Quadratische Gleichungen Übungen – online lernen

Quadratische Gleichungen

pq-Formel

Da das Lösen gemischt-quadratischer Gleichungen ein Problem ist, das relativ häufig vorkommt, gibt es eine Lösungsformel dafür, die sich über die quadratische Ergänzung herleiten lässt. Diese wird pq-Formel genannt. Für die pq-Formel muss man die Gleichung zunächst in die Normalform bringen, d. h.

0=x2+px+q.

Eine Seite der Gleichung ist also 0, die Gleichung enthält nur ein x2 (nicht 2x2 oder −x2 etc.).

Dann gilt die folgende Formel:

x1;2=−p2±√(p2)2−q

Beachte: Wurzeln lassen sich nur aus positiven Zahlen oder aus 0 ziehen! Das muss man beim Schritt, wenn die Wurzel gezogen wird, bedenken. Deshalb gibt es drei Möglichkeiten für die Lösung der zugehörigen Gleichung:

• Wurzelterm > 0 bedeutet zwei Lösungen der Gleichung,
  nämlich x1=−p2−√(p2)2−q und x2=−p2+√(p2)2−q
• Wurzelterm = 0 bedeutet eine Lösung der Gleichung,
  nämlich x1=−p2
• Wurzelterm < 0 bedeutet keine Lösungen der Gleichung

Beispielaufgabe:

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung −10=2x2−12x?

Lösung:

Die Gleichung muss zunächst in die Normalform gebracht werden:

−10=2x2−12x∣+100=2x2−12x+10∣:20=x2−6x+5

Nun sieht man, dass p=−6 und q=5 gilt.

Dies setzt man in die Formel ein:

x1;2=−−62±√(−62)2−5=3±√(−3)2−5=3±√9−5=3±√4=3±2

Die Lösungsmenge lautet also L={1;5}.

Quadratische Gleichungen

Mitternachtsformel

Da das Lösen gemischt-quadratischer Gleichungen ein Problem ist, das relativ häufig vorkommt, gibt es eine Lösungsformel dafür. Für die Mitternachtsformel muss die Gleichung zunächst in die allgemeine Form gebracht werden, d. h.

0=ax2+bx+c.

Eine Seite der Gleichung muss also 0 sein, der Koeffizient vor dem x2 kann im Gegensatz zur pq-Formel beliebig sein.

Dann gilt die folgende Formel: 

x1;2=−b±√b2−4ac2a

Beachte: Wurzeln lassen sich nur aus positiven Zahlen oder aus 0 ziehen! Das muss man beim Schritt, wenn die Wurzel gezogen wird, bedenken.

Beispiel:

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung −10=2x2−12x?

Lösung:

Die Gleichung muss zunächst in die allgemeine Form gebracht werden:

−10=2x2−12x∣+100=2x2−12x+10

Nun sieht man, dass a=2, b=−12 und c=10 ist.

Dies setzt man in die Formel ein:

x1,2=−(−12)±√−122−4⋅2⋅102⋅2=12±√144−804=12±84

⇒x1=12+84=5;x2=12−84=1

Die Lösungsmenge lautet also L={1;5}.

Quadratische Gleichungen

Quadratische Ergänzung

Gemischt-quadratische Gleichungen kann man nicht ohne Weiteres nach der Variablen (meistens x

Entweder man verwendet eine der Lösungsformeln oder man wendet die quadratische Ergänzung an. Dabei werden die beiden Summanden, welche die Variable enthalten, so um das Quadrat einer Zahl ergänzt, dass eine binomische Formel entsteht. Der Wert, der als Quadrat ergänzt (und dann auch wieder subtrahiert) werden muss, ist immer die Hälfte der Zahl, die vor dem linearen Term (also der Zahl mit x

Beispiel anhand der Funktion f(x)=x2+8x+12

0=x2+8x+12∣QuadratischeErgänzung0=x2+8x+42−42+12∣UmwandelninbinomischeFormel0=(x+4)2−16+120=(x+4)2−4∣+44=(x+4)2∣√+pm2=x+4∣−4±2−4=x1;2−2=x1−6=x2

Die Lösungsmenge lautet also L={−6;−2}.

Beachte: Wurzeln lassen sich nur aus Zahlen ≥0

Beispielaufgabe:

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung −10=2x2−12x?

Lösung:

−10=2x2−12x∣:2−5=x2−6x∣QuadratischeErgänzung−5=x2−6x+32−32∣UmwandelninbinomischeFormel−5=(x−3)2−9∣+94=(x−3)2∣√+±2=x−3∣+3±2+3=x1;25=x11=x2

Die Lösungsmenge lautet also L={1;5}.