c2−2cb⋅coscos(α)+b2⋅(cos2(α))+sin2(α)$a^2=c^2-2cb\cdot cos\cos (\alpha )+b^2\cdot ({\cos }^2(\alpha ))+si{n}^2(\alpha )$

Somit lautet unsere Gleichung nur noch:

a2=c2−2cb⋅coscos(α)+b2$a^2=c^2-2cb\cdot cos\cos (\alpha )+b^2$

Jetzt ändern wir wieder ein wenig die Reihenfolge:

a2=b2+c2−2cb⋅cos(α)$a^2=b^2+c^2-2cb\cdot \cos (\alpha )$

Kommt dir das bekannt vor? Das ist genau die erste Zeile im Kosinussatz!

Somit ist die Herleitung für den Kosinussatz gelungen.

• Der Kosinussatz ist in der Trigonometrie zusammen mit dem Sinussatz ein wichtiger Satz für Berechnungen in einem beliebigen (auch nicht rechtwinkligen) Dreieck.
  
• Du kannst mit dem Kosinussatz Seitenlängen berechnen, wenn du die anderen beiden Seiten und einen eingeschlossenen Winkel gegeben hast.
  
• Wenn du alle drei Seiten gegeben hast, kannst du mit der Formel für den Kosinussatz alle Winkel berechnen.
  
• Gegebenenfalls musst du die Formel für den Kosinussatz umstellen, um die gewünschte Größe zu ermitteln. 
  
• Der Kosinussatz ist für ein rechtwinkliges Dreieck auch geeignet – aber meist ist die Rechnung mit dem Satz des Pythagoras oder der einfachen Sinus-, Cosinus- oder Tangensfunktion einfacher.