Wendepunkt berechnen – online lernen

Wendestellen – Kriterium f'''

Ein Wendepunkt ist ein Punkt eines Graphen, an dem sich die Richtung der Kurve, d.h. die Kurvenkrümmung, ändert. Man findet ihn, indem man die Extrempunkte der 1. Ableitung der Funktion bestimmt.

Beispiel: Bestimme die Wendepunkte.

1. f(x)=12x3−32x+1
2. g(x)=6x4+8x3+2
   

Wendestellen

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.

Stelle dir die Funktion als einen Weg vor, den du aus der Vogelperspektive betrachtest. Nun fährst du auf einem Fahrrad genau diesen Weg entlang. Triffst du auf eine Rechtskurve lenkst du nach rechts, bei einer Linkskurve nach links. Wendepunkte sind genau dort zu finden, wo du für einen kurzen Moment geradeaus lenkst, da du von einer Rechts- zu einer Linkskurve wechselst oder umgekehrt. Dementsprechend bezeichnet man Wendestellen auch häufig als rechts-links- oder links-rechts-Wendestelle.

An Wendestellen gilt, dass dort die zweite Ableitung der Funktion den Wert 0 annimmt. Die Art der Wendestelle kann anschließend zum Beispiel an der dritten Ableitung überprüft werden.

Notwendiges Kriterium: 

f″(x0)=0

Hinreichendes Kriterium: 

f‴(x0)>0→ rechts-links

f‴(x0)<0→ links-rechts

Beispielaufgabe:

Berechne die Wendepunkte der Funktion f(x)=2x4−12x2.

Lösung:

Bestimme f′(x)=8x3−24x;f″(x)=24x2−24=0 und f″(x)=48x. 

1. Notwendiges Kriterium:

• f″(x)=24x2−24=0⇒24x2=24⇒x2=1
• Als Lösung erhält man damit x1=−1;x2=1
  .

2. Hinreichendes Kriterium:

• f‴(−1)=−48<0→ links-rechts
• f‴(1)=48>0→ rechts-links

3. Punkte berechnen:

• f(−1)=−10→WP1 (−1 |−10)
• f(1)=−10→WP2 (1 |−10)