Mathematik – Ableitung Sinus

Wie sieht eigentlich die Ableitung des Sinus aus? Die Ableitung des Sinus ist der Cosinus. Warum das so ist, zeigen wir dir graphisch. Außerdem erklären wir dir an Beispielen, wie du auch kompliziertere Sinusfunktionen ableiten kannst. 

Erinnerst du dich noch, was eine Ableitung ist? Die Ableitung einer Funktion zeigt dir, wie groß die Steigung des Funktionsgraphen ist. Schauen wir uns das gleich einmal mit der Ableitung des Sinus an.

So sieht der Funktionsgraph der Sinusfunktion (sin)$(sin)$ aus:

Wenn wir sin ableiten wollen, müssen wir die Steigung des Funktionsgraphen untersuchen. Sie ist nicht an jeder Stelle leicht abzulesen. An einigen sehr typischen Stellen kannst du sie jedoch gut erkennen:

•  Bei x=−π$x=-\pi$ beträgt die Steigung genau −1$-1$.
  
• Bei x=−π2$x=-\frac{\pi }{2}$ hat die Funktion einen Tiefpunkt. Das ist also ein Extrempunkt, und dort ist die Steigung immer 0.
  
• Bei x=0$x=0$ ist die Steigung genau 1$1$.
  
• Bei x=π2$x=\frac{\pi }{2}$ befindet sich noch ein Extrempunkt, diesmal ein Maximum. Die Steigung ist wieder 0$0$.
  
• Bei x=π$x=\pi$ endet die Periode - die Steigung ist hier wieder −1$-1$.
  

Diese Punkte können wir nun markieren und dazu die Steigung in diesen Punkten eintragen.

Hier sind die Punkte für die Steigung eingetragen:

Jetzt erkennst du vielleicht schon, welche Funktion sich dahinter verbirgt? So sieht sie aus:

f(x)=sin sin(x)$f(x)=\sin sin(x)$

f′(x)=cos(x)$f^{\prime }(x)=cos(x)$

Die Ableitungen von Sinus und Cosinus hängen eng miteinander zusammen – sie bilden sozusagen einen Kreislauf:

• Die Ableitung von Sinus(x)$Sinus(x)$ ist Cosinus(x)$Cosinus(x)$.
• Die Ableitung von Cosinus(x)$Cosinus(x)$ ist minusSinus(x)$minusSinus(x)$.
• Die Ableitung von minus Sinus(x)$minusSinus(x)$ ist minusCosinus(x)$minusCosinus(x)$.
• Die Ableitung von minus Cosinus(x)$minusCosinus(x)$ ist Sinus(x)$Sinus(x)$.

Hier schließt sich also der „Ableitungskreislauf“ und beginnt von vorn.

Was wir dir bisher zur Ableitung des Sinus gezeigt haben, funktioniert nur dann, wenn du sin(x)$sin(x)$ ableiten willst. Sobald du eine kompliziertere Funktion innerhalb der Sinusfunktion hast, musst du weitere Ableitungsregeln anwenden – allen voran die Kettenregel. 

Die Kettenregel

Diese Formel brauchst du, um verkettete Funktionen abzuleiten:

f(x)=g(h(x))$f(x)=g(h(x))$

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

Wie funktioniert das? Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Beispiel:

Du sollst die Funktion f(x)=sin(x3+4x)$f(x)=sin(x^3+4x)$ ableiten.

Damit du die Kettenregel anwenden kannst, musst du zuerst herausfinden, welche die äußere Funktion g(x)$g(x)$ und welche die innere Funktion h(x)$h(x)$ ist. Hier ist die Sinusfunktion die äußere Funktion, denn sie schließt die andere Funktion ein.

Wir schreiben beide Teilfunktionen auf:

g(x)=sin sin(x)$g(x)=\sin sin(x)$

h(x)=x3+4x$h(x)=x^3+4x$

Jetzt leiten wir noch beide Funktionen separat ab.

