Monotonie

Wenn du die Funktionsgraphen von Funktionen betrachtest, kannst du Bereiche erkennen, in denen die Gerade bzw. Kurve steigt, fällt oder auch gleich bleibt, also keine Steigung aufweist. Um diese verschiedenen Abschnitte zu beschreiben, spricht man in der Kurvendiskussion von der Monotonie einer Funktion. Die Monotonie einer Funktion zu bestimmen, heißt also nichts anderes, als dass du herausfindest, wo die Funktion steigt, fällt oder gleich bleibt.

Natürlich zeigt eine Funktion nicht immer für die gesamte Funktion (also für den ganzen Definitionsbereich) nur ein einziges Monotonieverhalten. Es kann durchaus sein, dass die Gerade bzw. Kurve erst steigt, dann fällt, dann wieder steigt. Dazwischen kann es Bereiche ganz ohne Steigung geben.

Daher brauchen wir auch den Begriff Monotonie-Intervalle: Das Intervall, in dem sich die Monotonie einer Funktion nicht verändert, heißt Monotonie-Intervall. Wenn du mit dem Rad von der Schule nach Hause fährst und dabei zunächst einen Berg hinauf- und dann auf der anderen Seite wieder hinabfährst, hat diese Strecke also zwei Monotonie-Intervalle. Nicht so schwierig, oder?

Du kannst an dem folgenden Funktionsgraphen gut verschiedene Intervalle erkennen:

Wie du siehst, gibt es vier verschiedene Arten von Monotonie:

1. streng monoton steigend: Die Funktion steigt über das gesamte Intervall an.
2. monoton steigend: Die Funktion steigt an und es gibt Abschnitte ohne Steigung.
3. monoton fallend: Die Funktion fällt ab und es gibt Abschnitte ohne Steigung.
4. streng monoton fallend: Die Funktion fällt über das gesamte Intervall ab.

Bisweilen kannst du an einem Funktionsgraphen die Monotonie der Funktion ziemlich gut ablesen und somit bestimmen. Doch wie funktioniert das Ganze mathematisch? Schauen wir uns dazu die Bedingungen für die verschiedenen Arten von Monotonie an.

Wenn wir zwei x-Werte im selben Monotonie-Intervall gegeben haben und x1<x2$x_1<x_2$ ist (also der erste x-Wert auf der x-Achse weiter links liegt als der zweite x-Wert), dann können wir die Monotonie der Funktion bestimmen, indem wir die entsprechenden beiden y-Werte y1$y_1$ und y2$y_2$ ausrechnen.

Wählst du also beispielsweise als x-Werte x1=2$x_1=2$ und x2=3$x_2=3$, setzt diese in deine Funktion ein und berechnest y1=4$y_1=4$ und y2=5$y_2=5$, dann weißt du, dass deine Funktion ansteigt, also eine positive Steigung hat. Etwas allgemeiner ausgedrückt heißt das:

Für x1<x2$x_1<x_2$ gilt:

f(x1)<f(x2)→$f(x_1)<f(x_2)\to$ Die Funktion ist streng monoton steigend.

Vereinfacht gesagt bedeutet das: Wenn die x-Werte steigen, steigen auch die y-Werte – und damit auch die Funktion insgesamt.

Diese Regel kannst du nun für die vier verschiedenen Arten von Monotonie bei Funktionen anpassen.

Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, die Monotonie einer Funktion zu bestimmen. Du weißt ja bereits, dass die Monotonie eng mit der (positiven oder negativen) Steigung zusammenhängt. Mehr über die Steigung einer Funktion findest du mithilfe der ersten Ableitung heraus.

Als zweite Möglichkeit kannst du also für einen gewählten x-Wert die erste Ableitung berechnen, um so die Steigung an dieser Stelle bzw. in einem Intervall herauszufinden.

Nun hast du vielleicht schon bemerkt, dass es noch nicht viel über die Monotonie einer Funktion aussagt, wenn wir nur einen einzelnen Punkt betrachten. Wir möchten ja über den gesamten Definitionsbereich der Funktion oder zumindest über ein bestimmtes Intervall eine Aussage treffen können. Dazu müssen wir aber wissen, an welchen Punkten genau wir eine Funktion prüfen sollten. Schauen wir uns das einmal näher an.

