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Biquadratische Gleichungen (Substitution, Resubstitution)

Biquadratische Gleichungen – online lernen

Biquadratische Gleichungen sind besondere quadratische Gleichungen - nämlich Gleichungen, deren höchste Potenz 4 ist. Mit einem einfachen Trick kannst du diese Gleichungen relativ einfach lösen - also alle vier möglichen Lösungen finden. Wie das geht, erklären wir dir hier.

Wiki zum Thema: Biquadratische Gleichungen (Substitution, Resubstitution)

Biquadratische Gleichungen und Substitution 


Unter biquadratischen Gleichungen versteht man in der Mathematik Gleichungen, bei denen die Variable nur mit den Hochzahlen 0, 2 und 4 vorliegt, z.B.

x4−3x2+2=0
.

Diese kann man mit Hilfe der sogenannten Substitution lösen: Man ersetzt

x2
durch eine andere Variable (z.B.
u
) und berechnet dann die Lösungen dieser Gleichung mit Hilfe der Mitternachts- bzw. pq-Formel. Nun ersetzt man wieder
u
durch
x2
und löst die betreffenden Gleichungen nach
x
auf. So erhält man dann die Lösungen der eigentlichen Gleichung.


Beispielaufgabe:

Löse x4+4x2−5=0.

  • Mit der Substitution x2=u folgt u2+4u−5=0
  • Mit der Mitternachtsformel erhält man als Lösungen u1=1 und u2=−5.
  • Die Resubstitution u=x2 liefert die Gleichungen x2=1 und x2=−5
  • Die erste Gleichung hat die Lösungen x1=1 und x2=−1.
    Die zweite Gleichung hat keine (reelle) Lösung, da man aus −5 keine Wurzel ziehen kann. 
Arbeitsblätter
Quadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen (Substitution, Resubstitution)
Schwierigkeitsgrad 1
Serie 1


Aufgabe 1

Substituiere folgende Funktionen mit der gegebenen Substitutionsvariable und gib die dadurch entstehende Funktion an:

a)
f(x)=x4−x2;x2=z
b)
f(x)=2x4−5x2;x2=w
c)
f(x)=x4−x2−4;x2=z
d)
f(x)=−x2−4x4;x2=p
e)
f(x)=x4−2x2−30;x2=u
f)
f(x)=(x2+10)⋅x2;x2=v
g)
f(x)=(x3+2x)⋅x;x2=k
h)
f(x)=(3x3+4x)⋅x;x2=r
i)
f(x)=(x4−x2)⋅x2;x2=m
j)
f(z)=z4−z2;z2=x


Aufgabe 2

Resubstituiere und gib damit die ursprüngliche Funktion an:

a)
f(z)=z2+z;z=x2
b)
f(u)=u2+2u;u=x2
c)
f(w)=2w2−w−2;w=x2
d)
f(d)=(d2+10)⋅d2;d=x2
e)
f(k)=k4−2k;k=x2
f)
f(x)=(x4−2x2)⋅x4;x=d2


Aufgabe 3

Substituiere in folgenden Gleichungen jeweils

x2=z
und bestimme die Lösungsmenge der Substitutionsvariable
z
:

a)
0=x4−4x2
b)
0=2x4+4x2
c)
0=x4+4x2+4
d)
0=2x4+4x2−8
e)
0=x4−x2+8
f)
0=x4−3x2+1
g)
0=−3x2+1−x4
h)
0=−4x2−2+2x4
i)
0=−1,2x4−2,4x2
j)
0=x4−1
k)
0=(x3+10x)⋅x
l)
0=(x2+10)⋅x2


Aufgabe 4

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:

a)
0=x4−4
b)
0=2x4+x2
c)
0=4x4−4x2−4
d)
0=2x4+4x2−8
e)
0=x4−x2+8
f)
0=14x4−7x2−28


Aufgabe 5

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen mittels Substitution:

a)
f(x)=x4−6x2−3
b)
f′(x)=x4−2x2−4
c)
f(x)=x4−5x2+4
d)
f′(x)=x4−0,5
e)
f(x)=25x4−15x2−100
f)
f″(x)=15x4+135x2−150


Hinweis für alle Aufgaben:
Falls du Ergebnisse nicht genau angibst, runde diese auf 3 Nachkommastellen.

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Videos
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