Mathematik – Scheitelpunkt

Erinnerst du dich, wie der Graph einer quadratischen Funktion aussieht? Es ist eine Parabel. So sieht eine Parabel aus:

Das ist die Normalparabel. Sie gehört zur Funktion f(x)=x2$f(x)=x^2$. Ganz unten im Graphen siehst du den Scheitelpunkt der Normalparabel. Es ist der tiefste Punkt der Parabel.

Parabeln können unterschiedlich aussehen. Manche sind nach oben geöffnet, andere nach unten:

Parabeln können auch gestreckt oder gestaucht sein:

In jedem Fall gilt aber: Jede Parabel einer quadratischen Funktion hat einen Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Du hast verschiedene Möglichkeiten, den Scheitelpunkt herauszufinden:

1. Manchmal hast du Glück und kannst den Scheitelpunkt ablesen (am Graphen).
2. Du kannst den Scheitelpunktpunkt aus der Funktionsgleichung bestimmen, wenn sie in der Scheitelpunktform vorliegt.
3. Mit einer Formel kannst du aus der allgemeinen Form den Scheitelpunkt berechnen.
4. Du kannst den Scheitelpunkt mit Nullstellen berechnen, wenn deine Funktion Nullstellen hat.
5. Und schließlich kannst du den Scheitelpunkt mithilfe der Ableitung berechnen.

Ziemlich viele Möglichkeiten, oder? Und wir schauen uns jetzt zu allen Beispiele an!

Manchmal sind deine Lehrer:innen so nett und stellen dir eine Funktion zur Verfügung, bei der du den Scheitelpunkt direkt ablesen kannst. Sie könnte zum Beispiel so aussehen:

Hier musst du die Funktion nicht kennen, um den Scheitelpunkt herauszufinden: Er liegt bei (−2∣3)$(-2\mid 3)$. 

Du hast nicht so viel Glück? Kein Problem, wir helfen dir weiter!

Tipp: Schau dir unsere Seite zur Scheitelpunktform an, wenn du dich in dem Thema noch nicht fit fühlst.

Die Scheitelpunktform heißt nicht ohne Grund so: Du kannst aus quadratischen Gleichungen den Scheitelpunkt der Parabel bestimmen, ohne zu rechnen – wenn du die Scheitelpunktform gegeben hast.

Allgemein geschrieben sieht sie so aus:

f(x)=a⋅(x−d)2+e$f(x)=a\cdot {(x-d)}^2+e$

Die wichtigen Variablen sind hier d und e, denn mit ihnen kannst du sofort den Scheitelpunkt angeben: Es liegt bei S(d∣e)$S(d\mid e)$.

Beispiel:

Deine Gleichung lautet:

f(x)=2⋅(x−5)2+3$f(x)=2\cdot {(x-5)}^2+3$

Der Scheitelpunkt liegt bei:

S(5∣3)$S(5\mid 3)$

Vorsicht: Du musst beim Ablesen auf das Vorzeichen achten. Steht in der Klammer ein Minuszeichen, dann hat die Koordinate d ein positives Vorzeichen – bei einem Pluszeichen in der Klammer musst du ein negatives Vorzeichen setzen. Für die Koordinate e ist das leichter zu merken: Positives Vorzeichen bleibt positives Vorzeichen – und umgekehrt. 

Okay! Schauen wir jetzt an, wie du in Aufgaben den Scheitelpunkt berechnen kannst, die dir nicht freundlicherweise in der Scheitelpunktform gegeben werden.

Wenn deine Gleichung in allgemeiner Form gegeben ist, kannst du mit einer Formel den Scheitelpunkt berechnen:

S(−b2a∣c−b24a)$S(-\frac{b}{2a}\mid c-\frac{b^2}{4a})$

Schritt für Schritt! 

So sieht die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung aus:

f(x)=a⋅x2+b⋅x+c$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Beispiel:

f(x)=−12x2−2x+3$f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2-2x+3$

Um die Koordinaten des Scheitelpunkts zu berechnen, musst du zuerst a, b und c ablesen:

a=−12$a=-\frac{1}{2}$

b=−2$b=-2$

c=3$c=3$

Jetzt kannst du mit dieser Formel den Scheitelpunkt der Parabel finden:

S(−b2a∣c−b24a)$S(-\frac{b}{2a}\mid c-\frac{b^2}{4a})$

Dazu setzen wir die Werte ein, die wir abgelesen haben:

S(−−22(−12)∣3−(−2)24(−12))$S(-\frac{-2}{2(-\frac{1}{2})}\mid 3-\frac{(-2{)}^2}{4(-\frac{1}{2})})$

Sieht ganz schön kompliziert aus! Aber wir vereinfachen das, indem wir erst einmal kürzen: 

S(−−2−1∣3−4−2)$S(-\frac{-2}{-1}\mid 3-\frac{4}{-2})$

Und die Vorzeichen gehen auch noch einfacher:

S(−21∣3+42)$S(-\frac{2}{1}\mid 3+\frac{4}{2})$

Und schließlich:

(−2∣5)$(-2\mid 5)$

Überprüfen wir das am Graphen:

Stimmt!

