Textaufgaben Potenzen – online lernen

Sachaufgabe

Strategie

Wenn man eine Sachaufgabe oder Textaufgabe lösen will, wo die Funktionsgleichung zuerst noch bestimmt werden muss, kann man folgendermaßen vorgehen:

1. Man liest sich den Text aufmerksam durch.
2. Man unterstreicht oder schreibt die Informationen heraus, die im Text gegeben sind. Meist sind drei Informationen gegeben, damit man drei Gleichungen hat.
3. Dann nimmt man diese Informationen und stellt ein lineares Gleichungssystem auf. Man braucht immer so viele Gleichungen wie man unbekannte hat!
4. Man löst das Gleichungssystem und ermitteln die Werte für die Variablen.
5. Man berechnet das gesuchte Ergebnis.
6. Man schreibt einen Antwortsatz.
   

Tipps:

• Wenn man den Scheitelpunkt kennt, also z.B. den höchsten oder niedrigsten Punkt, so ist es sinnvoll die Variablen mit Hilfe der Scheitelpunktform zu bestimmen.
• Das lineare Gleichungssystem kann man mit dem Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Gleichsetzungsverfahren lösen.
• Es gibt für die unterschiedlichen Punkte, die du berechnen sollst, immer ein paar „Schlagwörter“. Zum Beispiel geht es bei der Bestimmung von Nullstellen meist um die Weite z.B. einer Kugel oder es wird danach gefragt, wann der Boden getroffen wird. Beim Scheitelpunkt wird immer nach der höchsten oder niedrigsten Höhe gefragt.

Extremstellen – Kriterium f''

Ein Punkt eines Funktionsgraphen heißt Hochpunkt oder Maximum (Tiefpunkt oder Minimum), wenn es in einer Umgebung keinen anderen Punkt gibt, der höher (tiefer) ist. Gleicheit ist also zugelassen.

Zur Berechnung von Extremstellen kann man folgendermaßen vorgehen:

Beispiel: Bestimme die Extrempunkte und die Art der Extrempunkte der Funktionen.

1. f(x)=12x3−32x+1$f(x)=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x+1$
2. g(x)=6x4+8x3+2$g(x)=6x^4+8x^3+2$
   

Extremstellen – Kriterium VZW

Ein Punkt eines Funktionsgraphen heißt Hochpunkt oder Maximum (Tiefpunkt oder Minimum), wenn es in einer Umgebung keinen anderen Punkt gibt, der höher (tiefer) ist. Gleichheit ist also zugelassen.

Zur Berechnung von Extremstellen geht man folgendermaßen vor:

Beispiel: Bestimme die Extrempunkte und die Art der Extrempunkte.

1. f(x)=12x3−32x+1$f(x)=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x+1$
2. g(x)=6x4+8x3+2$g(x)=6x^4+8x^3+2$
   

Extremstellen (lokales Maximum und Minimum)

Ein lokales Maximum (Minimum) bezeichnet den Wert an einer Stelle einer Funktion, in deren Umgebung sie keine Werte annimmt, die größer (kleiner) sind.

Globale Maxima (Minima) sind die größten (kleinsten) Werte, welche die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich annimmt. Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist der Scheitelpunkt ein globales Minimum, da die Funktion nirgendwo einen niedrigeren Wert annimmt. Ein Maximum existiert jedoch nicht, da sie gegen +∞ läuft.

Sowohl Maxima als auch Minima zeichnen sich dadurch aus, dass an ihnen die Steigung der Funktion – also die Ableitung – den Wert 0 annimmt. Dies ist jedoch auch an Sattelpunkten der Fall (siehe Wiki: Sattelpunkte). Die Unterscheidung zwischen Minimum, Maximum und Sattelpunkt geschieht entweder mithilfe der zweiten Ableitung oder indem man die erste Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel (VZW) an der entsprechenden Stelle überprüft.

Notwendiges Kriterium: 

f′(x0)=0$f^{\prime }(x_0)=0$

Hinreichendes Kriterium: 

f′′(x0)>0→$f^{″}(x_0)>0\to$ Minimum (Tiefpunkt)

f′′(x0)<0→$f^{″}(x_0)<0\to$ Maximum (Hochpunkt)

Bei f′′(x0)=0→$f^{″}(x_0)=0\to$ ist keine Aussage machbar, da dabei sowohl Extrempunkt als auch Sattelpunkt möglich sind. Hier kann dann nur mit dem VZW-Kriterium eine Entscheidung getroffen werden.

