Wertebereich

Häufig wirst du im Mathematikunterricht den Wertebereich einer Funktion bestimmen müssen. Das ist zum Beispiel ein gängiger Teil der Kurvendiskussion. Der Wertebereich einer Funktion gibt an, welche Werte du als Ergebnis (y-Wert) erhalten kannst, wenn du alle erlaubten x-Werte in die Funktion einsetzt. Diese erlaubten x-Werte sind im Definitionsbereich angegeben. Der Wertebereich (der übrigens auch Wertemenge genannt wird) ist außerdem einer von drei wichtigen Teilen, mit denen eine Funktion genau definiert wird:

1. Funktionsgleichung
2. Definitionsbereich
3. Wertebereich

Wenn du im Rahmen deiner Kurvendiskussion den Funktionsgraphen deiner Funktion bereits gezeichnet hast, kannst du den Wertebereich oft genau ablesen. Doch vielleicht kannst oder möchtest du nicht zeichnen? Dann ist es hilfreich, einige Grundkenntnisse über den Wertebereich zu haben. Für viele Arten von Funktionen ist dieser nämlich schon genau festgelegt. Schauen wir uns das genauer an!

Der Definitionsbereich und der Wertebereich einer Funktion hängen eng zusammen. Um den Wertebereich zu berechnen, darfst du nur x-Werte in die Funktion einsetzen, die in der Definitionsmenge auch vorkommen. Manchmal wirst du eine Funktion auch nur in einem bestimmten Intervall betrachten. Dann setzt du nur x-Werte aus diesem Intervall – beispielsweise von –3 bis +3 – ein. Das wirkt sich auch auf die möglichen y-Werte, also auf deinen Wertebereich, aus.

Für viele Funktionsarten steht der Wertebereich bereits genau fest. Für andere kannst du anhand der Funktionsgleichung den Wertebereich ablesen, ohne dass du ihn umständlich berechnen musst. Gehen wir die unterschiedlichen Arten Schritt für Schritt mit ihrer jeweiligen Wertemenge durch.

Wertebereich einer konstanten Funktion

Eine konstante Funktion hat die Form f(x)=c wobei c eine beliebige Zahl des Definitionsbereichs ist. Zum Beispiel könnte deine konstante Funktion so aussehen:

Wie du siehst, kannst du hier keine x-Werte einsetzen – somit erhältst du als y-Wert immer die Konstante c, in diesem Fall also 4. Der Wertebereich sieht dann so aus:

W={4}

Für konstante Funktionen musst du also nicht einmal etwas berechnen, um den Wertebereich zu bestimmen.

Wertebereich einer linearen Funktion

Auch für lineare Funktionen ist der Wertebereich sehr leicht zu bestimmen, denn er lautet ganz einfach:

W=R

Nehmen wir als Beispiel folgende lineare Funktion:

f(x)=2x

Hier kannst du für x jede reelle Zahle einsetzen und die y-Werte können jede reelle Zahl annehmen, wie du am Funktionsgraphen auch deutlich erkennen kannst:

Wertebereich einer quadratischen Funktion

Quadratische Funktionen werden grafisch als Parabeln dargestellt. Diese haben Hoch- bzw. Tiefpunkte. Einen Tiefpunkt, wenn sie nach oben geöffnet sind, und einen Hochpunkt, wenn sie nach unten geöffnet sind. In der jeweils anderen Richtung setzen sie sich ins Unendliche fort. 

Hier kannst du gut den Tiefpunkt bei (2|2) erkennen. Du kannst also durch Berechnen der Extrempunkte ermitteln, wo eine nach oben geöffnete Parabel ihren niedrigsten oder eine nach unten geöffnete Parabel ihren höchsten y-Wert einnimmt. Daran kannst du dann auch den Wertebereich ablesen. In unserem Fall handelt es sich um einen Tiefpunkt, daher gilt:

W=[2;∞[

Hätte bei (2|2) ein Hochpunkt gelegen, hätten wir stattdessen geschrieben:

W=]∞;2]

Wertebereich bei Funktionen höheren Grades

Hast du eine Funktion mit einem Exponenten größer als 2, musst du eine Unterscheidung treffen:

• Bei ungeraden Exponenten (Beispiel:f(x)=x3+4) gilt wie bei linearen Funktionen: W=R.
• Bei geraden Exponenten (Beispiel: f(x)=x4–3) gilt das, was du bereits von den quadratischen Funktionen kennst. Hier ermittelst du Hoch- bzw. Tiefpunkte als höchsten bzw. niedrigsten y-Wert. In der anderen Richtung bewegen sich die y-Werte ins Unendliche.

