Binomische Formeln

Wiki zum Thema: Binomische Formeln

Die erste binomische Formel

Die binomischen Formeln sind eine Verkürzung der Multiplikation von zwei Klammertermen.

Die erste binomische Formel lautet:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Beispiel:

(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9

Durch Ausmultiplizieren zeigt man die Gültigkeit der ersten binomischen Formel:

(a + b)^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Beispielaufgabe:

Berechne

(4 x + 7 y)^{2}

.

Lösung durch normales Ausmultiplizieren:

\begin{aligned} (4 x + 7 y)^{2} & = (4 x + 7 y) \cdot (4 x + 7 y) \\ = 4 x \cdot 4 x + 4 x \cdot 7 y + 7 y \cdot 4 x + 7 y \cdot 7 y \\ = 16 x^{2} + 28 x y + 28 x y + 49 y^{2} \\ = 16 x^{2} + 56 x y + 49 y^{2} \end{aligned}

Lösung durch Anwenden der ersten binomischen Formel:

\begin{aligned} (4 x + 7 y)^{2} & = (4 x)^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot (7 y) + (7 y)^{2} \\ = 16 x^{2} + 56 x y + 49 y^{2} \end{aligned}

Die zweite binomische Formel

Die binomischen Formeln sind eine Verkürzung der Multiplikation von zwei Klammertermen.

Die zweite binomische Formel lautet:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Beispiel:

(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9

Durch Ausmultiplizieren zeigt man die Gültigkeit der zweiten binomischen Formel:

(a - b)^{2} = (a - b) \cdot (a - b) = a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Beispielaufgabe:

Berechne

(4 x - 7 y)^{2}

.

Lösung durch normales Ausmultiplizieren:

\begin{aligned} (4 x - 7 y)^{2} & = (4 x - 7 y) \cdot (4 x - 7 y) \\ = 4 x \cdot 4 x + 4 x \cdot (- 7 y) + (- 7 y) \cdot 4 x + (- 7 y) \cdot (- 7 y) \\ = 16 x^{2} - 28 x y - 28 x y + 49 y^{2} \\ = 16 x^{2} - 56 x y + 49 y^{2} \end{aligned}

Lösung durch Anwenden der zweiten binomischen Formel:

\begin{aligned} (4 x - 7 y)^{2} & = (4 x)^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot (- 7 y) + (- 7 y)^{2} \\ = 16 x^{2} - 56 x y + 49 y^{2} \end{aligned}

Die dritte binomische Formel

Die binomischen Formeln sind eine Verkürzung der Multiplikation von zwei Klammertermen.

Die dritte binomische Formel lautet:

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}

Beispiel:

(x + 3) \cdot (x - 3) = x^{2} - 9

Bei der dritten binomischen Formel werden im Gegensatz zu den ersten beiden Formeln zwei Klammern miteinander multipliziert, die verschiedene Rechenzeichen (

+

und

-

) in der Klammer enthalten. Dadurch fällt das Ergebnis kürzer aus.

Warum dies der Fall ist, sieht man durch Ausmultiplizieren der dritten binomischen Formel:

(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + b a - b^{2} = a^{2} - b^{2}

(da

a b = b a

gilt)

Man sieht, dass die beiden mittleren Glieder (

a b

bzw.

b a

) wegfallen, da sie unterschiedliche Vorzeichen haben und sich so gegenseitig aufheben.

Beispielaufgabe:

Berechne

(4 x + 7 y) \cdot (4 x - 7 y)

.

Lösung durch normales Ausmultiplizieren:

\begin{aligned} (4 x + 7 y) \cdot (4 x - 7 y) & = 4 x \cdot 4 x + 4 x \cdot (- 7 y) + 7 y \cdot 4 x + 7 y \cdot (- 7 y) \\ = 16 x^{2} - 28 x y + 28 x y - 49 y^{2} \\ = 16 x^{2} - 49 y^{2} \end{aligned}

Lösung durch Anwenden der dritten binomischen Formel:

\begin{aligned} (4 x + 7 y) \cdot (4 x - 7 y) & = (4 x)^{2} - (7 y)^{2} \\ = 16 x^{2} - 49 y^{2} \end{aligned}

Arbeitsblätter

Binomische Formeln
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 2259
Binomische Formeln
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 2260
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 2261

Algebra

Schwierigkeitsgrad 1/Serie 01

Aufgabe 1

Welche binomische Formel ist es? Verbinde.

a)	(b − c)²	1. Binomische Formel
b)	(s + r) (s – r)	2. Binomische Formel
c)	(d + e)²	3. Binomische Formel

Aufgabe 2

Schreibe die binomische Formel aus.

a)	(a + b)² = ________________________	b)	(x – y)² = ________________________
c)	(x + 2)² = ________________________	d)	(a – 4)² = ________________________
e)	(3 + t)² = ________________________	f)	(5 – u)² = ________________________
g)	(u + 2v)² = ________________________	h)	(3r – t)² = ________________________
i)	(2x + 3)² = ________________________	j)	(4x – 1)² = ________________________

Aufgabe 3

Schreibe die binomische Formel aus.

a)	(s + t) (s – t) = ___________________	b)	(a + 2) (a – 2) = ___________________
c)	(4 – u) (4 + u) = ___________________	d)	(x – 1) (x + 1) = ___________________
e)	(2s + 2) (2s + 2) = ___________________	f)	(x – 2y) (x + 2y) = ___________________

Aufgabe 4

Schreibe die binomische Formel aus.

a)	(v – w)² = ___________________	b)	(r + 3t)² = ___________________
c)	(2x + 1)² = ___________________	d)	(a – 5t)² = ___________________
e)	(y + 2) (y – 2) = ___________________	f)	(3 + 2v)² = ___________________

Aufgabe 5

Schreibe die binomischen Formeln aus und fasse dann zusammen.

a)	(g + h)² + (g – h)² = ___________________________________________________ ___________________________________________________
b)	(a + b) (a – b) – (a + b)² = ___________________________________________________ ___________________________________________________

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