Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel ist eine Formel, die dir hilft, bestimmte quadratische Gleichungen auf einfache Weise zu lösen. Du kannst mithilfe der Mitternachtsformel

1. herausfinden, ob eine quadratische Gleichung lösbar ist,
2. erkennen, wie viele Lösungen es für die Gleichung gibt, und
3. schließlich die Gleichung lösen.

Es gibt verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen:

• reinquadratische Gleichungen (z. B. x2=64$x^2=64$)
• gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied (z. B. 0=x2−5x$0=x^2-5x$)
• gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied (z. B. 0=x2−5x+4$0=x^2-5x+4$)

All die oben genannten quadratischen Gleichungen kannst du mithilfe der Mitternachtsformel lösen. Wirklich sinnvoll ist die Anwendung dieser Lösungsformel aber nur, wenn du eine gemischtquadratische Gleichung folgender Form hast:

0=ax2+bx+c$0=a{x}^2+bx+c$

Eine quadratische Gleichung kann eine, zwei oder keine Lösungen haben. Ob sie überhaupt lösbar ist, hängt davon ab, ob die Gleichung Nullstellen hat. Das kannst du auch anhand der grafischen Darstellung der Gleichung erkennen: Wo die Kurve, die sich aus der Gleichung ergibt, die x-Achse schneidet, befinden sich die Nullstellen.

Hier siehst du deutlich, ob die Gleichungen lösbar sind oder nicht:

• Die Gleichung der in Rot dargestellten Funktion ist nicht lösbar, da die Funktion keine Nullstellen hat.
• Die Gleichung der in Grün dargestellten Funktion hat genau eine Lösung, da die Funktion eine Nullstelle hat.
• Die Gleichung der in Blau dargestellten Funktion hat zwei Lösungen, da die Funktion zwei Nullstellen hat.

Mithilfe der Mitternachtsformel kannst du herausfinden, wie viele Nullstellen vorhanden sind und wie viele Lösungen für die Gleichung du folglich ermitteln kannst. Die Formel hilft dir dann auch beim vollständigen Lösen der Gleichung. Lass uns nun die Formel betrachten. 

So sieht die Mitternachtsformel aus:

Auf der linken Seite der Gleichung steht x1,2$x_{1,2}$. Das ist so, da die Gleichung zwei Lösungen (x1$x_1$ und x2$x_2$) haben kann. Es ist aber ebenso möglich, dass du nur eine Lösung (x1$x_1$) oder auch gar keine Lösung findest – je nachdem, wie viele Nullstellen es gibt. Die zwei möglichen Lösungen ergeben sich durch das ±$\pm$Zeichen:

x1/2=−b±b2−4ac√2a$x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Möglich sind also die Lösungen:

x1=−b+b2−4ac√2a$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

und

x2=−b−b2−4ac√2a$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Auf der rechten Seite der Gleichung findest du außerdem die Parameter a, b und c. Um die Mitternachtsformel nutzen zu können, musst du hier Zahlen einsetzen. Diese entnimmst du der quadratischen Gleichung, die du lösen möchtest.

Beispiel: a, b und c ermitteln

Nehmen wir an, deine quadratische Gleichung lautet:

0=$0=$2$2$ x2$x^2$ −8$-8$x$x$+6$+6$

Dann kannst du a, b und c fogendermaßen ablesen:

a steht vor dem x2$x^2$, hier +2.

b steht vor dem x, hier -8.

c ist das Absolutglied, hier +6.

Diese Zahlen kannst du nun in die Mitternachtsformel einsetzen:

x1/2=−b±b2−4ac√2a$x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

x1/2=−(−8)±(−8)2−4⋅2⋅6√2⋅2$x_{1/2}=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 2\cdot 6}}{2\cdot 2}$

Wozu nützt uns das? Wir können jetzt ermitteln, wie viele Nullstellen bzw. Lösungen es für die Gleichung gibt.