Tipp: Wenn deine Gleichung in Normalform vorliegt (also ohne Faktor a vor der Variablen), dann setzt du a=1$a=1$ ein, um den Scheitelpunkt in der Normalform zu berechnen. 

Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln
Eine weitere Möglichkeit ist es, deine Gleichung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umzuwandeln und so den Scheitelpunkt der Funktion zu bestimmen. Hier hilft dir die quadratische Ergänzung, den Scheitelpunkt zu berechnen, oder du kannst die binomischen Formeln rückwärts anwenden.

Die Parabel einer quadratischen Funktion ist achsensymmetrisch. Das bedeutet, dass du sie an einer Senkrechten durch den Scheitelpunkt spiegeln kannst. Wir können uns das bei der Berechnung des Scheitelpunkts zunutze machen, und zwar so:

Wenn eine quadratische Funktion Nullstellen hat, dann liegt der x-Wert des Scheitelpunkts genau zwischen den beiden x-Werten der Nullstellen.

Aber Vorsicht: Nicht jede quadratische Funktion hat Nullstellen. Diese hier zum Beispiel nicht, denn sie schneidet die x-Achse nicht:

Wenn deine Funktion aber Nullstellen hat, dann setzt du einfach die Funktionsgleichung gleich null und löst nach x auf. Wir nehmen als Beispiel diese Gleichung:

 f(x)=x2−6x+8$f(x)=x^2-6x+8$

Wir verwenden in diesem Fall die p-q-Formel und ermitteln Nullstellen bei:

x1=2$x_1=2$

x2=4$x_2=4$

Da der Scheitelpunkt dazwischen liegen muss, wissen wir: Der x-Wert unseres Scheitelpunkts ist x=3$x=3$. Diesen Wert setzen wir jetzt noch in unsere ursprüngliche Gleichung ein, um den y-Wert zu ermitteln:

f(3)=32−6⋅3+8=9−18+8=−1$f(3)=3^2-6\cdot 3+8=9-18+8=-1$

Unser Scheitelpunkt liegt bei S(3∣−1)$S(3\mid -1)$.

Tipp: Wenn eine Parabel nur eine Nullstelle hat, dann ist diese Nullstelle zugleich der Scheitelpunkt.

Diese Berechnung des Scheitelpunkts lernst du erst in höheren Klassen kennen, wenn du dich schon mit den Ableitungsregeln beschäftigt hast. Wenn du noch nicht so weit bist, kannst du diesen Abschnitt überspringen.

Die Ableitung gibt dir die Steigung des Funktionsgraphen an. Schauen wir uns noch einmal das Bild einer Parabel an:

Wir wollen jetzt die Steigung im Scheitelpunkt der Parabel bestimmen und stellen fest: Es gibt dort keine Steigung – sie ist gleich null.

Um den Scheitelpunkt zu berechnen, kannst du also die erste Ableitung der Funktionsgleichung gleich null setzen. Wir nehmen als Beispiel diese Funktion:

f(x)=x2−4x+2$f(x)=x^2-4x+2$

Davon bilden wir die erste Ableitung:

f′(x)=2x−4$f^{\prime }(x)=2x-4$

Und die setzen wir jetzt gleich null, um den Scheitelpunkt zu ermitteln: 

2x−4=0$2x-4=0$

Das können wir leicht nach x auflösen:

2x−4=0∣+4$2x-4=0\mid +4$

2x=4∣÷2$2x=4\mid ÷2$

x=2$x=2$

Das ist der x-Wert unseres Scheitelpunkts. Jetzt müssen wir noch die y-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen. Dazu setzen wir unseren gefundenen x-Wert in die ursprüngliche Gleichung ein und berechnen den y-Wert:

f(2)=(2)2−4⋅2+2=4−8+2=−2$f(2)=(2{)}^2-4\cdot 2+2=4-8+2=-2$

Unser Scheitelpunkt ist:

S(2∣−2)$S(2\mid -2)$

Und so sieht der Graph dazu aus:

So kannst du den Scheitelpunkt jeder quadratischen Funktion berechnen!

• Der Scheitelpunkt ist bei einer quadratischen Funktion der höchste oder tiefste Punkt der Parabel, also das Maximum oder das Minimum des Graphen.
• Der Graph zeigt den Scheitelpunkt, aber nicht immer kannst du ihn exakt ablesen. Deshalb kannst du mit verschiedenen Verfahren den Scheitelpunkt berechnen.
• Wenn deine Gleichung in der Scheitelpunktform vorliegt, kannst du den Scheitelpunkt der Parabel direkt ablesen.
• Ansonsten kannst du den Scheitelpunkt mithilfe einer Formel aus der allgemeinen Form berechnen oder mithilfe der ersten Ableitung bestimmen.
• Wenn deine Funktion Nullstellen hat, kannst du auch darüber den Scheitelpunkt ermitteln, denn er liegt genau zwischen den beiden Nullstellen (oder exakt auf der Nullstelle, wenn es nur eine gibt).