Asymptote
Wenn Du wissen willst, was die Asymptote ist, dann bist Du hier genau richtig.
Was sind Asymptoten?
Asymptoten helfen dir zu beschreiben, wie sich der Graph einer Funktion im Unendlichen oder auch in der Nähe von Definitionslücken verhält. Sie sind ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion.
Asymptoten sind in vielen Fällen Geraden, sie können jedoch auch Kurven sein. Der Graph einer Funktion kann sich an bestimmten Stellen einer Asymptote beliebig weit annähern. Das bedeutet, der Abstand zwischen der Asymptote und dem Funktionsgraphen wird immer kleiner. Das lässt sich besser verstehen, wenn wir uns das gleich bildlich ansehen.
Dazu betrachten wir den Graphen der Funktion \( f(x)= \frac{1}{x} \).
Du siehst – und erkennst es auch am Nenner der Funktion –, dass der Definitionsbereich der Funktion die Null als x-Wert ausschließt. An dieser Stelle befindet sich also eine Definitionslücke. Dadurch schmiegt sich der Graph der Funktion hier an die y-Achse an. Man sagt: Die y-Achse ist eine Asymptote der Funktion.
Wie du erkennen kannst, gibt es aber auch noch eine zweite Asymptote. Wenn nämlich unsere x-Werte gegen minus oder plus unendlich gehen, dann kannst du hier sehen, dass der Graph sich der x-Achse annähert. Diese ist also ebenfalls eine Asymptote. Klar soweit?
Für die Betrachtung von Asymptoten müssen wir uns häufig auch mit dem Verhalten im Unendlichen beschäftigen. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie das geht, schau dir gern noch einmal unsere Seite zum Thema Grenzwert an.
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Welche Arten von Asymptoten gibt es?
Du weißt bereits, dass Asymptoten Geraden sein können und dass es außerdem asymptotische Kurven gibt. Asymptoten, die Geraden sind, lassen noch einmal in drei verschiedene Typen unterteilen. Insgesamt betrachten wir daher vier unterschiedliche Arten von Asymptoten:
- waagerechte Asymptoten, die parallel zur x-Achse verlaufen
- senkrechte Asymptoten, die parallel zur y-Achse verlaufen
- schiefe Asymptoten, die weder zur x- noch zur y-Achse parallel sind
- kurvenförmige Asymptoten
Sehr häufig wirst du vor allem gebrochenrationale Funktionen auf Asymptoten untersuchen. Bei diesen kannst du anhand der Gleichung mehr oder weniger leicht ablesen, um welche Art von Asymptoten es sich handelt.
Asymptoten von gebrochenrationalen Funktionen erkennen
Eine gebrochenrationale Funktion hat im Zähler und im Nenner ein Polynom. Wenn du den Graphen der Funktion bereits gezeichnet hast, kannst du daran gut erkennen, welche Asymptoten vorliegen. Vielleicht musst du aber im Rahmen einer Kurvendiskussion die Asymptoten berechnen – dann hilft dir der Graph allein nicht weiter. Zum Glück können wir gerade bei gebrochenrationalen Funktionen sehr viel Information aus der Gleichung ziehen.
Zum Bestimmen der Asymptoten hilft es dir, den Zählergrad und den Nennergrad der Funktion zu vergleichen.
Der Zählergrad ist die höchste Potenz, die im Polynom des Zählers auftritt.
Der Nennergrad ist die höchste Potenz, die im Polynom des Nenners auftritt.
Beispiel:
\( f(x)= \frac{ {x}^{3}+1}{x-1} \)
Zählergrad: 3 (wegen \( {x}^{3} \))
Nennergrad: 1 (wegen \( {x}^{1} \))
Hast du den Grad des Zählers und des Nenners ermittelt, kannst du daran folgende Informationen ablesen:
- Zählergrad \( \leq \)Nennergrad: waagerechte Asymptote (parallel zur x-Achse)
- Zählergrad = Nennergrad + 1: schiefe gerade Asymptote
- Zählergrad > Nennergrad + 1: Kurve als Asymptote
Vielleicht hast du erkannt, dass hier noch die senkrechten Asymptoten fehlen. Das ist so, da hier die Voraussetzungen etwas anders sind.
- Eine senkrechte Asymptote kann dort auftreten, wo der Nenner einer Funktion eine Nullstelle (Definitionslücke) hat.
- Es muss sich um eine nicht hebbare Definitionslücke handeln. Das heißt, diese Nullstelle tritt nur im Nenner, nicht aber im Zähler auf.
