Wendetangente berechnen

Wenn du eine Kurvendiskussion durchführst, kann es vorkommen, dass du dabei auch die Wendetangente berechnen sollst. Eine Tangente ist eine Gerade (eine lineare Funktion), die eine Funktion berührt – und zwar in einem bestimmten Punkt. Wenn du die Wendetangente berechnen sollst, kannst du sicher erahnen, dass dieser Berührungspunkt der Wendepunkt der Funktion ist. Hat eine Funktion mehrere Wendepunkte, dann gibt es auch mehrere Wendetangenten. Wichtig zu wissen ist außerdem, dass die ursprüngliche Funktion und die Wendetangente im Wendepunkt dieselbe Steigung haben. 

Die Wendetangente können wir als lineare Funktion darstellen. Dazu müssen wir die Steigung kennen. Erinnerst du dich daran, wie wir die Steigung einer Funktion herausfinden können? Richtig, mithilfe der ersten Ableitung. Wir müssen außerdem den Wendepunkt kennen, damit wir die entsprechende Wendetangente berechnen können. 

Mit diesen Angaben ist es schon gar nicht mehr schwer. Schauen wir uns die Anleitung dazu an!

Die Wendetangente berechnest du in drei einfachen Schritten:

1. Berechne die Wendepunkte. 
   Das geht so:
   1. Berechne alle drei Ableitungen.
   2. Setze die zweite Ableitung gleich Null.
   3. Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein.
   4. Bestimme die Art der Wendepunkte.
   5. Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die ursprüngliche Funktion f(x)$f(x)$ ein.
   Brauchst du zu diesem Schritt eine Auffrischung? Dann erfahre hier alles darüber, wie du Wendepunkte berechnest. 
   
   
2. Setze die Wendestelle (x-Wert) deines Wendepunkts in die erste Ableitung ein.
   Auf diese Weise ermittelst du die Steigung der Wendetangente und auch der Funktion in diesem Punkt. Wenn du mehrere Wendepunkte hast, wiederhole diesen Schritt für jeden Punkt.
   
   
3. Setze den x- und y-Wert deines Wendepunkts sowie die ermittelte Steigung in die Punktsteigungsform ein. 
   Auch diesen Schritt wiederholst du für jeden Wendepunkt.

Wahrscheinlich siehst du im Moment nur viele seltsame Buchstaben? Völlig in Ordnung! Wir rechnen das Ganze jetzt an einem Beispiel durch, und dann wird dir alles viel klarer werden. 

Wir nehmen als Beispiel folgende Funktion:

f(x)=13x3−2x2+3x$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x$

Die Aufgabe lautet: Ermittle die Wendetangente für jeden Wendepunkt der Funktion. 

Lass uns dazu unsere drei Schritte durchgehen.

Schritt 1: Berechne die Wendepunkte

Zur Erinnerung: Du kannst an anderer Stelle genau nachlesen, wie man Wendepunkte berechnet. Daher rechnen wir hier nicht ausführlich, sondern zeigen dir nur die Ergebnisse der einzelnen Schritte.

1. Berechne alle drei Ableitungen

Die Ableitungen von f(x)=13x3−2x2+3x$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x$ lauten:

f′(x)=x2−4x+3$f^{\prime }(x)=x^2-4x+3$

f′′(x)=2x−4$f^{″}(x)=2x-4$

f′′′(x)=2$f^{‴}(x)=2$

2. Setze die zweite Ableitung gleich Null

Wir rechnen:

2x−4=0$2x-4=0$

Wir lösen nach x$x$ auf:

x=2$x=2$

3. Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein

Wir setzen x=2$x=2$ in die dritte Ableitung ein und erhalten folgendes Ergebnis: 

f′′′(2)=2$f^{‴}(2)=2$

Da das Ergebnis ungleich Null ist, können wir nun bestätigen, dass wir tatsächlich eine Wendestelle entdeckt haben. 

4. Bestimme die Art der Wendepunkte. 

Wir haben herausgefunden:

xW>0⟹$x_{\text{W}}>0⟹$ Es handelt sich um einen Rechts-links-Wendepunkt.

5. Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die ursprüngliche Funktion f(x)$f(x)$ ein

Wir ermitteln die y-Koordinate unseres Wendepunkts, indem wir den gefundenen x-Wert in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Nach dem Auflösen erhalten wir:

W1(2|23)$W_1(2|\frac{2}{3})$

Nun kennen wir unseren Wendepunkt. Wir können jetzt mit der Berechnung der Wendetangente weitermachen.