Eine Funktion ändert ihr Monotonieverhalten nicht völlig willkürlich, sondern wir können Punkte bestimmen, an denen eine Änderung überhaupt nur möglich ist. Vielleicht hast du schon erraten, dass es sich bei diesen Punkten um Punkte ohne Steigung handelt. Das ist im Funktionsgraphen, den du oben gesehen hast, auch sehr schön sichtbar: Bevor eine Funktion von steigend zu fallend oder umgekehrt wechseln kann, muss es dazwischen eine Stelle ohne Steigung geben. Und diese können wir berechnen.

Das hilft uns sehr dabei, die Intervalle aufzustellen, die wir für die Überprüfung auf Monotonie brauchen. Nun weißt du alles, was du wissen musst, um die Monotonie einer Funktion zu verstehen. Gehen wir jetzt zu einer genauen Anleitung über!

Nutze diese fünf Schritte, um die Monotonie einer Funktion zu berechnen:

1. Berechne die erste Ableitung.
2. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung. So findest du Stellen ohne Steigung.
3. Lege eine Vorzeichentabelle an.
4. Berechne die erste Ableitung für alle Werte.
5. Interpretiere das Ergebnis.

Schauen wir uns das jetzt an einem Beispiel an!

Betrachten wir als Beispiel folgende Gleichung:

f(x)=13x3+12x2−2x$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-2x$

Schritt 1: Berechne die erste Ableitung

Dazu brauchst du die Ableitungsregeln. Das Ergebnis lautet:

f′(x)=x2+x−2$f^{\prime }(x)=x^2+x-2$

Schritt 2: Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung

Je nach Aufgabe brauchst du dazu eventuell die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel. Da du dort auch genaue Beispiele zum Lösen der Gleichungen findest, zeigen wir dir an dieser Stelle nur die Ergebnisse. Für die oben genannte Funktion haben wir Nullstellen in der ersten Ableitung bei

x1=1$x_1=1$

x2=−2$x_2=-2$

Schritt 3: Lege eine Vorzeichentabelle an

So sieht eine Vorzeichentabelle mit unseren bisher bekannten x-Werten aus:

Du weißt, dass sich nur an den Nullstellen die Monotonie der Funktion verändern kann. Wir müssen also einmal zwischen den beiden Nullstellen prüfen, was dort passiert, und außerdem einmal vor der ersten und nach der letzten Nullstelle. Das tun wir mithilfe der Werte v1$v_1$, v2$v_2$ und v3$v_3$. Welche Werte du einsetzt, kannst du frei wählen. Natürlich muss aber beispielsweise v2$v_2$ größer als −2$-2$ und kleiner als 1$1$ sein. Nehmen wir zum Beispiel folgende Werte:

Für diese drei Werte müssen wir nun noch die erste Ableitung der Funktion berechnen, um herauszufinden, wie die Steigung sich dort verhält.

Schritt 4: Berechne die erste Ableitung für alle Werte

Wir berechnen nun also:

1. f′(−3)$f^{\prime }(-3)$
2. f′(0)$f^{\prime }(0)$
3. f′(2)$f^{\prime }(2)$

Beginnen wir mit f′(−3)$f^{\prime }(-3)$:

f′(x)=x2+x−2$f^{\prime }(x)=x^2+x-2$

f′(−3)=(−3)2+(−3)−2$f^{\prime }(-3)=(-3{)}^2+(-3)-2$

f′(−3)=9−3−2$f^{\prime }(-3)=9-3-2$

f′(−3)=4$f^{\prime }(-3)=4$

Weiter geht's mit f′(0)$f^{\prime }(0)$:

f′(x)=x2+x−2$f^{\prime }(x)=x^2+x-2$

f′(0)=02+0−2$f^{\prime }(0)=0^2+0-2$

f′(0)=−2$f^{\prime }(0)=-2$

Und schließlich f′(2)$f^{\prime }(2)$:

f′(x)=x2+x−2$f^{\prime }(x)=x^2+x-2$

f′(2)=22+2−2$f^{\prime }(2)=2^2+2-2$

f′(2)=4$f^{\prime }(2)=4$

Wir ergänzen zum Schluss unsere Vorzeichentabelle mit den neuen Werten:

