Diskriminante

Beim Rechnen mit quadratischen Gleichungen wirst du früher oder später auf die Diskriminante stoßen. Dabei handelt es sich um einen mathematischen Ausdruck, der in der Mitternachtsformel – auch abc-Formel genannt – oder in der p-q-Formel vorkommt. Beide dieser Formeln benötigst du, um die Nullstellen einer Funktion zu ermitteln.

Die Diskriminante ist Teil der Rechnung. Sie verrät dir nicht direkt, wo die Nullstellen der Funktion zu finden sind, doch du kannst mit ihrer Hilfe ziemlich schnell erkennen, wie viele Nullstellen es gibt. Dazu erfährst du gleich mehr. Doch zunächst schauen wir uns an, wo du die Diskriminante findest und wie sie aussieht.

Welche Formel du auch nutzt: In beiden findest du die Diskriminante unter der Wurzel.
Bei der p-q-Formel sieht sie so aus:

x1,2=−p2±(p2)2−q−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2}{)}^2-q}$

In der Mitternachtsformel bzw. abc-Formel sieht die Diskriminante so aus:

x1,2=−b±b2−4ac√2a$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Und noch mal auf einen Blick:

Was hat es nun mit diesen ganzen Buchstaben auf sich und wie kannst du die Diskriminante anwenden? Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Bevor du mithilfe der Diskriminante die Anzahl der Nullstellen berechnen kannst, musst du entscheiden, mit welcher Formel du rechnen willst. Die p-q-Formel bietet sich an, wenn deine quadratische Gleichung diese Form hat:

x2+px+q=0$x^2+px+q=0$

Beispiel:

x2+3x+9=0$x^2+3x+9=0$

Noch nicht ganz klar? Dann lies hier alles über die p-q-Formel.

Wenn vor dem x2$x^2$ allerdings noch ein Faktor steht, dann bietet sich stattdessen die Mitternachtsformel an. Deine quadratische Gleichung hat dann folgende Form:

ax2+bx+c=0${ax}^2+bx+c=0$

Beispiel:

3x2+4x+5=0${3x}^2+4x+5=0$

Diese Formel sitzt noch nicht richtig? Dann erfahre hier mehr über die Mitternachtsformel. 

Nachdem du nun weißt, welche Diskriminante du nutzen musst, schauen wir uns an, wie du damit rechnen kannst.

Diese vier einfachen Schritte helfen dir, die Anzahl Nullstellen deiner Funktion mithilfe der Diskriminante zu berechnen. Wir nehmen als Beispiel folgende Funktion:

x2+6x+8=0$x^2+6x+8=0$

Schritt 1: Wähle die passende Diskriminante aus

Hat deine Gleichung die Form

x2+px+qx=0$x^2+px+qx=0$ (p-q-Formel)
oder
ax2+bx+c=0${ax}^2+bx+c=0$ (Mitternachtsformel)?

In diesem Fall haben wir von dem x2$x^2$ nur den (nicht ausgeschriebenen) Faktor 1$1$. Wir nutzen also die Diskriminante p-q-Formel.

Schritt 2: Lies a,b$a,b$ und c$c$ bzw. p$p$ und q$q$ ab

Da wir die Diskriminante der p-q-Formel verwenden wollen, lesen wir in diesem Fall p$p$ und q$q$ ab:

x2−6x+8=0$x^2-6x+8=0$

p=−6$p=-6$
q=8$q=8$

Denke daran, auf die Vorzeichen zu achten!

