Pq Formel Aufgaben – online lernen

Quadratische Gleichungen

pq-Formel

Da das Lösen gemischt-quadratischer Gleichungen ein Problem ist, das relativ häufig vorkommt, gibt es eine Lösungsformel dafür, die sich über die quadratische Ergänzung herleiten lässt. Diese wird pq-Formel genannt. Für die pq-Formel muss man die Gleichung zunächst in die Normalform bringen, d. h.

0=x2+px+q$0=x^2+px+q$.

Eine Seite der Gleichung ist also 0, die Gleichung enthält nur ein x2$x^2$ (nicht 2x2$2x^2$ oder −x2$-x^2$ etc.).

Dann gilt die folgende Formel:

Beachte: Wurzeln lassen sich nur aus positiven Zahlen oder aus 0 ziehen! Das muss man beim Schritt, wenn die Wurzel gezogen wird, bedenken. Deshalb gibt es drei Möglichkeiten für die Lösung der zugehörigen Gleichung:

• Wurzelterm > 0 bedeutet zwei Lösungen der Gleichung,
  nämlich x1=−p2−(p2)2−q−−−−−−−√$x_1=-\frac{p}{2}-\sqrt{{(\frac{p}{2})}^2-q}$ und x2=−p2+(p2)2−q−−−−−−−√$x_2=-\frac{p}{2}+\sqrt{{(\frac{p}{2})}^2-q}$
• Wurzelterm = 0 bedeutet eine Lösung der Gleichung,
  nämlich x1=−p2$x_1=-\frac{p}{2}$
• Wurzelterm < 0 bedeutet keine Lösungen der Gleichung

Beispielaufgabe:

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung −10=2x2−12x$-10=2x^2-12x$?

Lösung:

Die Gleichung muss zunächst in die Normalform gebracht werden:

Nun sieht man, dass p=−6$p=-6$ und q=5$q=5$ gilt.

Dies setzt man in die Formel ein:

Die Lösungsmenge lautet also L={1;5}$L=\{1;5\}$.

Quadratische Gleichungen

Mitternachtsformel

Da das Lösen gemischt-quadratischer Gleichungen ein Problem ist, das relativ häufig vorkommt, gibt es eine Lösungsformel dafür. Für die Mitternachtsformel muss die Gleichung zunächst in die allgemeine Form gebracht werden, d. h.

0=ax2+bx+c$0={ax}^2+bx+c$.

Eine Seite der Gleichung muss also 0 sein, der Koeffizient vor dem x2$x^2$ kann im Gegensatz zur pq-Formel beliebig sein.

Dann gilt die folgende Formel: 

Beachte: Wurzeln lassen sich nur aus positiven Zahlen oder aus 0 ziehen! Das muss man beim Schritt, wenn die Wurzel gezogen wird, bedenken.

Beispiel:

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung −10=2x2−12x$-10=2x^2-12x$?

Lösung:

Die Gleichung muss zunächst in die allgemeine Form gebracht werden:

Nun sieht man, dass a=2$a=2$, b=−12$b=-12$ und c=10$c=10$ ist.

Dies setzt man in die Formel ein:

Die Lösungsmenge lautet also L={1;5}$\mathbb{L}=\{1;5\}$.