Hoch- und Tiefpunkt berechnen

Als Teil einer Kurvendiskussion wirst du sicher die Aufgabe bekommen, die Hochpunkte und Tiefpunkte einer Funktion zu berechnen. Was bedeutet das? Eine Funktion kannst du, wie du bereits weißt, grafisch darstellen. Zum Beispiel so:

Am Funktionsgraphen kannst du erkennen, dass die Funktion „Berge“ und „Täler“ hat. Dort befinden sich die sogenannten Extrempunkte, also entweder Hochpunkte („Berge“) oder Tiefpunkte („Täler“).

Interessant ist auch, dass eine Funktion mehrere solcher Berge und Täler haben kann. Daher kann es auch mehrere Hochpunkte und mehrere Tiefpunkte geben. Meist interessieren uns aber vor allem der höchste Punkt und der tiefste Punkt der gesamten Funktion. Von diesen kann es jeweils höchstens einen (aber auch keinen) geben. Diese Extrempunkte heißen globaler Hochpunkt (oder globales Maximum) und globaler Tiefpunkt (oder globales Minimum).

Was ist mit den verbleibenden „Bergen“ und „Tälern“? Diese Hoch- und Tiefpunkte sind in einer bestimmten Umgebung die höchsten Punkte. Man nennt sie deshalb lokale Extrempunkte bzw. lokales Maximum und lokales Minimum.

Hochpunkte und Tiefpunkte haben eine besondere Eigenschaft. Sie befinden sich nämlich an genau dem Punkt, an dem die Kurve ihr Monotonieverhalten verändert, an dem also eine bisher steigende Kurve zu einer fallenden Kurve wird oder umgekehrt. Damit dieser Übergang von steigend zu fallend oder von fallend zu steigend möglich ist, muss es einen Punkt geben, an dem die Kurve gar keine Steigung hat – weder eine positive noch eine negative. Und genau dort können sich Hochpunkte oder Tiefpunkte befinden.

Damit haben wir auch schon einen ersten Hinweis darauf, wie wir solche Extrempunkte berechnen können – wir dürfen uns mit der Steigung der Funktion beschäftigen. Schauen wir uns das einmal Schritt für Schritt an!

Zunächst einmal ermitteln wir mögliche Extremstellen. Das sind Stellen, an denen sich Extrempunkte befinden könnten, aber nicht müssen. Das gelingt uns in folgenden zwei Schritten:

1. Bilde die erste Ableitung der Funktion.

2. Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung.
Auf diese Weise ermittelst du Stellen, an denen die Steigung deiner Funktion gleich Null ist. Wie du bereits weißt, können sich Hochpunkte und Tiefpunkte nur hier verbergen.

Wenn wir mögliche Extremstellen gefunden haben, prüfen wir nun, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. Das müssen wir tun, da es auch noch eine dritte Möglichkeit gibt: Es könnte nämlich sein, dass wir Sattelpunkte entdeckt haben. Mit der folgenden Prüfung schließen wir diese Möglichkeit aus:

3. Bilde die zweite Ableitung der Funktion.

4. Setze die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. 
    Mit dem Ergebnis kannst du prüfen, ob du Hoch- bzw. Tiefpunkte gefunden hast, denn es gilt: 
    f′′(x)>0→$f^{″}(x)>0\to$ Tiefpunkt
    f′′(x)<0→$f^{″}(x)<0\to$ Hochpunkt
    Und was, wenn f′′(x)=0$f^{″}(x)=0$ ist? Dann hast du möglicherweise einen Sattelpunkt gefunden, jedoch keinen Extrempunkt.

5. Setze die gefundenen Extremstellen in die ursprüngliche Gleichung ein. 
Waren Hoch- oder Tiefpunkte dabei, kennst du von diesen bereits den x-Wert (die sogenannte Extremstelle). Wenn du diesen in deine ursprüngliche Funktion f(x)$f(x)$ einsetzt, findest du auf diese Weise noch den y-Wert (den Extremwert) heraus. Beide Koordinaten zusammen ergeben deinen Extrempunkt. 

Gut zu wissen

Die wichtige Information aus Schritt 4 kannst du dir anhand einer Eselsbrücke gut merken:

Alles klar? Rechnen wir nun ein paar Beispiele dazu!

Wir beginnen mit einem ganz einfachen Beispiel zum besseren Verständnis und sehen uns danach noch ein etwas komplexeres Beispiel zum Üben und Vertiefen an.

Beispiel 1: Hochpunkt und Tiefpunkt in einem Polynom 2. Grades

Wir verwenden als Beispiel folgende Aufgabe:

Bestimme eventuelle Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion f(x)=x2$f(x)=x^2$.