Nullstellen an der Diskriminante ablesen

Der Term, der in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht (b2−4ac$b^2-4ac$) wird „Diskriminante“ genannt. Wenn du a, b und c ermittelt hast, kannst du leicht die Diskriminante berechnen und am Ergebnis ablesen, wie viele Lösungen deine Gleichung – also wie viele Nullstellen deine Funktion – hat:

In unserem Beispiel x1/2=−(−8)±(−8)2−4⋅2⋅6√2⋅2$x_{1/2}=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 2\cdot 6}}{2\cdot 2}$ ist die Diskriminante:

D=(−8)2−4⋅2⋅6$D={(-8)}^2-4\cdot 2\cdot 6$

Wir lösen auf:

D=64−4⋅12$D=64-4\cdot 12$

D=64−48$D=64-48$

D=16$D=16$

Du siehst nun, dass die quadratische Gleichung zwei Lösungen haben wird, da die Diskriminante größer als 0 ist.

Am besten wendest du die Mitternachtsformel systematisch in fünf Schritten an. Lass uns dazu drei Beispiele betrachten:

Beispiel 1: Quadratische Gleichung mit zwei Lösungen

Unsere Gleichung für dieses Beispiel lautet:

2x2−8x=6x$2x^2-8x=6x$

Schritt 1: Quadratische Gleichung in die Normalform bringen

Die Normalform, auch allgemeine Form genannt, ist 0=ax2+bx+c$0=a{x}^2+bx+c$. Die Mitternachtsformel können wir am besten anwenden, wenn unsere Gleichung in dieser allgemeinen Form steht. Daher stellen wir unsere Gleichung zunächst um:

2x2−8=6x |−6x$2x^2-8=6x|-6x$

2x2−8−6x=0$2x^2-8-6x=0$

Oder auch, wenn wir einige Terme umstellen:

0=2x2−6x−8$0=2x^2-6x-8$

Schritt 2: a, b und c ablesen

Aus der Gleichung lesen wir nun die Werte für a, b und c ab:

0=$0=$2$2$ x2$x^2$ −6$-6$x$x$−8$-8$

a=2

b=−6$-6$

c=8$8$

Achte dabei wieder genau auf die Vorzeichen!

Schritt 3: Die Werte für a, b und c einsetzen

Als Nächstes setzen wir unsere ermittelten Werte für a, b und c in die Mitternachtsformel ein:

x1/2=−b±b2−4ac√2a$x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

x1/2=−(−6)±(−6)2−4⋅2⋅(−8)√2⋅2$x_{1/2}=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\cdot 2\cdot (-8)}}{2\cdot 2}$

Schritt 4: Die Gleichung auflösen

Wir können nun die Gleichung nach x1,2$x_{1,2}$ auflösen:

x1/2=−(−6)±(−6)2−4⋅2⋅(−8)√2⋅2$x_{1/2}=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\cdot 2\cdot (-8)}}{2\cdot 2}$

x1/2=6±36−4⋅(−16)√4$x_{1/2}=\frac{6\pm \sqrt{36-4\cdot (-16)}}{4}$

x1/2=6±36−(−64)√4$x_{1/2}=\frac{6\pm \sqrt{36-(-64)}}{4}$

x1/2=6±36+64√4$x_{1/2}=\frac{6\pm \sqrt{36+64}}{4}$

An dieser Stelle erkennst du, dass die Diskriminante – das, was unter der Wurzel steht – größer als 0 ist. Du weißt also bereits, dass die Gleichung zwei Lösungen haben wird. Wir lösen weiter auf:

x1/2=6±100√4$x_{1/2}=\frac{6\pm \sqrt{100}}{4}$

x1/2=6±104$x_{1/2}=\frac{6\pm 10}{4}$

x1=6+104=164=4$x_1=\frac{6+10}{4}=\frac{16}{4}=4$

x2=6−104=−44=−1$x_2=\frac{6-10}{4}=\frac{-4}{4}=-1$

Schritt 5: Lösungsmenge aufschreiben

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:

