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Pq Formel Aufgaben – online lernen

Die p/q-Formel hilft dir beim Lösen von quadratischen Gleichungen. Aufpassen! Hierbei gibt es eine Voraussetzung, die erfüllt werden muss!

Wiki zum Thema: Rechnerisches Lösen IV: P-Q-Formel

Quadratische Gleichungen

pq-Formel


Da das Lösen gemischt-quadratischer Gleichungen ein Problem ist, das relativ häufig vorkommt, gibt es eine Lösungsformel dafür, die sich über die quadratische Ergänzung herleiten lässt. Diese wird pq-Formel genannt. Für die pq-Formel muss man die Gleichung zunächst in die Normalform bringen, d. h.

0=x2+px+q.

Eine Seite der Gleichung ist also 0, die Gleichung enthält nur ein x2 (nicht 2x2 oder x2 etc.).

Dann gilt die folgende Formel:

x1;2=p2±(p2)2q

Beachte: Wurzeln lassen sich nur aus positiven Zahlen oder aus 0 ziehen! Das muss man beim Schritt, wenn die Wurzel gezogen wird, bedenken. Deshalb gibt es drei Möglichkeiten für die Lösung der zugehörigen Gleichung:

  • Wurzelterm > 0 bedeutet zwei Lösungen der Gleichung,
    nämlich x1=p2(p2)2q und x2=p2+(p2)2q
  • Wurzelterm = 0 bedeutet eine Lösung der Gleichung,
    nämlich x1=p2
  • Wurzelterm < 0 bedeutet keine Lösungen der Gleichung



Beispielaufgabe:

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung 10=2x212x?

Lösung:

Die Gleichung muss zunächst in die Normalform gebracht werden:

10=2x212x+100=2x212x+10∣:20=x26x+5

 

Nun sieht man, dass p=6 und q=5 gilt.

Dies setzt man in die Formel ein:

x1;2=62±(62)25=3±(3)25=3±95=3±4=3±2


x1=32=1;x2=3+2=5

Die Lösungsmenge lautet also L={1;5}.

Quadratische Gleichungen

Mitternachtsformel


Da das Lösen gemischt-quadratischer Gleichungen ein Problem ist, das relativ häufig vorkommt, gibt es eine Lösungsformel dafür. Für die Mitternachtsformel muss die Gleichung zunächst in die allgemeine Form gebracht werden, d. h.

0=ax2+bx+c.

Eine Seite der Gleichung muss also 0 sein, der Koeffizient vor dem x2 kann im Gegensatz zur pq-Formel beliebig sein.

Dann gilt die folgende Formel: 

x1;2=b±b24ac2a

Beachte: Wurzeln lassen sich nur aus positiven Zahlen oder aus 0 ziehen! Das muss man beim Schritt, wenn die Wurzel gezogen wird, bedenken.



Beispiel:

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung 10=2x212x?

Lösung:

Die Gleichung muss zunächst in die allgemeine Form gebracht werden:

10=2x212x+100=2x212x+10

Nun sieht man, dass a=2, b=12 und c=10 ist.

Dies setzt man in die Formel ein:

x1,2=(12)±122421022=12±144804=12±84

x1=12+84=5;x2=1284=1

Die Lösungsmenge lautet also L={1;5}.


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Mitternachtsformel mit Walter Teil 1
Mitternachtsformel mit Walter Teil 2
pq-Formel mit Walter