abc-Formel

Die abc-Formel erleichtert es dir, die Nullstellen in quadratischen Gleichungen zu berechnen. Das ist besonders wichtig, wenn du eine Kurvendiskussion einer Funktion durchführst, denn dafür benötigst du häufiger die Nullstellen quadratischer Gleichungen, zum Beispiel, um die Stellen zu finden, an denen die Kurve keine Steigung hat. 

Die abc-Formel verwendest du, wenn deine Gleichung folgende Form hat: ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$

Dabei sind a$a$, b$b$ und c$c$ einfach Zahlen. Wenn diese Zahlen als Faktoren deine Variable x$x$ modifizieren, nennt man sie Koeffizienten. Das ist hier bei a$a$ und bei b$b$ der Fall. Für c$c$ gilt das hingegen nicht, denn c$c$ steht nicht in Verbindung mit deiner Variable x$x$. Daher gibt es für c einen anderen Namen: das Absolutglied.  

Grundsätzlich kannst du die abc-Formel für alle quadratischen Gleichungen dieser Form anwenden. Das gilt auch, wenn a=1$a=1$ sein sollte, wie zum Beispiel hier:

(1)x2+3x–4=0$(1)x^2+3x–4=0$

In diesem Fall, wenn a=1$a=1$ ist, hast du aber auch noch eine andere Möglichkeit. Hier kannst du nämlich außerdem noch die p-q-Formel anwenden, um die Nullstellen der Gleichung zu finden. Die abc-Formel funktioniert aber ebenfalls.  

Die Funktionen, die du mit der abc-Formel untersuchen kannst, haben immer entweder zwei, eine oder gar keine Nullstellen. Warum? Weil es sich um quadratische Gleichungen handelt. Diese können beispielsweise so aussehen: 

Hier erkennst du:

• Die rote Kurve schneidet die x-Achse überhaupt nicht und hat daher auch keine Nullstellen.
• Die grüne Kurve schneidet die x-Achse exakt bei x=0$x=0$ und hat somit genau eine Nullstelle.
• Die blaue Kurve schneidet die x-Achse an zwei Stellen, sodass die Funktion zwei Nullstellen haben muss.  

Schauen wir uns nun an, wie die abc-Formel überhaupt aussieht.

Die abc-Formel hat folgende Form:

Wie du siehst, gibt es maximal zwei Lösungen für die abc-Formel, x1$x_1$ und x2$x_2$. Du weißt bereits, dass die abc-Formel aber auch nur eine oder eben auch gar keine Lösung haben kann. Du siehst in der Formel außerdem die Koeffizienten a$a$ und b$b$ sowie das Absolutglied c$c$. Wenn du nun eine Gleichung der folgenden Form hast…

ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$

… dann kannst du aus dieser die Werte für a$a$, b$b$ und c$c$ direkt ablesen und diese in deine Formel einsetzen. Das sehen wir uns jetzt an einem Beispiel genauer an.

Nehmen wir als Beispiel zur Veranschaulichung folgende Aufgabe:

2x2+12x=14$2x^2+12x=14$

Die abc-Formel wendest du in folgenden fünf Schritten an.

Schritt 1: Gleichung gleich Null setzen

Falls deine quadratische Gleichung noch nicht in der Form ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$ steht, musst du sie noch umstellen. Das tun wir hier:

2x2+12x=14|–14$2x^2+12x=14|–14$

2x2+12x–14=0$2x^2+12x–14=0$

Schritt 2: a, b und c ablesen

Hier findest du a$a$, b$b$ und c$c$ in deiner Gleichung:

ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$

2x2+12x–14=0$2x^2+12x–14=0$

Du kannst nun ablesen:

a=2$a=2$

b=12$b=12$

c=–14$c=–14$

Schritt 3: a, b und c in die abc-Formel einsetzen

Die abc-Formel lautet:

x1,2=−b±b2−4ac√2a$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Wir setzen ein:

a=2$a=2$

b=12$b=12$

c=–14$c=–14$

x1,2=−12±122−4⋅2⋅(−14)√2⋅2$x_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{{12}^2-4\cdot 2\cdot (-14)}}{2\cdot 2}$

Schritt 4: Ergebnisse ausrechnen

Wir rechnen aus:

x1,2=−12±122−4⋅2⋅(−14)√2⋅2$x_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{{12}^2-4\cdot 2\cdot (-14)}}{2\cdot 2}$

x1,2=−12±144+112√4$x_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{144+112}}{4}$

x1,2=−12±256√4$x_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{256}}{4}$

x1,2=−12±164$x_{1,2}=\frac{-12\pm 16}{4}$

Du siehst: Hier gibt es zwei mögliche Lösungen, je nachdem, ob du –12$–12$ plus oder minus 16$16$ rechnest.