Schritt 3: Setze die Werte in die Diskriminante ein und rechne aus

Wir setzen unsere Werte für p$p$ und q$q$ ein:

D=(−62)2−8$D={(\frac{-6}{2})}^2-8$

Und wir rechnen aus:

D=(364)−8$D=(\frac{36}{4})-8$
D=9−8$D=9-8$
D=1$D=1$

Schritt 4: Bestimme die Anzahl der Nullstellen

Je nachdem, wie deine Funktion aussieht, kann die dazugehörige Kurve zwei, eine oder keine Nullstellen haben:

So deutest du die Diskriminante richtig:

D>0→$D>0\to$ Die Gleichung hat zwei Lösungen bzw. Nullstellen.
D=0→$D=0\to$ Die Gleichung hat eine Lösung bzw. Nullstelle.
D<0→$D<0\to$ Die Gleichung hat keine Lösungen bzw. Nullstellen.

Für unser Beispiel gilt also:

D=1$D=1$

Da die Diskriminante größer als Null ist, kannst du mit Sicherheit sagen, dass deine Funktion zwei Nullstellen hat.

Beispiel: Diskriminante gleich Null

Schauen wir uns das noch einmal für folgende Gleichung an:

x2+8x+16=0$x^2+8x+16=0$

Auch hier können wir die Diskriminante der p-q-Formel nutzen, da vor dem x2$x^2$ nur der Faktor 1$1$ steht. Um dir zu zeigen, dass die Mitternachtsformel ebenso gut funktioniert, wenden wir diesmal aber diese an:

D=b2−4ac$D=b^2-4ac$

Wir lesen a,b$a,b$ und c$c$ ab:

(1)x2+8x+16=0${(1)x}^2+8x+16=0$

a=1$a=1$
b=8$b=8$
c=16$c=16$

Wir setzen in die Diskriminante ein:

D=82−4⋅1⋅16$D=8^2-4\cdot 1\cdot 16$
D=64−64$D=64-64$
D=0$D=0$

Du siehst hier: Die Diskriminante ist gleich Null und damit weißt du, dass deine Funktion nur eine einzige Nullstelle hat.

Beispiel: Diskriminante kleiner als Null

Zuletzt betrachten wir noch folgende Gleichung:

4x2+2x+3=0${4x}^2+2x+3=0$

Wir haben diesmal nur die Wahl, die Diskriminante der abc-Formel zu nutzen:

D=b2−4ac$D=b^2-4ac$

Wir lesen a,b$a,b$ und c$c$ ab:

4x2+2x+3=0${4x}^2+2x+3=0$

a=4$a=4$
b=2$b=2$
c=3$c=3$

Wir setzen in die Diskriminante ein:

D=22−4⋅4⋅3$D=2^2-4\cdot 4\cdot 3$

Und wir rechnen aus:

D=4−48$D=4-48$
D=−44$D=-44$

An dieser Stelle siehst du: Deine Gleichung wird nicht lösbar sein, denn die Diskriminante ist ja der Ausdruck, der in der Mitternachtsformel oder auch p-q-Formel unter der Wurzel steht. Aus einer negativen Zahl können wir die Wurzel aber nicht ziehen – daher gibt es hier keine Lösungen und auch keine Nullstellen.

Wozu ist es gut, Nullstellen von quadratischen Funktionen herauszufinden? Es gibt verschiedene sinnvolle Anwendungen. Wenn du zum Beispiel die Schnittpunkte von zwei Funktionen herausfinden möchtest, dann machst du das folgendermaßen:

• Du setzt die beiden Funktionen gleich.
• Du stellst die entstehende neue Gleichung so um, dass auf der einen Seite alle Terme und auf der anderen Seite Null steht.
• Du ermittelst die Nullstellen.

Hier kannst du mithilfe der Diskriminante schon frühzeitig abschätzen, ob es überhaupt Lösungen – und damit auch Nullstellen – geben wird.

Ein zweites Beispiel: In der Kurvendiskussion arbeitest du häufig mit den Nullstellen verschiedener Ableitungen, zum Beispiel um die Steigung in einem bestimmten Punkt deines Funktionsgraphen zu ermitteln. Wenn die Ableitung, mit der du rechnest, eine quadratische Funktion ist, kannst du auch hier die Diskriminante nutzen, um mögliche Nullstellen zu finden.