Schritt 2: Setze die Wendestelle (x-Wert) deines Wendepunkts in die erste Ableitung ein

Die erste Ableitung unserer ursprünglichen Funktion haben wir bereits ermittelt. Sie lautet: 

f′(x)=x2−4x+3$f^{\prime }(x)=x^2-4x+3$

Wir setzen den x-Wert unseres Wendepunkts in die erste Ableitung ein, um die Steigung in diesem Punkt zu ermitteln: 

f′(xW1)=(2)2−2⋅4+3$f^{\prime }(x_{\text{W1}})=(2{)}^2-2\cdot 4+3$

f′(xW1)=4−8+3=−1$f^{\prime }(x_{\text{W1}})=4-8+3=-1$

So lautet unsere Steigung für die Wendetangente im Wendepunkt xW1$x_{\text{W}1}$.

Nun haben wir alle Informationen, die wir brauchen, um die Wendetangente zu berechnen.

Schritt 3: Setze den x- und y-Wert deines Wendepunkts sowie die ermittelte Steigung in die Punktsteigungsform ein

Die Punktsteigungsform lautet:

yW(x)=f′(xW)⋅(x−xW)+yW$y_{\text{W}}(x)=f^{\prime }(x_{\text{W}})\cdot (x-x_{\text{W}})+y_{\text{W}}$

Dabei gilt:

yW(x)$y_{\text{W}}(x)$ ist die Gleichung der Wendetangente, die wir jetzt berechnen.

f′(xW)$f^{\prime }(x_{\text{W}})$ ist die Steigung in unserem Wendepunkt (diese haben wir in Schritt 2 berechnet.)

xW$x_{\text{W}}$ und yW$y_{\text{W}}$ sind die Koordinaten unseres Wendepunkts. Für unseren ermittelten Wendepunkt lauten sie:

W1(2|23)$W_1(2|\frac{2}{3})$

Setzen wir nun für den Wendepunkt alle Informationen in die Gleichung ein:

yW(x)=f′(xW)⋅(x−xW)+yW$y_{\text{W}}(x)=f^{\prime }(x_{\text{W}})\cdot (x-x_{\text{W}})+y_{\text{W}}$

yW(x)=(−1)⋅(x−2)+23$y_{\text{W}}(x)=(-1)\cdot (x-2)+\frac{2}{3}$

yW(x)=−x+2+23$y_{\text{W}}(x)=-x+2+\frac{2}{3}$

yW(x)=−x+83$y_{\text{W}}(x)=-x+\frac{8}{3}$

Fertig! Du hast erfolgreich die Wendetangente für den vorhandenen Wendepunkt bestimmt. 

Hin und wieder musst du in der Kurvendiskussion auch die Wendenormale berechnen. Die Wendenormale ist ebenfalls eine Gerade, und sie verläuft genau senkrecht zur Wendetangenten – und zwar durch genau denselben Wendepunkt.

Auch die Wendenormale kannst du mit den oben genannten Werten berechnen. Die Formel dafür lautet:

Die Bezeichnung nW$n_{\text{W}}$ steht für die Wendenormale, die wir jetzt berechnen. Die anderen Bezeichnungen kennst du bereits:

f′(xW)$f^{\prime }(x_{\text{W}})$ ist die Steigung in unserem Wendepunkt.

xW$x_{\text{W}}$ und yW$y_{\text{W}}$ sind die Koordinaten unseres Wendepunkts. Sie lauten:

W1(2|23)$W_1(2|\frac{2}{3})$

Berechnen wir als Beispiel nun noch die Wendenormale von W1$W_1$. Dazu setzen wir in die Formel ein:

nW(x)=−1f′(xW)(x−xW)+yW$n_{\text{W}}(x)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_{\text{W}})}(x-x_{\text{W}})+y_{\text{W}}$

nW(x)=−1(−1)(x−2)+23$n_{\text{W}}(x)=-\frac{1}{(-1)}(x-2)+\frac{2}{3}$

nW(x)=1⋅(x−2)+23$n_{\text{W}}(x)=1\cdot (x-2)+\frac{2}{3}$

nW(x)=x−2+23$n_{\text{W}}(x)=x-2+\frac{2}{3}$

nW(x)=x−43$n_{\text{W}}(x)=x-\frac{4}{3}$

Fertig! Du hast nun sogar noch die Wendenormale berechnet.