Gehen wir das anhand der Schritte aus unserer Anleitung oben durch.

Schritt 1: Bilde die erste Ableitung der Funktion

Dazu brauchst du die Ableitungsregeln. Es ergibt sich:

f(x)=x2$f(x)=x^2$

f′(x)=2x$f^{\prime }(x)=2x$

Schritt 2: Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung

Das ist in diesem Fall ganz einfach:

2x=0 |:2$2x=0|:2$

x=0$x=0$

Wie du siehst, hat die erste Ableitung nur eine Nullstelle. Es gibt also auch nur einen möglichen Extrempunkt.

Schritt 3: Bilde die zweite Ableitung der Funktion

Das geht so:

f(x)=x2$f(x)=x^2$

f′(x)=2x$f^{\prime }(x)=2x$

f′′(x)=2$f^{″}(x)=2$

Schritt 4: Setze die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein

In der zweiten Ableitung gibt es gar keine Variable x$x$ mehr. Wir brauchen also auch nichts einzusetzen und können direkt ablesen:

f′′(x)>0→$f^{″}(x)>0\to$ Tiefpunkt

f′′(x)<0→$f^{″}(x)<0\to$ Hochpunkt

In diesem Fall gilt: f′′(x)=2$f^{″}(x)=2$. Das ist also größer als Null und wir haben daher die Extremstelle eines Tiefpunkts gefunden.

Schritt 5: Setze die gefundenen Extremstellen in die ursprüngliche Gleichung ein

Unsere ursprüngliche Gleichung lautet:

f(x)=x2$f(x)=x^2$

Wir setzen ein:

f(2)=22=4$f(2)=2^2=4$

Nun haben wir beide Koordinaten für unseren Tiefpunkt gefunden. Wir wissen jetzt:

T(2|4)$T(2|4)$

Damit sind wir fertig!

Beispiel 2: Hochpunkt und Tiefpunkt in einem Polynom 3. Grades:

Schauen wir uns zum Vertiefen eine etwas komplexere Funktion an:

f(x)=23x3+3x2+4x$f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+3x^2+4x$

Das Berechnen von Hochpunkt und Tiefpunkt, falls vorhanden, funktioniert genauso, wie wir es eben schon geübt haben.

Schritt 1: Bilde die erste Ableitung der Funktion

So sieht die erste Ableitung aus:

f(x)=23x3+3x2+4x$f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+3x^2+4x$

f′(x)=2x2+6x+4$f^{\prime }(x)=2x^2+6x+4$

Schritt 2: Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung

Wir setzen die erste Ableitung gleich Null:

0=2x2+6x+4$0=2x^2+6x+4$

Diese Gleichung können wir mithilfe der p-q-Formel lösen, wenn wir sie zuerst in die Normalform bringen:

0=2x2+6x+4 |:2$0=2x^2+6x+4|:2$

0=x2+3x+2$0=x^2+3x+2$

Nun können wir in die p-q-Formel einsetzen:

x1,2=−p2±(p2)2−q−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

x1,2=−32±(32)2−2−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2}$

x1,2=−32±(94)−84−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)-\frac{8}{4}}$

x1,2=−32±14−−√$x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

x1,2=−32±12$x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}$

x1=−32+12=−1$x_1=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1$

x2=−32−12=−2$x_2=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2$

Wir haben nun zwei Extremstellen gefunden, an denen möglicherweise Hoch-oder Tiefpunkte liegen könnten.

Diese untersuchen wir weiter.

Schritt 3: Bilde die zweite Ableitung der Funktion

Das geht so:

f(x)=23x3+3x2+4x$f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+3x^2+4x$

f′(x)=2x2+6x+4$f^{\prime }(x)=2x^2+6x+4$

f′′(x)=4x+6$f^{″}(x)=4x+6$

Schritt 4: Setze die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein

Folgende Nullstellen haben wir für die erste Ableitung gefunden:

x1=−1$x_1=-1$

x2=−2$x_2=-2$

Wir setzen diese in die zweite Ableitung f′′(x)=4x+6$f^{″}(x)=4x+6$ ein:

f′′(−1)=4⋅(−1)+6$f^{″}(-1)=4\cdot (-1)+6$

f′′(−1)=−4+6=2$f^{″}(-1)=-4+6=2$

Wir erinnern uns an die Regel:

f′′(x)>0→$f^{″}(x)>0\to$ Tiefpunkt

f′′(x)<0→$f^{″}(x)<0\to$ Hochpunkt

Unser Ergebnis der zweiten Ableitung, 2, ist größer als Null. Somit wissen wir sicher, dass bei x1=−1$x_1=-1$ ein Tiefpunkt liegt.