Tipp: Wenn du es brauchst, wiederhole dazu die Ableitungsregeln! Wie der Sinus abgeleitet wird, weißt du ja schon. 

g′(x)=cos(x)$g^{\prime }(x)=cos(x)$

h′(x)=3x2+4$h^{\prime }(x)=3x^2+4$

Das müssen wir jetzt nur noch in die Formel für die Kettenregel einsetzen. Wir markieren alles mit Farben, damit es leichter zu erkennen ist:

f(x)=g(h(x))=sin(x3+4x)$f(x)=g(h(x))=sin(x^3+4x)$

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)=cos cos(x3+4x)⋅(3x2+4)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)=\cos cos(x^3+4x)\cdot (3x^2+4)$

Du hast erfolgreich die erste Ableitung von Sinus(x)$Sinus(x)$ gebildet.

Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Du sollst die Ableitung von Sinus hoch 2 bilden:

f(x)=sin2(x)$f(x)=si{n}^2(x)$

Dafür kannst du auch schreiben:

f(x)=(sin sin(x))2$f(x)=(\sin sin(x){)}^2$

Auch hier musst du die Kettenregel anwenden. Diesmal ist die Sinusfunktion die innere Funktion, umschlossen von der Potenzfunktion. Wir schreiben auf:

g(x)=()2$g(x)=({)}^2$

Da wir unsere innere und äußere Funktion schon bestimmt und abgeleitet haben, können wir sofort einsetzen:

f′(x)=cos cos(x)⋅sin sin(x)+sin(x)⋅cos(x)$f^{\prime }(x)=\cos cos(x)\cdot \sin sin(x)+sin(x)\cdot cos(x)$

Das können wir vereinfachen und erhalten dann das gleiche Ergebnis wie oben:

f′(x)=2⋅sin(x)⋅cos(x)$f^{\prime }(x)=2\cdot sin(x)\cdot cos(x)$

h(x)=sin(x)$h(x)=sin(x)$

Wieder leiten wir beide Funktionen ab:

g(x)=()2$g(x)=({)}^2$

h(x)=sin(x)$h(x)=sin(x)$

Wieder leiten wir beide Funktionen ab:

g′(x)=2⋅()$g^{\prime }(x)=2\cdot ()$

h′(x)=cos(x)$h^{\prime }(x)=cos(x)$

Und wir setzen in die Formel für die Kettenregel ein:

f′(x)=g′(h(x))cdoth′(x)=2⋅sin(c)⋅cos(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))cdot{h}^{\prime }(x)=2\cdot sin(c)\cdot cos(x)$

Du hast noch eine zweite Möglichkeit, die Ableitung von Sinus zum Quadrat zu bilden. Du kannst die Funktion nämlich auch so schreiben:

f(x)=(sin sin(x))2=sin(x)⋅sin(x)$f(x)=(\sin sin(x){)}^2=sin(x)\cdot sin(x)$

Dann hast du ein Produkt aus zwei Faktoren. Solche Produkte leitest du mit der Produktregel ab.

Produktregel

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

Du wirst sicher vielen Übungen zur Ableitung von Sinus und Cosinus begegnen, in denen du unterschiedliche Ableitungsregeln anwenden musst. Hier einige Beispiele – auf den dazugehörigen Seiten kannst du dann mehr über die entsprechenden Ableitungsregeln lesen:

• Für einfache Ableitungen wie Sinus (2x) brauchst du neben der Kettenregel sehr häufig auch die Faktor- und Potenzregel.
  
• Willst du die Sinusfunktion in Summen oder Differenzen ableiten, brauchst du die Summen- und Differenzregel. 
  
• Ableitung von Sinus im Bruch: Um Funktionen in Brüchen abzuleiten, brauchst du die Quotientenregel. 
  

Was du dir vor allem merken musst, ist die Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion und den Ableitungskreislauf, den wir dir oben vorgestellt haben. Dann meisterst du die Ableitungen ganz leicht! 

• Die 1. Ableitung der Sinusfunktion ist die Cosinusfunktion. 
  
• Die 2. Ableitung des Sinus ist minus Sinus. 
  
• Meist tritt die Sinusfunktion nicht allein, sondern als verkettete Funktion auf. Dann brauchst du für die sin-Ableitung die Kettenregel. 
  
• Außerdem brauchst du je nach Aufgabe weitere Ableitungsregeln – zum Beispiel die Faktor- und Potenzregel oder die Produktregel. 
  
• Wichtig ist vor allem, dass du immer genau aufschreibst, welche die innere und die äußere Funktion ist. Dann klappt auch das Ableiten!