L={-1,4}

Beispiel 2: Quadratische Gleichung mit einer Lösung

Unsere Gleichung für dieses Beispiel lautet:

0=−2x2+8x−8$0=-2x^2+8x-8$

Schritt 1: Quadratische Gleichung in die Normalform bringen

Erinnere dich daran, wie die allgemeine Form (Normalform) der quadratischen Gleichung aussieht:

0=ax2+bx+c$0=a{x}^2+bx+c$

0=−2x2+8x−8 |⋅(−1)$0=-2x^2+8x-8|\cdot (-1)$

0=2x2−8x+8 $0=2x^2-8x+8$

Schritt 2: a, b und c ablesen

Lies aus der Gleichung nun die Werte für a, b und c ab:

0=$0=$2$2$x2$x^2$−8$-8$x$x$+8$+8$

a=+2$+2$

b=−8$-8$

c=+8$+8$

Schritt 3: Die Werte für a, b und c einsetzen

Setze nun die Werte für a, b und c in die Mitternachtsformel ein:

x1/2=−b±b2−4ac√2a$x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

x1/2=−(−8)±(−8)2−4⋅2⋅8√2⋅2$x_{1/2}=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 2\cdot 8}}{2\cdot 2}$

Schritt 4: Die Gleichung auflösen

Löse nun die Gleichung nach x1,2$x_{1,2}$ auf:

x1/2=−(−8)±(−8)2−4⋅2⋅8√2⋅2$x_{1/2}=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 2\cdot 8}}{2\cdot 2}$

x1/2=8±64−4⋅2⋅8√2⋅2$x_{1/2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 2\cdot 8}}{2\cdot 2}$

x1/2=8±64−4⋅16√2⋅2$x_{1/2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 16}}{2\cdot 2}$

x1/2=8±64−64√4$x_{1/2}=\frac{8\pm \sqrt{64-64}}{4}$

x1/2=8±0√4$x_{1/2}=\frac{8\pm \sqrt{0}}{4}$

Hier kannst du erkennen, dass die Diskriminante gleich 0 ist. Die Gleichung wird also genau eine Lösung haben.

x1=84=2$x_1=\frac{8}{4}=2$

Schritt 5: Lösungsmenge aufschreiben

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:

L={2}

Beispiel 3: Quadratische Gleichung ohne Lösungen

Unsere Gleichung für dieses Beispiel lautet:

0=2x2+3x+30$0=2x^2+3x+30$

Schritt 1: Quadratische Gleichung in die Normalform bringen

Diesmal haben wir Glück: Die quadratische Gleichung steht bereits in der allgemeinen Form bzw. der Normalform. Wir brauchen also nicht umzuformen und können diesen Schritt überspringen.

Schritt 2: a, b und c ablesen

Wir lesen aus der Gleichung die Werte für a, b und c ab:

0=$0=$2$2$x2$x^2$+3$+3$x$x$+30$+30$

a=2$2$

b=3$3$

c=30$30$

Schritt 3: Die Werte für a, b und c einsetzen

Wir setzen unsere ermittelten Werte in die Mitternachtsformel ein:

x1/2=−b±b2−4ac√2a$x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

x1/2=−3±32−4⋅2⋅30√2⋅2$x_{1/2}=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 2\cdot 30}}{2\cdot 2}$

Schritt 4: Die Gleichung auflösen

Wir lösen die Gleichung nach x1,2$x_{1,2}$ auf:

x1/2=−3±9−8⋅30√4$x_{1/2}=\frac{-3\pm \sqrt{9-8\cdot 30}}{4}$

x1/2=−3±9−240√4$x_{1/2}=\frac{-3\pm \sqrt{9-240}}{4}$

x1/2=−3±−231√4$x_{1/2}=\frac{-3\pm \sqrt{-231}}{4}$

An dieser Stelle siehst du, dass die Diskriminante negativ ist. Da du aus einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen kannst, ist die Gleichung unlösbar – es sind keine Nullstellen vorhanden.