Lass uns auch hierzu die Graphen zum besseren Verständnis betrachten:

Wertebereich der e-Funktion und ln-Funktion

Da die e-Funktion die Umkehrfunktion der ln-Funktion ist, können wir von der Definitionsmenge auf die Wertemenge schließen. Das bedeutet:

• Der Definitionsbereich der e-Funktion ist W=R, der Wertebereich ist hingegen, wie sich auch am Funktionsgraphen ablesen lässt.
• Für die ln-Funktion ist es genau umgekehrt: Der Definitionsbereich ist R+, der Wertebereich hingegen W=R. 

Diese beiden Regeln prägst du dir am besten einfach ein. So musst du den Wertebereich nicht berechnen, sondern kannst den jeweiligen Bereich gleich niederschreiben. Hier siehst du noch einmal die Funktionsgraphen zum Abgleich:

Wertebereich trigonometrischer Funktionen

Die reine Sinus-Funktion sieht im Funktionsgraphen so aus:

Hier kannst du gut erkennen, dass der Wertebereich sehr eingeschränkt ist und sich nur zwischen –1 und 1 bewegt. Wir schreiben also:

W=[−1;1]

Nun kann die Sinus-Funktion aber auch andere Formen annehmen. Zum Beispiel kann sie durch einen Faktor gestreckt oder gestaucht werden.

Du siehst hier, dass sich durch diesen Faktor die Amplitude verändert. Zum Glück brauchst du dennoch nicht den gesamten Wertebereich zu berechnen, sondern kannst die Veränderung einfach anhand des Faktors ablesen. Bei einem Faktor 3 gilt:

W=[−3;3]

Zusätzlich kann es vorkommen, dass die Sinus-Kurve entlang der y-Achse nach unten oder nach oben verschoben wird (eine Verschiebung entlang der x-Achse ist ebenfalls möglich, wirkt sich jedoch nicht auf den Wertebereich aus). So sieht eine solche Gleichung zum Beispiel aus:

Hier kannst du erkennen, dass die y-Werte zwar immer noch Werte in einem Bereich von zwei Achsenabschnitten einnehmen, jedoch liegt das Intervall jetzt nicht mehr bei [–1;1], sondern ist um 4 verschoben. Der Wertebereich lautet nun also:

W=[–1+4;1+4]=[3;5]

Gar nicht so schwierig, oder? Die Cosinus-Funktion verhält sich übrigens ganz genauso, auch wenn sie ein Stück entlang der x-Achse verschoben ist.

Und wie sieht es mit der Tangens-Funktion aus? Hier ist es einfach. Für die Tangens-Funktion gilt:

W=R

Und hier noch der Funktionsgraph dazu:

Wertebereich gebrochenrationaler Funktionen

Der Wertebereich gebrochenrationaler Funktionen ist am schwierigsten herauszufinden. Denn bei gebrochenrationalen Funktionen – also solchen, die im Nenner ein x haben – wirst du auf Definitionslücken stoßen.

Nehmen wir als Beispiel diese Funktion:

f(x)=x3+2xx2

So sieht der dazugehörige Graph aus:

Gebrochenrationale Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass es x-Werte gibt, für welche die Funktion nicht definiert ist – weil sonst im Nenner eine Nullstelle entstehen würde und man durch Null teilen müsste. Das ist hier für x=0 der Fall. Diese Definitionslücken verursachen sogenannte Polstellen im Funktionsgraphen, an denen sich der Wertebereich stark verändern kann.

Wie gehst du nun also vor, um dennoch die Wertemenge herauszufinden? Nutze dazu die folgenden Schritte:

1. Untersuche die Funktion auf Definitionslücken bzw. Polstellen. 
2. Berechne alle Extremstellen (also Hoch- und Tiefpunkte) und die dazugehörigen Funktionswerte. 
3. Untersuche den Grenzwert der Funktion und berechne die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereiches, also dort, wo die Funktion dem Grenzwert entgegenstrebt.

Aus diesen Informationen kannst du schließlich die Wertemenge der Funktion Schritt für Schritt ableiten. Für unsere Beispielfunktion würdest du auf diese Weise herausfinden, dass

• die y-Werte für kleiner werdende x-Werte gegen minus unendlich streben,
• die Kurve von dort minus unendlich aus kommend einen Hochpunkt erreicht,
• dann anschließend stark abfällt und der Asymptote entgegenstrebt,
• bei x=0 eine Polstelle hat,
• für größer werdende x-Werte größer Null der Wertebereich von plus unendlich kommend einen Tiefpunkt erreicht und 
• die y-Werte nach diesem Tiefpunkt wieder gegen plus unendlich streben.

So kannst du in einzelnen Intervallen den Wertebereich definieren.