Sattelpunkt berechnen

Wenn du dich mit der Kurvendiskussion beschäftigt hast, bist du sicher bereits auf Wendepunkte gestoßen. Diese zu berechnen, ist ein wichtiger Teil der Kurvendiskussion. Nach Sattelpunkten wird in der Regel nicht gefragt. Warum nicht? Weil sie zu den Wendepunkten gehören. Ein Sattelpunkt ist nämlich ein Spezialfall des Wendepunkts. Lass uns zum besseren Verständnis kurz noch einmal wiederholen, was Wendepunkte sind:

Hier kannst du sehr gut erkennen, dass die Kurve links vom Sattelpunkt steigt, dann in genau einem Punkt (dem Sattelpunkt S) keine Steigung hat und dann weiter ansteigt. Das ist ein wenig so, als würdest du mit deinem Rad einen Berg hinauffahren und dabei auf einem Plateau eine kurze Pause machen. Umgekehrt – den Berg hinunterfahren – funktioniert das natürlich auch.

Für die Kurve und damit auch die dazugehörige Funktion bedeutet das:

1. Die Steigung ist im Sattelpunkt gleich Null.
2. Die Kurve ändert ihr Krümmungsverhalten im Sattelpunkt, genau wie auch in einem Wendepunkt. 
   

Somit haben wir schon erste Hinweise darauf, wie wir Sattelpunkte berechnen können. Lass uns jetzt die Mathematik dahinter genauer betrachten.

Wir wissen bereits, dass wir nach Punkten mit waagerechter Tangente, also ohne Steigung, suchen. Die erste Ableitung einer Funktion gibt uns Auskunft über die Steigung. Wenn wir Sattelpunkte berechnen, bedeutet das also:

f′(x)=0

Mit der zweiten Ableitung können wir das Krümmungsverhalten bestimmen. Da der Sattelpunkt genau dort sitzt, wo die Kurve ihre Krümmung ändert (von Linkskrümmung nach Rechtskrümmung oder umgekehrt), muss die Krümmung direkt im Sattelpunkt gleich Null sein – sonst wäre hier kein Übergang möglich. Daraus folgt für die zweite Ableitung:

f″(x)=0

Wie du von den Wendepunkten schon weißt, haben diese eine weitere (hinreichende) Bedingung:

f‴(x)≠0

Diese gilt auch für Sattelpunkte. Allerdings ist – wie auch bei Wendepunkten – auch dann ein Sattelpunkt noch möglich, wenn die dritte Ableitung gleich Null ist. Dann ist es allerdings schwieriger, den Sattelpunkt zu belegen. Mehr dazu später!

Hier die Bedingungen für einen Sattelpunkt auf einen Blick:

Nun können wir Sattelpunkte berechnen!

Diese fünf Schritte helfen dir, Sattelpunkte sicher zu berechnen:

1. Berechne alle drei Ableitungen.
    
2. Setze die zweite Ableitung gleich Null. 
   So findest du die Stellen, in denen deine Kurve bzw. Funktion keine Krümmung aufweist. Nur dort können sich Sattelpunkte befinden. 
   
   
3. Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein.
   Wenn die dritte Ableitung ungleich Null ist, hast du einen Wendepunkt gefunden. Jetzt müssen wir noch überprüfen, ob es sich dabei um einen Sattelpunkt handelt. 
   
   
4. Setze die gefundenen Wendestellen in die erste Ableitung ein.
   Damit überprüfst du, ob die Steigung in den gefundenen Punkten gleich Null ist – eine der notwendigen Bedingungen für einen Sattelpunkt.
    
5. Setze die x-Werte für die Sattelpunkte in die ursprüngliche Funktion ein.
   Auf diese Weise ermittelst du zur x-Koordinate noch die y-Koordinate. Diese beiden zusammen ergeben deinen Sattelpunkt bzw. deine Sattelpunkte. 

Verstanden? Rechnen wir jetzt ein Beispiel dazu!

Die Aufgabe für unser Beispiel lautet:

Berechne mögliche Sattelpunkte der Funktion f(x)=−23x3+2x2−2x+2

Hier folgen unsere fünf Schritte dazu:

Schritt 1: Berechne alle Ableitungen

Um die Ableitungen zu bilden, musst du verschiedene Ableitungsregeln anwenden. Wenn du diese nicht mehr ganz im Kopf hast, lies vorher unsere Erklärungen zum Thema Ableitungsregeln.

Mithilfe der Ableitungsregeln ermitteln wir die Ableitungen:

f(x)=−23x3+2x2−2x+2

f′(x)=−2x2+4x−2

f″(x)=−4x+4

f‴(x)=−4

Schritt 2: Setze die zweite Ableitung gleich Null

Um Stellen zu finden, an denen die Kurve sich nicht krümmt, nutzen wir die zweite Ableitung:

−4x+4=0|−4−4x=−4|⋅(−1)4x=4|:4x=1

Wie du siehst, gibt es hier nur eine Nullstelle. Somit hat die Funktion nur einen möglichen Wende- bzw. Sattelpunkt, und zwar bei x=1.

Schritt 3: Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein

Die dritte Ableitung lautet:

f‴(x)=−4

Wie du siehst, gibt es in der dritten Ableitung gar keine Variable x mehr, in die wir unser Ergebnis einsetzen könnten. Wir sind an dieser Stelle also schon fertig und können feststellen, dass unsere dritte Ableitung an dieser möglichen Wendestelle ungleich Null ist. Damit sind die Bedingungen für einen Wendepunkt erfüllt.

Doch handelt es sich bei diesem Wendepunkt auch um einen Sattelpunkt? Um das herauszufinden, brauchen wir einen weiteren Schritt.

Schritt 4: Setze die gefundenen Wendestellen in die erste Ableitung ein

Unsere Wendestelle x=1 setzen wir also jetzt in f′(x) ein:

f′(x)=−2x2+4x−2

f′(x)=−2⋅12+4⋅1−2

f′(x)=−2⋅1+4−2

f′(x)=−2+4−2

f′(x)=0

Was können wir daraus ablesen? Wenn die erste Ableitung an unserer Wendestelle gleich Null ist, dann bedeutet das, dass unsere Funktion bzw. Kurve dort keine Steigung hat. Und genau das ist die letzte noch fehlende Bedingung für einen Sattelpunkt. Super!

Schritt 5: Setze die x-Werte für die Sattelpunkte in die ursprüngliche Funktion ein

Wir haben bisher nur den x-Wert für unseren Sattelpunkt ermittelt. Um einen Punkt im Koordinatensystem genau festzulegen, benötigen wir aber noch die y-Koordinate. Diese berechnen wir ganz einfach, indem wir unseren x-Wert in unsere ursprüngliche Gleichung f(x) einsetzen:

f(x)=−23x3+2x2−2x+2

f(x1)=−23⋅13+2⋅12−2⋅1+2

f(x1)=−23⋅1+2⋅1−2+2

f(x1)=−23+2

f(x1)=−23+63

f(x1)=43

Fertig! Wir wissen nun: Die Funktion hat einen Sattelpunkt, und er liegt bei S(1|43).

Kennst du auch die anderen Schritte, die zu einer Kurvendiskussion gehören? Wenn nicht, keine Sorge: Wir haben ausführliche Erklärungen zu jedem einzelnen Schritt. Hier findest du sie:

• Kurvendiskussion
• Ableitung
• Ableitungsregeln
• Extremstellen berechnen
• Hoch- und Tiefpunkte
• Monotonie
• Wendepunkt berechnen
• Wendetangente
• y-Achsenabschnitt berechnen