Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras hilft dir, in einem rechtwinkligen Dreieck die Längen der Seiten zu berechnen. Das kann nicht nur im Matheunterricht, sondern auch im Alltag sehr nützlich sein. Beispiele dazu findest du am Ende dieses Artikels. 

Damit du den Satz des Pythagoras gut verstehen kannst, lass uns zunächst ein paar wichtige Begriffe klären:

• rechtwinkliges Dreieck: ein Dreieck, in dem es einen rechten Winkel (also einen 90°-Winkel) gibt
• Hypotenuse: die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks – sie liegt gegenüber dem rechten Winkel
• Katheten: die verbleibenden beiden Seiten des Dreiecks – sie schließen den rechten Winkel ein
  

Schau dir zum besseren Verständnis die Zeichnung an:

In der Zeichnung siehst du ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel ist grün markiert. Gegenüber dem rechten Winkel liegt die längste Seite des Dreiecks, die Hypotenuse. Sie heißt c. Die anderen beiden Seiten sind die Katheten. Sie heißen a und b.

Als Nächstes lernst du, wie du die Formel des Satzes des Pythagoras anwendest.

Übertragen auf ein Dreieck mit rechtem Winkel lässt sich die Formel a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$ auch so ausdrücken:

Kathete2+Kathete2=Hypotenuse2$Kathet{e}^2+Kathet{e}^2=Hypotenus{e}^2$

Wie du siehst, werden die Seitenlängen quadriert. Bildlich kannst du dir das so vorstellen:

Du kannst das Wort „Quadrat“ (2${}^2$) also ganz wörtlich nehmen: Die Seitenlängen werden zum Quadrat genommen. So ergibt sich jeweils der Flächeninhalt eines Quadrats mit der entsprechenden Seitenlänge a, b oder c. 

Der Satz des Pythagoras besagt nun: Die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten a und b ist gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c. In der Zeichnung bedeutet das: Der Flächeninhalt der beiden blauen Quadrate (der Kathetenquadrate) ist genauso groß wie der des roten Quadrats (des Hypotenusenquadrats).

Du kannst mit dem Satz des Pythagoras jedoch nicht nur Flächeninhalte berechnen, sondern auch die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Dazu musst du die Formel ein wenig umstellen: 

a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$ 

c2=a2+b2|√$c^2=a^2+b^2|\surd$

c=a2+b2−−−−−−√$c=\sqrt{a^2+b^2}$

Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen

a = 3 cm

b = 4 cm

Gesucht sei die Länge der Hypotenuse c. Diese kannst du nun mit dem Satz des Pythagoras in fünf einfachen Schritten berechnen.

Schritt 1: Dreieck auf rechte Winkel prüfen

Prüfe zunächst, ob es sich wirklich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Erinnere dich: Der Satz des Pythagoras gilt nur, wenn im Dreieck ein 90°-Winkel vorhanden ist.

Schritt 2: Formel umstellen

Um die Länge der Hypotenuse zu berechnen, musst du die Formel des Satzes des Pythagoras wie folgt umstellen:

a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$

c2=a2+b2|√$c^2=a^2+b^2|\surd$

c=a2+b2−−−−−−√$c=\sqrt{a^2+b^2}$

Schritt 3: Werte einsetzen

Gegeben waren:

a = 3 cm

b = 4 cm

Wir setzen diese Werte in unsere umgestellte Formel ein und denken dabei auch an die Einheiten:

c=(3cm)2+(4cm)2−−−−−−−−−−−−−√$c=\sqrt{(3cm{)}^2+(4cm{)}^2}$

Schritt 4: Gleichung lösen

Nun kannst du die Gleichung nach c auflösen. Beachte dabei, dass auch die Einheiten zunächst quadriert werden und du am Ende auch aus den Einheiten die Wurzel ziehen musst!

c=9cm2+16cm2−−−−−−−−−−−√$c=\sqrt{9c{m}^2+16c{m}^2}$

c=25cm2−−−−−√$c=\sqrt{25c{m}^2}$

c=5cm$c=5cm$

Schritt 5: Lösung aufschreiben

Denke zum Schluss an deinen Lösungssatz: Lösung: Die Länge der Hypotenuse c beträgt 5 cm.

Möchtest du nicht die Länge der Hypotenuse, sondern die Länge der Kathete a berechnen, musst du die Formel entsprechend anders umstellen. Gehen wir auch dazu eine Aufgabe durch.

Gegeben seien:

b=8cm$b=8cm$

c=10cm$c=10cm$

Gesucht wird die Länge der Kathete a.

Wir stellen die Formel nach a um:

a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$ |−b2$|-b^2$

a2=c2−b2$a^2=c^2-b^2$ |√$|\surd$

a=c2−b2−−−−−−√$a=\sqrt{c^2-b^2}$

Nun können wir unsere Werte in die Formel einsetzen. Denke an die Quadrierung der Einheiten!

a=(10cm)2−(8cm)2−−−−−−−−−−−−−−√$a=\sqrt{(10cm{)}^2-(8cm{)}^2}$

a=100cm2−64cm2−−−−−−−−−−−−−√$a=\sqrt{100c{m}^2-64c{m}^2}$

a=36cm2−−−−−√$a=\sqrt{36c{m}^2}$

a=6cm$a=6cm$

Lösung: Die Kathete a ist 6 cm lang.

Das Umstellen nach der Kathete b gelingt ganz ähnlich.

Gegeben seien:

a=5cm$a=5cm$

c=13cm$c=13cm$

Wir stellen die Formel nach b um:

a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$ |−a2$|-a^2$

b2=c2−a2$b^2=c^2-a^2$

b=c2−a2−−−−−−√$b=\sqrt{c^2-a^2}$

Wir setzen unsere Werte in die Formel ein:

b=(13cm)2−(5cm)2−−−−−−−−−−−−−−√$b=\sqrt{(13cm{)}^2-(5cm{)}^2}$

b=169cm2−25cm2−−−−−−−−−−−−−√$b=\sqrt{169c{m}^2-25c{m}^2}$

^{b=144cm2−−−−−−√$b=\sqrt{144c{m}^2}$}

b=12cm$b=12cm$

Lösung: Die Kathete b ist 12 cm lang.

Der Satz des Pythagoras dient nicht nur dazu, Aufgaben in Mathematik zu lösen, sondern ist auch für Probleme im Alltag sehr wichtig. Stell dir vor, ein Feuerwehrauto soll einen Menschen aus einem brennenden Haus retten. Der einzige Fluchtweg ist das Fenster im dritten Stock. Das Feuerwehrauto kann jedoch nicht ganz bis an die Hauswand heranfahren, sondern muss aufgrund eines breiten Gebüschs einen Abstand halten. Von dort wird die Leiter nun schräg ausgefahren – doch wird sie bis zum Fenster reichen? 

In diesem Beispiel ist die Kathete a beispielsweise die Strecke vom Feuerwehrauto bis zur Hauswand. Die Kathete b ist dann die Höhe vom Boden bis hinaus zum Fenster. Zwischen Boden und Hauswand gibt es einen rechten Winkel. Wir können also den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge der Hypotenuse – der schräg gestellten Leiter – zu berechnen. So wäre es also möglich, schon vorab sicherzustellen, dass die Leiter wirklich bis zum Fenster hinaufreichen wird. 

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