Schauen wir uns auch noch die zweite mögliche Extremstelle x2=−2$x_2=-2$ an. Wir setzen diese in die zweite Ableitung f′′(x)=4x+6$f^{″}(x)=4x+6$ ein:

f′′(−2)=4⋅(−2)+6$f^{″}(-2)=4\cdot (-2)+6$

f′′(−2)=−8+6=−2$f^{″}(-2)=-8+6=-2$

Unser Ergebnis ist kleiner als Null. Das bedeutet, bei x2=−2$x_2=-2$ liegt ein Hochpunkt.

Schritt 5: Setze die gefundenen Extremsellen in die ursprüngliche Gleichung ein

Nun müssen wir nur noch die jeweilige y-Koordinate für unsere beiden x-Werte berechnen. Unsere ursprüngliche Gleichung lautet:

f(x)=23x3+3x2+4x$f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+3x^2+4x$

Wir setzen nun zunächst x1=−1$x_1=-1$ ein:

f(−1)=23⋅(−1)3+3⋅(−1)2+4⋅(−1)$f(-1)=\frac{2}{3}\cdot (-1{)}^3+3\cdot (-1{)}^2+4\cdot (-1)$

f(−1)=−23+3−4$f(-1)=-\frac{2}{3}+3-4$

f(−1)=−23−1=−53$f(-1)=-\frac{2}{3}-1=-\frac{5}{3}$

Unser Tiefpunkt ist also T(−1|−53)$T(-1|-\frac{5}{3})$

Wir setzen noch x2=−2$x_2=-2$ in die ursprüngliche Gleichung ein, um auch den y-Wert für unseren Hochpunkt zu finden:

f(−2)=23⋅(−2)3+3⋅(−2)2+4⋅(−2)$f(-2)=\frac{2}{3}\cdot (-2{)}^3+3\cdot (-2{)}^2+4\cdot (-2)$

f(−2)=23⋅(−8)+3⋅4−8$f(-2)=\frac{2}{3}\cdot (-8)+3\cdot 4-8$

f(−2)=−163+12−8$f(-2)=-\frac{16}{3}+12-8$

f(−2)=−163+4$f(-2)=-\frac{16}{3}+4$

f(−2)=−163+123=−43$f(-2)=-\frac{16}{3}+\frac{12}{3}=-\frac{4}{3}$

Damit sind die Koordinaten für unseren Hochpunkt fertig:

H(−2|−43)$H(-2|-\frac{4}{3})$

Geschafft!

Meist ist das oben genannte Verfahren die einfachste Möglichkeit, Hoch- und Tiefpunkte zu berechnen. Du hast aber auch eine zweite Möglichkeit, bei der du die zweite Ableitung nicht brauchst. Lass uns zum Verständnis noch einmal die folgende Grafik ansehen:

Wie du bereits weißt, ist die Steigung einer Kurve im Hochpunkt oder Tiefpunkt (hier Maximum oder Minimum) gleich Null. Das gilt aber nur für diesen einen Punkt. Schau dir das lokale Maximum in der Grafik an: Du kannst deutlich sehen, dass links davon die Kurve steigt und rechts davon wieder fällt. Das kann man auch an der ersten Ableitung ablesen:

Lass uns also sagen, dass du bei x=−3$x=-3$ einen Hochpunkt vermutest. Du wählst nun einen x-Wert links und einen x-Wert rechts davon aus, um zu überprüfen, ob die Kurve links von deiner vermuteten Extremstelle ansteigt und rechts davon wieder abfällt. Prüfe zum Beispiel die Punkte x=−4$x=-4$ und x=−2$x=-2$. Du erwartest bei einem Hochpunkt folgendes Ergebnis:

f′(−4)>0$f^{\prime }(-4)>0$

f′(−3)=0$f^{\prime }(-3)=0$

f′(−2)<0$f^{\prime }(-2)<0$

Wenn du diese Ergebnisse erhältst, hast du gezeigt, dass sich bei x=−3$x=-3$ ein Hochpunkt befindet. Analog kannst du natürlich auch Tiefpunkte zeigen - dann müsste die Kurve links vom Punkt fallen und rechts davon wieder steigen.

Zur Kurvendiskussion gehört mehr als nur das Berechnen von Hochpunkten und Tiefpunkten. Damit dir alle Schritte gut gelingen, haben wir für dich ausführliche Erklärungen mit gut verständlichen Beispielen zusammengestellt. Hier findest du sie:

• Kurvendiskussion
• Ableitung
• Ableitungsregeln
• Extremstellen berechnen
• Monotonie
• Wendepunkt berechnen
• Wendetangente
• Sattelpunkt berechnen
• y-Achsenabschnitt berechnen