Darüber erfährst du gleich noch mehr, wenn wir die Asymptoten verschiedener Funktionen berechnen.
Beispiele: Asymptoten berechnen
Beispiel 1: waagerechte Asymptote
Die Voraussetzung für eine waagerechte Asymptote lautet:
Zählergrad \( \leq \) Nennergrad
Hier unterscheiden wir zwei Fälle:
- Zählergrad < Nennergrad: Die Asymptote verläuft direkt auf der x-Achse.
- Zählergrad = Nennergrad: Die Asymptote verläuft parallel zur x-Achse, ist aber entlang der y-Achse verschoben.
Im ersten Fall brauchst du die Asymptote nicht einmal zu berechnen.
Zum Beispiel gilt für \( f \left( x \right) = \frac{1}{x} \) (wobei der Zählergrad (0) kleiner ist als der Nennergrad (1)) für die Gleichung \(g(x)\) der Asymptote:
\( g \left( x \right) = 0 \)
Damit bist du schon fertig! Die Asymptote entspricht der x-Achse.
Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, musst du ein klein wenig rechnen. Wir nehmen als Beispiel folgende Funktion:
\( f \left( x \right) = \frac{6 {x}^{3}+1 }{2 {x}^{3} } \)
Du siehst, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner des Bruchs der Grad 3 ist (\(x^3\)). Um die Verschiebung entlang der y-Achse herauszufinden, musst du nun einfach den Vorfaktor der höchsten Potenz im Zähler (hier: \(x^3\) mit dem Vorfaktor \(6\)) durch den Vorfaktor der höchsten Potenz im Nenner (hier: \(x^3\) mit dem Vorfaktor \(2\)) teilen. Du rechnest also:
\( 6 \div 2 = 3 \)
Die waagerechte Asymptote ist um +3 entlang der y-Achse verschoben. So sieht das im Graphen der Funktion aus:
Beispiel 2: Senkrechte Asymptote
Für senkrechte Asymptoten sind Zähler- und Nennergrad zunächst einmal irrelevant. Vielmehr kommt es darauf an, ob der Ausdruck im Nenner Nullstellen hat. Da wir nicht durch Null teilen dürfen, hätte die Funktion dann hier Definitionslücken.
Wie wir bei den Bedingungen oben bereits angegeben haben, musst du außerdem prüfen, dass es sich um nicht hebbare Definitionslücken handelt, also um solche Nullstellen, die nicht auch im Zähler auftreten. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an, und zwar folgende Funktion:
\( f \left( x \right) = \frac{ {x}^{2}+x-2 }{ {x}^{2}-3x+2} \)
Wir berechnen zunächst die Nullstellen des Nenners:
\( {x}^{2} -3x +2 = 0 \)
Diese Gleichung können wir mithilfe der p-q-Formel lösen. Wir erhalten als Nullstellen:
\( {x}_{1} = 1 \)
\( {x}_{2} = 2 \)
Wir wissen allerdings noch nicht genau, ob es sich hier wirklich um Definitionslücken handelt. Dazu müssen wir erst auf dieselbe Weise auch die Nullstellen des Zählers überprüfen:
\( {x}_{2} + x -2 = 0 \)
Die p-q-Formel (oder auch einfaches Ausprobieren) liefert uns hier die Nullstellen
\( {x}_{1} = 1 \)
\( {x}_{2} = -2 \)
Wir sehen: Eine der Nullstellen, nämlich bei \( x = 1 \), tritt sowohl im Zähler als auch im Nenner des Bruchs auf. Diese berücksichtigen wir also nicht weiter. Dennoch verbleibt im Nenner eine Nullstelle bei \( x = 2 \) und damit eine Definitionslücke und eine senkrechte Asymptote.
Schauen wir uns das schließlich noch im Funktionsgraphen an:
Beispiel 3: Kurve oder schiefe Gerade als Asymptote
Um die Gleichung einer kurvenförmigen oder schiefen Asymptote zu bestimmen, brauchst du die Polynomdivision. Bei dieser Rechnung entsteht ein Restterm. Diesen erkennst du daran, dass er immer kleiner wird, je näher deine x-Werte sich plus oder minus unendlich annähern. Um die gewünschte Gleichung zu bestimmen, lässt du diesen Restterm einfach weg – was übrigbleibt, ist die Gleichung deiner kurvenförmigen oder schiefen Asymptote.
