Wendepunkt berechnen

Ein wichtiger Schritt der Kurvendiskussion ist es, die Wendepunkte zu berechnen, die in einer Funktion bzw. der dazugehörigen Kurve möglicherweise auftauchen. Doch was genau wendet sich in einem Wendepunkt? Es ist die Krümmung der Kurve. Eine Kurve ist immer entweder nach links oder nach rechts gekrümmt. Wenn die Kurve ihr Krümmungsverhalten ändert, also von einer Links- in eine Rechtskrümmung übergeht (oder umgekehrt), dann geschieht das in genau einem Punkt – dem Wendepunkt.

Schau dir zum besseren Verständnis diese Grafik an:

Wenn du dir vorstellst, du würdest mit deinem Fahrrad diese Kurve entlangfahren, dann kannst du sehr gut feststellen, dass du in dem rot markierten Wendepunkt deinen Lenker von rechts nach links drehen müsstest, um auf der Bahn zu bleiben. Der exakte Moment, in dem du bei diesem Übergang von rechts nach links für kurze Zeit genau geradeaus lenkst, entspricht dem Wendepunkt: Die Krümmung der Kurve ist hier gleich Null.

Daraus können wir auch schon einen ersten Hinweis dazu ableiten, wie wir Wendepunkte berechnen können: Wir müssen herausfinden, an welchem Punkt die Krümmung der Kurve kurzzeitig gleich Null ist. Wie machen wir das?

Das Krümmungsverhalten einer Kurve können wir mithilfe der zweiten Ableitung bestimmen. Das ist praktisch, denn du kannst sicher erahnen, wie wir dann herausfinden können, in welchen Punkten die Krümmung gleich Null ist? Richtig, wir setzen die zweite Ableitung gleich Null. Die erste Bedingung für einen Wendepunkt lautet also:

f″(xw)=0

Das W steht hier, damit du weißt, dass wir eine mögliche Wendestelle (W) überprüfen.

Es gibt noch eine zweite Bedingung für Wendepunkte:

f‴(xw)≠0

Allerdings gibt es hier einen spannenden Zusatz: Wenn die dritte Ableitung an der geprüften Stelle ungleich Null ist, dann hast du auf jeden Fall einen Wendepunkt gefunden. Wenn sie aber doch gleich Null sein sollte, könnte sich dort trotzdem noch ein Wendepunkt versteckt haben – du kannst dann aber keine klare Aussage dazu treffen und musst das mithilfe eines anderen Verfahrens überprüfen.

Weil diese zweite Bedingung zwar ausreichend, aber nicht zwingend notwendig ist, nennt man sie eine hinreichende Bedingung. Es gilt also:

Wenn du das noch nicht ganz verstehst: keine Sorge! Wir erklären dir gleich alles Schritt für Schritt.

Das Berechnen der Wendepunkte gelingt dir ganz leicht in folgenden fünf Schritten:

1. Berechne alle drei Ableitungen. 
2. Setze die zweite Ableitung gleich Null. 
   Das tust du, um die Stellen herauszufinden, an denen die Krümmung der Kurve gleich Null ist, sich also von einer Links- in eine Rechtskrümmung wendet oder umgekehrt. Nur dort können sich Wendepunkte verbergen.
3. Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein.
   Auf diese Weise überprüfst du die hinreichende Bedingung, die wir oben erwähnt haben: Ist die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null?
4. Bestimme die Art des Wendepunkts.
   Dafür gilt: 
   f″(xw)>0→ Die Kurve krümmt sich von rechts nach links, es handelt sich um einen Rechts-links-Wendepunkt.
   f″(xw)<0→ Die Kurve krümmt sich von links nach rechts, es handelt sich um einen Links-rechts-Wendepunkt.
5. Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.
   Auf diese Weise kannst du den Wendewert (die y-Koordinate) deiner Wendepunkte berechnen.

Schauen wir uns das jetzt an einem Beispiel an!

Die Aufgabe für unser Beispiel lautet:

Bestimme mögliche Wendepunkte der Funktion f(x)=x4−3x2+1.

Wir berechnen die Wendepunkte in fünf Schritten.

Schritt 1: Berechne alle Ableitungen

Wenn du dir in Bezug auf Ableitungen noch unsicher bist, schau dir vorab noch einmal die Ableitungsregeln genau an.  Dann kannst du leicht die folgenden Ableitungen bilden:

f(x)=x4−3x2+1

f′(x)=4x3−6x

f″(x)=12x2−6

f‴(x)=24x

Schritt 2: Setze die zweite Ableitung gleich Null

Wir berechnen die Nullstellen der zweiten Ableitung folgendermaßen:

12x2−6=0 |+6

12x2=6 |:12

x2=12

x1,2=±√12

x1=√12

x2=−√12

Wir haben zwei Nullstellen für die zweite Ableitung gefunden.

Schritt 3: Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein.

