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Extremstellen

Wenn Du wissen willst, was die Extremstellen sind, dann bist Du hier genau richtig. Schau Dir das Video an oder steig direkt in den Text ein.

Analysis - Kurvendiskussion

Was sind Extremstellen?

Auf Extremstellen wirst du stoßen, wenn du dich mit der Analysis, speziell mit dem Bereich Kurvendiskussion, beschäftigst. Eine Funktion hat Extremstellen an den Punkten, an denen eine Funktion ihr Minimum oder Maximum erreicht:

In der Zeichnung siehst du zwei Extremstellen. Der markierte Hochpunkt (auch „Maximum“ genannt) zeigt den höchsten Punkt der Kurve an – den Punkt, an dem die Kurve nicht mehr steigt, bevor sie dann nach rechts hin wieder abfällt.

Beispiel aus der Praxis:

Stell dir vor, du wirfst einen Tennisball in hohem Bogen in die Luft. Seine Flugbahn, eine Kurve, hat zunächst eine ziemlich starke Steigung. Je höher der Ball fliegt, desto mehr flacht die Steigung ab, und schließlich erreicht der Ball einen Punkt (eine Extremstelle), an dem er nicht mehr steigt, aber auch noch nicht fällt. Die Steigung ist also an diesem Punkt gleich Null. Anschließend beginnt der Ball seine Flugbahn nach unten, zurück zur Erde.

Ähnlich verhält es sich mit dem Tiefpunkt. Wie du in der Zeichnung erkennen kannst, fällt die Kurve zunächst ab, erreicht dann einen Punkt völlig ohne (positive oder negative) Steigung und steigt schließlich wieder an.

Beispiel aus der Praxis:

Im Alltagsleben begegnest du einem Tiefpunkt beispielsweise dann, wenn du mit deinen Skates durch eine Halfpipe fährst. Unten in der Mitte der Halfpipe stößt du auf einen Punkt, an dem du dich nicht mehr weiter abwärts, aber auch noch nicht wieder aufwärts bewegst. Du hast eine Extremstelle (und sogar einen Extrempunkt!) gefunden.

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Extremstelle, Extrempunkt oder Extremwert?

Lass uns zuerst einige wichtige Begriffe klären, damit wir nicht durcheinanderkommen:

  • Ein Extrempunkt ist ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt einer Funktion (oder der grafisch dargestellten Kurve). An diesem Punkt findet im Graph ein Richtungswechsel statt – von steigend zu fallend (wie beim Ball) oder von fallend zu steigend (wie in der Halfpipe).

  • Eine Extremstelle gibt den x-Wert eines möglichen Extrempunkts an. Die Extremstelle zeigt uns also an, dass hier ein Hoch- oder Tiefpunkt liegen könnte. 

  • Der Extremwert ist das Gegenstück zur Extremstelle: Er gibt zum x-Wert den passenden y-Wert an. Beide Koordinaten zusammen geben dann exakt an, wo ein Hoch- oder Tiefpunkt zu finden ist.

Wir sprechen an dieser Stelle zunächst einmal nur über Extremstellen. Ob sich dahinter ein Hochpunkt oder Tiefpunkt verbirgt, findest du mithilfe weiterer Berechnungen aus der Kurvendiskussion heraus.

Hochpunkt und Tiefpunkt

In der Zeichnung oben hast du bereits Hoch- und Tiefpunkte kennengelernt. Man nennt sie Extrempunkte. An dieser Stelle können wir noch eine Unterscheidung vornehmen, nämlich zwischen

  • lokalen Hoch- bzw. Tiefpunkten und
  • globalen Hoch- bzw. Tiefpunkten.

Schau dir dazu folgende Zeichnung an:

Rot markiert siehst du einen lokalen Hochpunkt, auch lokales Maximum genannt. Allerdings kannst du auch erkennen, dass ganz rechts in der Grafik die Kurve noch deutlich weiter nach oben geht – dort könnte es also möglicherweise ein weiteres Maximum geben, das noch weitaus höher liegt. Wir bezeichnen daher als „lokales Maximum“ einen Hochpunkt, der in einem Teilbereich der Funktion (oder Kurve) den höchsten Punkt darstellt. Den insgesamt höchsten Punkt der Funktion bzw. Kurve nennen wir globales oder absolutes Maximum bzw. globalen oder absoluten Hochpunkt.

Mit dem Tiefpunkt verhält es sich ganz ähnlich. In der Zeichnung siehst du in Blau markiert ein lokales Minimum bzw. einen lokalen Tiefpunkt. Du kannst aber ganz links in der Grafik erkennen, dass die Kurve noch weiter nach unten geht. Eventuell gibt es also sogar ein noch tieferliegendes Minimum – möglicherweise das globale oder absolute Minimum.