Schritt 5: Lösungsmenge aufschreiben

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:

L={}

Bisweilen wirst du auf Aufgaben stoßen, in denen b oder c gleich 0 sind. Du kannst in diesen Fällen dennoch die Mitternachtsformel verwenden - rechne dann einfach mit b=0 bzw. c=0.

Meist ist es aber sinnvoller, einen anderen, einfacheren Rechenweg zu nutzen, der dich schneller ans Ziel bringt. Schauen wir uns dazu zwei Übungen an.

Sonderfall b=0

Als Beispiel nehmen wir die folgende Gleichung:

0=$0=$4$4$x2$x^2$−36$-36$

Es gilt:

a=4$4$

b=0

c=−36$-36$

Anstatt mit der Mitternachtsformel zu rechnen, kannst du die Gleichung einfach nach x auflösen:

0=4x2−36 |+36$0=4x^2-36|+36$

36=4x2 |:4$36=4x^2|:4$

9=x2 |√$9=x^2|\sqrt{}$

Die Gleichung hat zwei Lösungen:

x1=−3$x_1=-3$

x2=3$x_2=3$

Wir schreiben zum Schluss die Lösungsmenge auf:

L={-3;3}.

Sonderfall c=0

Wir nutzen zur Übung die folgende Gleichung. Wie du siehst, fehlt das Absolutglied:

0=$0=$4$4$x2$x^2$−2$-2$x$x$

Es gilt:

a=4$4$

b=−2$-2$

c=0

Um die Lösung leichter herleiten zu können, klammern wir zunächst x aus:

0=x⋅(4x−2)$0=x\cdot (4x-2)$

Du kannst nun erkennen, dass es zwei Möglichkeiten gibt, die Gleichung zu lösen: Wenn x=0$x=0$ ist, wird die Klammer mit 0 multipliziert:

0=0⋅(4⋅0−2)$0=0\cdot (4\cdot 0-2)$

0=0$0=0$

Somit ist die Gleichung korrekt gelöst. Die erste Lösung lautet also x1=0$x_1=0$.

Die zweite Möglichkeit ist, einen Wert für x zu finden, der dazu führt, dass in der Klammer (4x-2) der Wert 0 steht. Um diesen Wert zu finden, kannst du folgende Gleichung aufschreiben und lösen:

4x−2=0 |+2$4x-2=0|+2$

4x=2 |:4$4x=2|:4$

x=12=0,5$x=\frac{1}{2}=0,5$

Die zweite mögliche Lösung ist x2=0,5$x_2=0,5$. Machen wir die Probe, indem wir dieses x2$x_2$ in unsere ursprüngliche Gleichung einsetzen:

0=4x2−2x$0=4x^2-2x$

0=4⋅(12)2−2⋅(12)$0=4\cdot (\frac{1}{2}{)}^2-2\cdot (\frac{1}{2})$

0=4⋅(14)−1$0=4\cdot (\frac{1}{4})-1$

0=1−1$0=1-1$

0=0$0=0$

Wir haben also eine zweite korrekte Lösung gefunden.

Zuletzt schreiben wir die Lösungsmenge auf:

L={0;0,5}.

Die Mitternachtsformel ist eine Lösungsformel, die besonders für das Lösen gemischtquadratischer Gleichungen der Form 0=ax2+bx+c$0=a{x}^2+bx+c$ geeignet ist. Wenn a=1 ist, kannst du alternativ auch die p-q-Formel für die Lösung nutzen. Die Mitternachtsformel hilft dir außerdem zu bestimmen, wie viele Lösungen die Gleichung bzw. wie viele Nullstellen die Funktion hat.

Auch die Sonderfälle, wenn b=0 oder c=0 ist, lassen sich mithilfe der Mitternachtsformel berechnen. In diesen Fällen gibt es aber auch einfachere Rechenwege.