Natürlich haben wir auch dazu ein Beispiel für dich, und zwar für folgende Funktion:
\( f \left( x \right)= \frac{ {x}^{3}+1}{x-1} \)
So sieht die Polynomdivision für diese Funktion aus:
\(x^3\) \(+1:(x-1)=x^2+x+1+\frac{2}{x-1}\)
\(-(x^3-x^2)\)
\(x^2\)
\(-(x^2-x)\)
\(x+1\)
\(-(x-1)\)
\(2\)
Am Ende des Ergebnisses erkennst du den erwähnten Restterm \(\frac{2}{x-1}\). Diesen kannst du also unberücksichtigt lassen und erhältst somit die Gleichung für die Asymptote:
\( g \left( x \right) = {x}^{2} +x + 1 \)
Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, weißt du, dass die grafische Darstellung eine Parabel ist – in diesem Fall also eine kurvenförmige Asymptote.
Manchmal brauchst du keine Polynomdivision, sondern kannst deine Funktionsgleichung auf einfachere Weise umformen, um den Restterm abzutrennen, der für x-Werte gegen minus oder plus unendlich immer kleiner wird.
Beispiel:
\( f \left( x \right) = \frac{{x}^{2}+1}{x} \)
Diesen Bruch kannst du so umformen:
\( \frac{{x}^{2}+1}{x} = \frac{ {x}^{2} }{x} = \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \)
Der Restterm ist hier \( \frac{1}{x} \). Als Gleichung für die (in diesem Fall schiefe) Asymptote bleibt lediglich:
\( g \left( x \right) = x \)
Und so sieht der Graph der Funktion aus:
Übrigens: Wenn du sehr aufmerksam warst, hast du vielleicht entdeckt, dass es in diesem Fall außerdem noch eine weitere Asymptote gibt, nämlich eine senkrechte entlang der y-Achse. Das ist der Fall, weil der Nenner des Bruchs eine Nullstelle bei \(x = 0\) hat, die im Zähler jedoch keine Nullstelle ist – also eine nicht hebbare Definitionslücke.
Beispiel 4: Asymptote der e-Funktion
Die normale e-Funktion strebt für x-Werte gegen minus unendlich gegen Null, hat also eine Asymptote, die entlang der x-Achse verläuft:
Für x-Werte gegen plus unendlich geht auch die e-Funktion gegen unendlich – hier gibt es keine Asymptote. So weit, so gut!
Oft ist die e-Funktion aber mit anderen ganzrationalen Funktionen kombiniert. Dabei gilt immer: Die e-Funktion wirkt sich stärker aus als der ganzrationale Teil. Es genügt also, wenn wir jeweils den Grenzwert der e-Funktion betrachten.
Beispiel:
\( f \left( x \right) = x \cdot {e}^{x+1} \)
Welchen Grenzwert der Faktor \(x\) annimmt, ist hier nicht relevant. Wir können uns allein auf die e-Funktion konzentrieren und stellen fest:
\( {e}^{x+1} = \propto \)
\( {e}^{x+1} = 0 \)
Auf diese Weise kannst du die Asymptote, die der x-Achse entspricht, mathematisch erschließen.
Wichtig ist allerdings zu wissen, dass die Asymptote entlang der y-Achse verschoben sein kann.
Beispiel:
\( f \left( x \right) = {x}^{3} \cdot {e}^{-2 {x}^{2}+1 } -4 \)
Auch hier können wir den Faktor \( {x}^{3} \) ignorieren und uns nur auf die e-Funktion konzentrieren. Wir bestimmen den Grenzwert, der für die Potenz \( -2 {x}^{2} +1 \) gegen minus unendlich gehen muss – dabei ist es egal, ob die x-Werte gegen plus oder minus unendlich streben. Es gilt also:
\( {e}^{-2 {x}^{2}+1 } = 0 \)
Allerdings müssen wir jetzt noch die \(–4\) subtrahieren und erhalten somit in beiden Fällen:
\(0 – 4 = –4\)
Das verrät dir, dass die (parallel zur x-Achse verlaufende) Asymptote bei \(y = –4\) liegt. Du siehst nun auch, dass du – wenn du diese Regeln kennst – die Verschiebung ziemlich leicht aus der ursprünglichen Funktionsgleichung ablesen kannst:
\( f \left( x \right) = {x}^{3} \cdot {e}^{-2 {x}^{2}+1 } -4 \)
Schauen wir uns zum Schluss noch den Graphen dazu an, der unser Ergebnis bestätigt:
Welche Art von Asymptote gibt es nicht?