Schritt 5: Nullstellen aufschreiben

Die Nullstellen für unsere quadratische Gleichung lauten:

x1=−12+164=44=1$x_1=\frac{-12+16}{4}=\frac{4}{4}=1$

x2=−12−164=−284=−7$x_2=\frac{-12-16}{4}=\frac{-28}{4}=-7$

Fertig! Du hast nun erfolgreich die Nullstellen mithilfe der abc-Formel bestimmt.

Manchmal hast du vielleicht gar nicht die Aufgabe, die Nullstellen der Gleichung vollständig zu berechnen. Möglicherweise sollst du nur angeben, wie viele Nullstellen es überhaupt gibt, oder du erkennst frühzeitig, dass deine Gleichung unlösbar ist. In diesen Fällen hilft dir ein genauerer Blick auf die Diskriminante.

In unserem Beispiel oben lautet die Diskriminante:

D=122–4⋅2⋅(–14)$D={12}^2–4\cdot 2\cdot (–14)$

Wenn du das im Kopf überschlägst, kannst du erahnen, dass die Diskriminante ein positives Ergebnis liefern wird, der Ausdruck also größer als Null ist. Daraus kannst du etwas über die Nullstellen deiner Funktion schließen, auch ohne die Gleichung vollständig zu lösen.

In manchen Fällen ist es sinnvoller, wenn du eine Gleichung einfach direkt auflöst, anstatt die abc-Formel anzuwenden. Zwei dieser Sonderfälle stellen wir dir hier vor.

Sonderfall 1:

b=0$b=0$

Wenn b=0$b=0$ ist, sieht deine Gleichung zum Beispiel so aus: 2x2–32=0$2x^2–32=0$

Du kannst diese Gleichung leicht selbst auflösen:

2x2−32=0|+32$2x^2-32=0|+32$

2x2=0|:2$2x^2=0|:2$

x2=0|√$x^2=0|\sqrt{}$

x=4$x=4$

Die abc-Formel funktioniert aber trotzdem. Du kannst sie also nutzen, wenn du dich damit sicherer fühlst und glaubst, eher zum richtigen Ergebnis zu kommen.

Sonderfall 2:

c=0$c=0$

Wenn c=0$c=0$ ist, fehlt das Absolutglied in deiner Gleichung.

Sie sieht dann zum Beispiel so aus: 3x2+15x=0$3x^2+15x=0$

Auch in diesem Fall gibt es eine einfachere Möglichkeit, die Nullstellen der Funktion zu ermitteln. Du kannst nämlich ein x$x$ ausklammern:

x⋅(3x+15)=0$x\cdot (3x+15)=0$

Nun kannst du ablesen, dass eine Nullstelle bei x=0$x=0$ liegen muss, denn dann würdest du die Klammer mit Null multiplizieren und insgesamt Null erhalten.

Die zweite mögliche Nullstelle findest du, indem du den Term in der Klammer gleich Null setzt:

3x+15x=0|−15$3x+15x=0|-15$

3x=−15|:3$3x=-15|:3$

x=−5$x=-5$

Fertig! Aber: Auch hier ist es nicht verboten, die abc-Formel zu verwenden.

Die Herleitung der abc-Formel ist nicht ganz einfach. Falls du im Unterricht aber einmal danach gefragt wirst, kannst du sie hier nachvollziehen. Wir beginnen dazu mit der Normalform einer quadratischen Gleichung. Diese kennst du bereits:

ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$

Wir möchten nun eine quadratische Ergänzung durchführen. Das geht so:

ax2+bx+c=0|−c$a{x}^2+bx+c=0|-c$

ax2+bx=−c|:a$a{x}^2+bx=-c|:a$

x2+bx=−c|:a$x^2+bx=-c|:a$

x2+bax=−ca$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

Jetzt folgt die quadratische Ergänzung:

x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a}{)}^2$

x2+bax+(b2a)2=−ca+b24a2$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$

x2+bax+(b2a)2=b2+4ac4a2$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2+4ac}{4a^2}$

Wir wenden die erste binomische Formel an:

(x+b2a)2=b2−4ac4a2|√$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}|\sqrt{}$

x+b2a=b2−4ac4a2−−−−−√|−b2a$x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}|-\frac{b}{2a}$

x=−b2a±b2−4ac4a2−−−−−√$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

x=−b2a±b2−4ac√2a$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

x=−b2±−4ac√2a$x=\frac{-b^2\pm \sqrt{-4ac}}{2a}$