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Merke

In Hoch- und Tiefpunkten verändert sich das Monotonieverhalten der Kurve, also die Tatsache, ob die Kurve steigt oder fällt. Die Krümmung der Kurve (rechts gekrümmt oder links gekrümmt) bleibt jedoch gleich. Das kannst du in der Grafik gut erkennen.

Sonderfall Wendepunkt

Ein Wendepunkt ist in der Kurvendiskussion ebenfalls ein spannendes Phänomen. Was wendet sich hier? Es ist diesmal nicht das Monotonieverhalten der Kurve, sondern deren Richtung. Sprich: Wenn eine nach links gekrümmte Kurve sich nach rechts zu krümmen beginnt – oder umgekehrt –, dann geschieht dies in einem Wendepunkt. Die folgende Grafik zeigt das sehr deutlich:

Was du hier deutlich erkennen kannst, ist, dass die Steigung im Wendepunkt nicht gleich Null ist – es handelt sich also beim Wendepunkt nicht um eine Extremstelle. Dass es sich um einen Wendepunkt handelt, besagt lediglich, dass die Krümmung der Kurve sich verändert.

Anders sieht das beim Sattelpunkt aus.

Tipp: Erfahre hier mehr darüber, wie du die Wendepunkte einer Funktion berechnest.

Sonderfall Sattelpunkt

Wie der Wendepunkt ist auch der Sattelpunkt ein Punkt, in dem eine Kurve ihre Krümmung ändert. Allerdings kommt beim Sattelpunkt noch eine spannende Eigenschaft hinzu: Er hat nämlich keine Steigung. Oder anders ausgedrückt: Die Tangente eines Sattelpunkts verläuft genau waagerecht, parallel zur x-Achse. So sieht ein Sattelpunkt grafisch aus:

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Gut zu wissen

Ein Sattelpunkt ist immer ein Wendepunkt. Ein Wendepunkt muss aber nicht zwingend ein Sattelpunkt sein. Das ist er nur, wenn seine Steigung gleich Null ist.

Der Sattelpunkt ist bei der Berechnung von Extremstellen besonders wichtig. Warum das so ist, erfährst du im nächsten Abschnitt.

Extremstellen berechnen

Du hast bereits die wichtigste Bedingung für eine Extremstelle kennengelernt: Die Steigung ist gleich Null. Wie kannst du wissen, ob das der Fall ist? Du brauchst dazu die erste Ableitung. Denn: Die erste Ableitung \(f’(x)\) zeigt dir die Steigung einer Funktion \(f(x)\) an.

Da wir Extremstellen finden wollen, müssen wir herausfinden, an welchen Punkten die Steigung, also auch die erste Ableitung, gleich Null ist. Wir nutzen daher folgende Formel:

\(f'(x)=0\)

Lass uns dazu anhand eines Beispiels in zwei Schritten vorgehen.

Schritt 1: Die erste Ableitung bilden

Wir nehmen folgende Funktion \(f(x)\) an:

\( f(x)=7x^3+5x^2-12x+4 \)

Um herauszufinden, wie es um die Steigung steht, müssen wir zuerst die erste Ableitung bilden. Dazu nutzen wir verschiedene Ableitungsregeln.

\( f'(x)=21x^2+10x-12 \)

Schritt 2: Die erste Ableitung gleich Null setzen und ausrechnen

Um die Nullstellen der Ableitung zu ermitteln, berechnen wir nun Folgendes:

\( 21x^2+10x-12=0 \)

Diese Gleichung steht bereits in der Normalform, sodass du sie wunderbar mithilfe der Mitternachtsformel berechnen kannst. Du erhältst als (gerundete) Ergebnisse:

\( x_1=0,55 \)

\( x_2=1,03 \)

Extremstellen: Extrempunkte oder Sattelpunkte?

Du hast nun zwei Stellen gefunden, an denen die Steigung deiner Funktion gleich Null ist. Es könnte sich um Hoch- bzw. Tiefpunkte handeln, doch ebenso gut könnte es sein, dass du Sattelpunkte entdeckt hast – denn wie du jetzt weißt, haben diese auch eine Steigung von Null. Wie findest du nun heraus, worum es sich handelt?

Ganz einfach – wenn du die Bedingungen für einen Sattelpunkt kennst.

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Merke

Die Bedingungen für einen Sattelpunkt lauten:

\( f'(x)=0 \)

\( f''(x)=0 \)

\( f'''(x)\neq 0 \)

Wie du diese Bedingungen prüfen kannst, erfährst du in unserer Anleitung dazu, wie du Sattelpunkte berechnest.

Konntest du ausschließen, dass es sich um Sattelpunkte handelt? Dann hast du gezeigt, dass sich an deinen gefundenen Extremstellen Extrempunkte, also Hoch- bzw. Tiefpunkte, befinden. Super!

Extremstellen: Aufgaben

Welche Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an?

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