Schritt 5: Interpretiere das Ergebnis

Bei f(x)=−3$f(x)=-3$ hat die erste Ableitung das Ergebnis 4$4$. Das bedeutet, hier tritt eine positive Steigung auf, die Kurve ist also streng monoton steigend bis zum nächsten x-Wert in unserer Tabelle, nämlich f(x)=−2$f(x)=-2$. Hier haben wir eine Nullstelle in der ersten Ableitung (also keine Steigung).

Anschließend fällt die Kurve (da die erste Ableitung bei x=0$x=0$ den Wert −2$-2$ liefert, bis wir die nächste Nullstelle (x=1)$(x=1)$ erreichen. Und schließlich - das wissen wir, weil bei x=2$x=2$ wieder eine positive Steigung (>0)$(>0)$ vorliegt - steigt die Kurve wieder.

Schließlich können wir nun noch das Monotonieverhalten der Kurve in unterschiedlichen Intervallen angeben.

Das erste Intervall beginnt dabei bei Unendlich (∞)$(\mathrm{\infty })$, denn auch wenn unser erster geprüfter x-Wert laut Tabelle −3$-3$ war, beginnt die Kurve natürlich schon weit vorher. Wir schreiben also:

]−∞,−2]$]-\mathrm{\infty },-2]$ streng monoton steigend

[−2,1]$[-2,1]$ streng monoton fallend

[1,∞[$[1,\mathrm{\infty }[$ streng monoton steigend

Unsere Funktion hat also drei Monotonie-Intervalle.

Gut zu wissen

Was hat es mit Funktionen auf sich, die nicht streng, sondern nur monoton fallend oder steigend sind? Diese weisen Abschnitte auf, in denen keine Steigung vorliegt. Diese kommen sehr selten vor, du solltest aber zumindest einmal davon gehört haben.

Hier wirst du beim Berechnen feststellen, dass die Funktion mehrere Nullstellen in der ersten Ableitung hat (überall dort, wo die Steigung gleich Null ist), jedoch vor, zwischen und nach diesen Nullstellen entweder steigt oder keine Steigung hat. Sattelpunkte können vorkommen, du wirst jedoch keine negative Steigung und daher auch keine Hoch- oder Tiefpunkte finden. 

Wenn du für die Kurvendiskussion ohnehin schon die zweite Ableitung deiner Funktion berechnet hast, kannst du damit schneller die Monotonie der Funktion bestimmen. Dazu ein Beispiel:

Du berechnest die Nullstellen der ersten Ableitung und setzt die Ergebnisse in die zweite Ableitung ein. Somit erhältst du Auskunft über Hochpunkte und Tiefpunkte. Du findest heraus, dass deine Funktion einen Hochpunkt bei x=−2$x=-2$ und einen Tiefpunkt bei x=−5$x=-5$ hat.

Wie kannst du dieses Ergebnis interpretieren? Bei einem Hochpunkt muss die Funktion vorher steigen und nachher fallen. Daher weißt du sicher, dass deine Funktion bis x=−2$x=-2$ steigt und danach fällt, und zwar bis x=−5$x=-5$. Dort erreicht sie ihren Tiefpunkt, um anschließend wieder zu steigen.

Wenn du die zweite Ableitung bereits berechnet hast, ist diese Methode schneller und einfacher.

Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen, in denen du im Zähler und im Nenner ein x$x$ findest. Die zweite Ableitung ist hier recht aufwendig zu bilden, sodass du mit der Vorzeichentabelle schneller zu einem Ergebnis über die Monotonie deiner Funktion kommst.

Dabei ist jedoch eins sehr wichtig: Bei gebrochenrationalen Funktionen musst du nicht nur die Nullstellen der ersten Ableitung, sondern auch die Polstellen berücksichtigen. Hier kann es nämlich ebenfalls zu einem Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung (und somit zu einer Veränderung in der Steigung) kommen.