Unsere gefundenen zwei Nullstellen lauten:

x1=√12

x2=−√12

Wir setzen diese nun in die dritte Ableitung ein, um mögliche Wendepunkte zu berechnen bzw. zu bestätigen:

f‴(xW1)=24x

f‴(√12)=24⋅(√12)

Den genauen Wert brauchen wir nicht zu berechnen. Wichtig ist lediglich, dass dieser größer als Null ist. Warum das so ist, schauen wir uns im nächsten Schritt näher an. Zunächst wollen wir aber auch noch die dritte Ableitung im zweiten möglichen Wendepunkt berechnen:

f‴(xW2)=24x

f‴(−√12)=24⋅(−√12)

Hier haben wir ein negatives Vorzeichen. Für xW2 erhalten wir also ein Ergebnis kleiner als Null. 

Schritt 4: Bestimme die Art des Wendepunkts

Du erinnerst dich, dass für Wendepunkte gilt:

1. f‴(xW)>0→ Die Kurve krümmt sich von rechts nach links, es handelt sich um einen Rechts-links-Wendepunkt.
2. f‴(xW)<0→Die Kurve krümmt sich von links nach rechts, es handelt sich um einen Links-rechts-Wendepunkt.

Für xW1 haben wir einen Wert größer als Null errechnet, also einen Rechts-links-Wendepunkt gefunden.

Für xW2 ist das Ergebnis der dritten Ableitung hingegen kleiner als Null. Wir haben einen Links-rechts-Wendepunkt entdeckt.

Schritt 5: Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die ursprüngliche Funktion f(x) ein

Wir wissen bereits, dass sich an den x-Werten x1=√12 und x2=−√12 Wendepunkte befinden. Um die Punkte genau festlegen zu können, brauchen wir aber noch die y-Koordinate. Diese wird auch „Wendewert“ genannt, während die x-Koordinate korrekt „Wendestelle“ heißt. Wendestelle und Wendewert ergeben zusammen den Wendepunkt. 

Um auch die Wendewerte unserer Wendepunkte zu berechnen, setzen wir unsere x-Werte in die ursprüngliche Gleichung ein: 

f(x)=x4−3x2+1

f(xW1)=(√12)4−3⋅(√12)2+1

f(xW1)=14−3⋅12+1

f(xW1)=14−32+1

Wir bringen die Brüche auf denselben Nenner:

f(xW1)=14−64+44=−14

Wir haben nun unseren ersten Wendepunkt berechnet: W1(√12|−14)

Das Ganze wiederholen wir jetzt noch für unseren zweiten Wert xW2=−√12:

f(xW2)=(−√12)4−3⋅(−√12)2+1

Da das negative Vorzeichen beim Quadrieren entfällt, ist der Rest der Rechnung gleich:

f(xW2)=14−3⋅12+1

f(xW2)=14−32+1

Wir bringen die Brüche wieder auf denselben Nenner:

f(xW2)=14−64+44=−14

Unser zweiter Wendepunkt heißt also W2(−√12|−14)

Super! Du weißt nun, wie man Wendepunkte berechnet. Zum Abschluss schauen wir uns noch einen Spezialfall an. 

Du weißt bereits, dass es eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, wenn die dritte Ableitung ungleich Null ist. Was passiert aber, wenn die dritte Ableitung gleich Null sein sollte? Dann hilft dir diese Aussage leider nicht weiter. Es könnte sich dennoch um einen Wendepunkt handeln – oder auch nicht.

In diesem Fall gibt es eine zweite Möglichkeit, die du nutzen kannst: Du kannst das Krümmungsverhalten in der Nähe deiner möglichen Wendepunkte prüfen. Erinnere dich: Ein Wendepunkt zeigt an, dass die Kurve ihr Krümmungsverhalten ändert, also sich von rechts nach links krümmt oder umgekehrt. Du weißt außerdem, dass du anhand der zweiten Ableitung das Krümmungsverhalten ablesen kannst. Das ist sehr nützlich, denn nun kannst du Folgendes tun.

Beispiel:

Lass uns annehmen, dass du bei x = 5 einen Wendepunkt vermutest. Die dritte Ableitung deiner Funktion hat dir aber nicht dabei geholfen, diesen sicher zu bestätigen.

Du kannst nun überprüfen, wie deine Kurve in den Punkten x = 4 und x = 6 gekrümmt ist. Dazu berechnest du die zweite Ableitung in diesen beiden Punkten. Du bekommst – zum Beispiel – folgendes Ergebnis:

x=4 → Das Ergebnis der zweiten Ableitung ist größer als Null: Die Kurve ist linksgekrümmt.

x=6 → Das Ergebnis der zweiten Ableitung ist kleiner als Null: Die Kurve ist rechtsgekrümmt.

Du siehst: Irgendwo zwischen x = 4 und x = 6 hat die Kurve ihr Krümmungsverhalten geändert – das muss also dein Wendepunkt sein. Somit hast du sicher gezeigt, dass es sich bei x = 5 um einen Wendepunkt handelt.

Gegenbeispiel: 

Wenn deine Überprüfung ergeben hätte, dass die Kurve sowohl bei x = 4 als auch bei x = 6 eine Rechtskrümmung (oder Linkskrümmung) beschreibt, hättest du x = 5 als Wendepunkt ausschließen müssen.