Satz von Vieta

Wenn du in der Schule quadratischen Gleichungen begegnest, fragst du dich vielleicht, wie du diese möglichst einfach lösen kannst. Wir haben dazu eine Seite über das Lösen quadratischer Gleichungen für dich zusammengestellt. Der Satz von Vieta gehört nur teilweise dazu, weil er kein eigentliches Lösungsverfahren darstellt. Nützlich ist er trotzdem, denn mit dem Satz von Vieta kann es dir gelingen, quadratische Gleichungen ganz mühelos und ohne großes Rechnen zu lösen. Das funktioniert nicht immer – aber wenn, dann macht es richtig Spaß!

Der Satz von Vieta funktioniert am besten, wenn

• deine Gleichung in der Normalform x2+px+q=0 steht. 
• die Lösungen der Gleichung ganze Zahlen sind.
• die Zahlen nicht zu groß sind, sodass du noch gut im Kopf damit rechnen kannst.

Wozu musst du überhaupt quadratische Gleichungen lösen? Sie werden dir im Mathematikunterricht häufig begegnen, gerade auch im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion. Da kommt es häufig vor, dass du die Nullstellen einer Funktion bestimmen und dazu quadratische Gleichungen lösen musst.

Lass uns also schauen, wie du mit dem Satz von Vieta die Lösungen einer Gleichung berechnen kannst.

Nehmen wir als Beispiel folgende Gleichung:

2x2−16x=−24

Nun kannst du den Satz von Vieta in sechs Schritten anwenden.

Schritt 1: Gleichung in die Normalform bringen

Die Normalform quadratischer Gleichungen kennst du bestimmt schon vom Rechnen mit der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel.
So sieht die Normalform aus:

x2+px+q=0

Die Gleichung aus unserem Beispiel sieht noch nicht so aus. Wir bringen daher zunächst alle Terme auf eine Seite:

2x2−16x=−24∣+24

2x2−16x+24=0

Wie du siehst, hat die Aufgabe in unserem Beispiel außerdem vor dem x2 noch einen Faktor. Wir müssen die Gleichung also noch weiter umformen:

2x2−16x+24=0∣:2

x2−8x+12=0

Jetzt steht die Gleichung in der Normalform, sodass wir den Satz von Vieta anwenden können.

Schritt 3: Satz von Vieta aufstellen

Nutze deine abgelesenen Werte, um den Satz von Vieta für deine Gleichung aufzustellen. Für unser Beispiel sieht das so aus:

x1+x2=−p

x1⋅x2=q

Da für unsere Gleichung p=−8 und q=12 gilt, schreiben wir:

x1+x2=−(–8)=8

x1⋅x2=12

Schritt 4: Probiere mögliche Lösungen aus

Jetzt kommt der Teil, der richtig Spaß machen kann: Versuche, durch Ausprobieren mögliche Lösungen für deine Gleichung zu finden. Am besten beginnst du dabei mit diesem Teil:

x1⋅x2=q

In unserem Beispiel sieht er so aus:

x1⋅x2=12

Deine Aufgabe ist es nun, Faktoren zu finden, die im Produkt 12 ergeben. Fertige dir dazu eine Liste mit allen möglichen Lösungen an:

3⋅4=12

1⋅12=12

2⋅6=12

Tipp: Welchen Faktor du für x1 und welchen du für x2 einsetzt, ist egal – die Faktoren 3 und 4 ergeben ebenso das Produkt 12 wie die Faktoren 4 und 3.

Um herauszufinden, welche dieser Werte für x1 und x2 passen, setzen wir diese nun probeweise in den zweiten Teil des Satzes von Vieta ein:

x1+x2=−p

Oder für unser Beispiel:

x1+x2=8

Versuchen wir das einmal für unsere erste mögliche Lösung x1=3 und x2=4:

3+4≠8

Das hat nicht funktioniert! Probieren wir es mit x1=1 und x2=12:

1+12≠8

Auch das klappt nicht. Wir haben noch die mögliche Lösung x1=2 und x2=6:

2+6=8

Super! Wir haben eine Lösung gefunden und somit die Nullstellen der Gleichung berechnet.

Tipp: An dieser Stelle erkennst du auch, warum der Satz von Vieta als Lösungsmethode nur bei ganzzahligen Lösungen sinnvoll ist. Er gilt zwar für alle algebraischen Gleichungen – doch wenn du statt ganzer Zahlen auch Faktoren wie 1,25 oder gar 1,2765 ausprobieren müsstest, könntest du das natürlich nicht mehr im Kopf berechnen.

Schritt 5: Lösungen aufschreiben

Wir schreiben unsere gefundenen Lösungen nun noch korrekt auf:

x1=2

x2=6

Oder auch:

L={2;6}

Schritt 6: Probe machen

Um zu überprüfen, ob du die Nullstellen richtig berechnet hast, ist es sinnvoll, die gefundenen Lösungen noch einmal in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen. Tun wir das zunächst für x1=2:

2x2−16x=−24

2⋅22−16⋅2=−24

8−32=−24

−24=−24

Das stimmt schon mal! Lass uns auch noch x2=6 überprüfen:

2x2−16x=−24

2⋅62−16⋅6=−24

72­−96=−24

−24=−24

Wir haben richtig gerechnet!

Manchmal hast du vielleicht schon eine Lösung gefunden oder sie ist anhand der Gleichung sehr leicht zu erkennen. Dann kannst du den Satz von Vieta nutzen, um die zweite mögliche Lösung, sofern es sie gibt, herauszufinden. Dazu musst du nur etwas umstellen. Nennen wir die Lösung, die du bereits kennst, x1, dann stellen wir so um, dass du x2 berechnen kannst.

Beispiel:
Wir nehmen unsere Gleichung von oben als Beispiel und nehmen an, du hast bereits herausgefunden, dass x1=2 ist. Nun kannst du so umstellen:

x1⋅x2=q

2⋅x2=12|:x1

x2=122=6

Du kannst auch den anderen Teil des Satzes von Vieta nutzen und umstellen. Machen wir das der Vollständigkeit halber auch noch einmal:

x1+x2=−p

2+x2=8∣–2

x2=6

Welchen Teil du anwenden möchtest, ist dir überlassen. Wähle einfach den, der dir leichter fällt.

Mithilfe der p-q-Formel kannst du leicht den Beweis führen, dass der Satz von Vieta stimmt. Wir stellen zunächst die Behauptung auf, dass gilt:

x1+x2=−p

Wir wissen, dass laut p-q-Formel außerdem gilt:

x1,2=−p2±√(p2)2−q

Oder, wenn wir x1 und x2 aufteilen:

x1=−p2+√(p2)2−q

und

x2=−p2−√(p2)2−q

Wir können also für  x1+x2 schreiben:

x1+x2=−p2+√(p2)2−q+(−p2−√(p2)2−q)

Die Wurzelausdrücke gleichen einander aus, und so bleibt nur:

x1+x2=−p2−p2=−p

Das ist genau der eine Teil der Aussage des Satzes von Vieta.

Beweisen wir auch noch den anderen Teil:

x1⋅x2=q

x1⋅x2=(−p2+√(p2)2−q)⋅(−p2−√(p2)2−q)

Hier können wir die dritte binomische Formel anwenden und erhalten dann:

x1⋅x2=p4−(p2)2−q

x1⋅x2=p4−(p2)2+q

x1⋅x2=q

Damit haben wir den zweiten Teil ebenfalls bewiesen.