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Rechnerisches Lösen II: (x + d)² - Form

(X+D)2 – online lernen

Wenn du mit binomischen Formeln rechnen kannst, dann wird dieser Lösungsweg zum Lösen von quadratischen Gleichungen kein Problem für dich sein.

Wiki zum Thema: Rechnerisches Lösen II: (x + d)² - Form

Rechnerisches Lösen II

(x + d)² - Form

Wurzelziehen: Bei einer quadratischen Gleichung der Art ${(x + d)}^{2} = c$ kann als Rechenoperation zunächst das Wurzelziehen angewendet werden:

1. Für den Fall $d \neq 0$ erhalten wir $x + d = \sqrt{c}$

2. Für den Fall $d = 0$ erhalten wir $x = \sqrt{c}$

Wichtig zu beachten ist, dass $c > 0$ in beiden Fällen gelten muss, wenn die Wurzel gezogen wird!

3. Für den Fall $c = 0$ kann die Gleichung ${(x + d)}^{2} = 0$ mittels 1. binomischer Formel und pq- Formel gelöst werden.

Für den 3. Fall erhalten wir nach Anwendung der 1. binomischen Formel: $x^{2} + 2 d x + d^{2} = 0$

Wichtig zu beachten ist, dass $d \neq 0$ gelten muss, für die Anwendung der pq-Formel (für weitere Informationen zum Thema pq- Formel siehe quadratische Gleichungen -> pq – Formel)

Umstellen: Für den 1. Fall wird die Gleichung umgestellt, indem das $d$ subtrahiert wird, dadurch erhalten wir $x = \sqrt{c} - d$

Vereinfachen: Wir können den Term $\sqrt{c} - d$ für den 1. Fall nun weiter zusammenfassen und die Wurzel auflösen (siehe Beispielrechnung). Wichtig zu beachten sind die Vorzeichen!

Anzahl Lösungen: Wir erhalten $x = \sqrt{c}$ mit bzw. $x = \sqrt{c} - d$ im 1. und 2. Fall zwei mögliche Lösungen für das $x$ , die wir in Betracht ziehen können nämlich: $x = \pm \sqrt{c}$ bzw. $x = \pm \sqrt{c} - d$ . Wichtig zu beachten ist das Vorzeichen bei $- d$ sobald die Gleichung aufgelöst wird!

Beispiel: Wir betrachten die Gleichung ${(x + 3)}^{2} = 9$

Wurzelziehen: Wir wenden zunächst die Rechenoperation Wurzelziehen an und erhalten dadurch den Ausdruck

$x + 3 = \sqrt{9}$

Umstellen: Wir subtrahieren den Term auf der linken Seite der Gleichung und erhalten den Ausdruck

$x = \sqrt{9} - 3$

Vereinfachen: Wir können nun die $\sqrt{9}$ auflösen und den Rechenausdruck dadurch vereinfachen. Wichtig ist, dass wir dabei auf die Vorzeichen der möglichen Lösungen achten! Wir erhalten für den Term $\sqrt{9}$ den Term $\pm 3$ .

Anzahl Lösungen: Wir können die Gleichung $x = \pm 3 - 3$ nun lösen und müssen nur noch beachten, dass die Gleichung 2 mögliche Lösungen beinhalten könnte:

$x = + 3 - 3 = 0$ bzw. $x = - 3 - 3 = - 6$

Arbeitsblätter

(x + d)² = c Form
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 664
Rechnerisches Lösen II: (x + d)² - Form
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 6810
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 665
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 6811
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 6812
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 666

Quadratische Gleichungen

$Form: (x + d)^{2} = c$

Schwierigkeitsgrad 1
Serie 1

Aufgabe 1

Berechne

x

durch Wurzelziehen.

a)	$(x + 4)^{2} = 0$	b)	$(x - 1)^{2} = 0$	c)	$(x + 3)^{2} = 0$	d)	$(x - 10)^{2} = 0$
e)	$(x - 8)^{2} = 0$	f)	$(x + 2)^{2} = 0$	g)	$(x - 5)^{2} = 0$	h)	$(x - 4)^{2} = 0$

Aufgabe 2

Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel und löse nach

x

auf.
Gib die Lösungen entweder als Lösungsmenge oder

x_{1}

und

x_{2}

an.
Beachte: Eine Gleichung der Form

x^{2} = a

mit

a > 0

hat die beiden Lösungen

x_{1} = - \sqrt{a}

und

x_{2} = \sqrt{a}

a)	$(x + 1)^{2} = 9$	b)	$(x - 2)^{2} = 4$	c)	$(x + 5)^{2} = 16$	d)	$(x - 6)^{2} = 25$
e)	$(x - 1)^{2} = 36$	f)	$(x + 9)^{2} = 64$	g)	$(x - 10)^{2} = 81$	h)	$(x - 5)^{2} = 100$

Aufgabe 3

Teile zuerst auf beiden Seiten durch die Zahl vor der quadratischen Klammer.
Ziehe dann die Wurzel und löse nach

x

auf.

a)	$2 (x + 3)^{2} = 8$	b)	$3 (x - 5)^{2} = 3$	c)	$4 (x - 1)^{2} = 100$	d)	$4 (x + 4)^{2} = 16$
e)	$4 (x - 10)^{2} = 36$	f)	$3 (x + 1)^{2} = 48$	g)	$2 (x - 7)^{2} = 98$	h)	$3 (x + 8)^{2} = 147$
i)	$- 2 (x + 2)^{2} = - 8$	j)	$- 3 (x + 7)^{2} = - 75$	k)	$- 1 (x + 1)^{2} = - 9$	l)	$- 5 (x + 3)^{2} = - 500$

Aufgabe 4

Bringe als erstes die einzelne Zahl auf die rechte Seite.
Verfahre dann weiter wie in Aufgabe 3.

a)	$(x + 1)^{2} - 9 = 7$	b)	$(x - 3)^{2} - 1 = 24$	c)	$2 (x + 2)^{2} - 4 = 4$
d)	$(x + 11)^{2} + 10 = 46$	e)	$2 (x - 2)^{2} + 17 = 25$	f)	$3 (x + 5)^{2} - 2 = 46$
g)	$3 (x + 6)^{2} + 17 = 20$	h)	$4 (x + 1)^{2} + 17 = 117$	i)	$- 4 (x + 3)^{2} + 4 = - 60$
j)	$- 4 (x + 1)^{2} + 1 = - 99$	k)	$- 1 (x + 1)^{2} - 8 = - 17$	l)	$- 2 (x + 3)^{2} - 5 = - 37$

Aufgabe 5

Die Flugbahn eines Modellflugzeugs kann durch den Term

- 3 (x - 7)^{2} + 75

(in Metern)

beschrieben werden. Berechne

x

für folgende Situationen:

Das Flugzeug erreicht eine Höhe von 75 Metern.
Das Flugzeug erreicht eine Höhe von 63 Metern.
Das Flugzeug startet gerade eben, ist aber noch auf dem Erdboden.
Das Flugzeug landet gerade.

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