Punkt ~ Gerade Abstand – online lernen

Abstand Punkt – Gerade
Extremwertbedingung

Bei der Berechnung des Abstandes eines Punktes A von einer Geraden g:→x=→p+t⋅→u mit der Extremwertmethode braucht man einen grafikfähigen Taschenrechner (GTR).

Vorgehensweise:

1. Bestimme den allgemeinen Geradenpunkt Pt.
2. Berechne den Verbindungsvektor →APt.
3. Der gesuchte Vektor →APt ist der Kürzeste. Bestimme |→APt|
   
4. Berechne mit dem GTR das Minimum der Funktion d(t)=|→APt|
   

Beispielaufgabe:

Bestimme den Abstand von A(5,5,5) zu g:→x=(7−67)+t⋅(3−41).

Abstand Punkt – Gerade
Hilfsebene

Mit den folgenden Schritten kann man den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen:

1. Konstruiere eine Hilfsebene H, die A enthält und orthogonal zu g verläuft (→u=→nH).
2. Bestimme den Schnittpunkt L von g und H.
3. Berechne den Verbindungsvektor →AL.
4. d(A;g)=d(A;L)=|→AL|
   

Beispielaufgabe:

Bestimme den Abstand von A(0,3,−2) zu g:→x=(1−31)+t⋅(202) .

Abstand Punkt –Gerade
Orthogonalitätsbedingung

Um den Abstand eines Punktes A von einer Geraden g zu bestimmen, kann man folgendes Schema verfolgen:

1. Bestimme den allgemeinen Geradenpunkt Pt.
2. Berechne den Verbindungsvektor →APt.
3. Der gesuchte Vektor →APt steht senkrecht auf dem Richtungsvektor →u. Es muss also gelten: →APt⋅→u=0.
4. Die Gleichung aus 3. nach t auflösen und in den allgemeinen Vektor →APt einsetzen.
5. d(A;g)=|→APt|
   

Beispielaufgabe:

Berechne d(A;g).A(−8,11,10),g:→x=(−4,0,5)+t⋅(−8,4,1)