Beispielaufgabe:

Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x)=2x3+3x2−36x$f(x)=2x^3+3x^2-36x$. 

1. Notwendiges Kriterium (erste Ableitung mit 0 gleichsetzen):

• f′(x)=6x2+6x−36=0⇒x2+x−6=0$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-36=0\Rightarrow x^2+x-6=0$
• Lösen der quadratischen Gleichung, z.B. mit der pq-Formel, ergibt x1=−3;x2=2$x_1=-3;x_2=2$

2. Hinreichendes Kriterium (Lösungen in die zweite Ableitung einsetzen):

• f′(−3)=−30<0→$f^{\prime }(-3)=-30<0\to$ Maximum
• f′(2)=30>0→$f^{\prime }(2)=30>0\to$ Minimum

3. Punkte bestimmen (Lösungen in die Funktion einsetzen):

• f(−3)=81→HP (−3 | 81)$f(-3)=81\to HP(-3|81)$
• f(2)=−44→TP (2 |−44)$f(2)=-44\to TP(2|-44)$

Wendestellen

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.

Stelle dir die Funktion als einen Weg vor, den du aus der Vogelperspektive betrachtest. Nun fährst du auf einem Fahrrad genau diesen Weg entlang. Triffst du auf eine Rechtskurve lenkst du nach rechts, bei einer Linkskurve nach links. Wendepunkte sind genau dort zu finden, wo du für einen kurzen Moment geradeaus lenkst, da du von einer Rechts- zu einer Linkskurve wechselst oder umgekehrt. Dementsprechend bezeichnet man Wendestellen auch häufig als rechts-links- oder links-rechts-Wendestelle.

An Wendestellen gilt, dass dort die zweite Ableitung der Funktion den Wert 0 annimmt. Die Art der Wendestelle kann anschließend zum Beispiel an der dritten Ableitung überprüft werden.

Notwendiges Kriterium: 

f′′(x0)=0$f^{″}(x_0)=0$

Hinreichendes Kriterium: 

f′′′(x0)>0→$f^{‴}(x_0)>0\to$ rechts-links

f′′′(x0)<0→$f^{‴}(x_0)<0\to$ links-rechts

Beispielaufgabe:

Berechne die Wendepunkte der Funktion f(x)=2x4−12x2$f(x)=2x^4-12x^2$.

Lösung:

Bestimme f′(x)=8x3−24x;f′′(x)=24x2−24=0$f^{\prime }(x)=8x^3-24x;f^{″}(x)=24x^2-24=0$ und f′′(x)=48x$f^{″}(x)=48x$. 

1. Notwendiges Kriterium:

• f′′(x)=24x2−24=0⇒24x2=24⇒x2=1$f^{″}(x)=24x^2-24=0\Rightarrow 24x^2=24\Rightarrow x^2=1$
• Als Lösung erhält man damit
  x1=−1;x2=1$$x_1=-1;x_2=1$$
  .

2. Hinreichendes Kriterium:

• f′′′(−1)=−48<0→$f^{‴}(-1)=-48<0\to$ links-rechts
• f′′′(1)=48>0→$f^{‴}(1)=48>0\to$ rechts-links

3. Punkte berechnen:

• f(−1)=−10→WP1 (−1 |−10)$f(-1)=-10\to {\text{WP}}_1(-1|-10)$
• f(1)=−10→WP2 (1 |−10)$f(1)=-10\to {\text{WP}}_2(1|-10)$ 

Wendestellen – Kriterium f'''

Ein Wendepunkt ist ein Punkt eines Graphen, an dem sich die Richtung der Kurve, d.h. die Kurvenkrümmung, ändert. Man findet ihn, indem man die Extrempunkte der 1. Ableitung der Funktion bestimmt.

Beispiel: Bestimme die Wendepunkte.

1. f(x)=12x3−32x+1$f(x)=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x+1$
2. g(x)=6x4+8x3+2$g(x)=6x^4+8x^3+2$